Orsay 2008-2009 IFIPS S2 Math´ematiques (M160).
Contrˆole num´ero 3. Dur´ee : 2h. Calculatrices et documents interdits.
La qualit´e de la r´edaction et la clart´e des explications interviendront dans l’appr´eciation de la copie.
Le contrˆole comporte trois exercices. Barˆeme indicatif : 7 - 5 - 8.
Exercice 1
Soitf :R4→R3 l’application lin´eaire d´efinie par
f(x, y, z, t) = (x+y−z−t, x+ 2y+z−2t, x+ 3y+ 3z−3t) et soitA la matrice def dans les bases canoniques deR4 etR3.
(a) D´eterminerA.
(b) Donner une base de Im(f). Que vaut rg(f) ? et dim (Ker(f)) ?
(c) Donner un syst`eme d’´equations cart´esiennes de Ker(f). Donner une base de Ker(f).
(d) Dans cette question on consid`ere les coefficients λ, µtels que
(1,3,3,−3) =λ(1,1,−1,−1) +µ(1,2,1,−2).
(d-i) D´eterminer λetµ.
(d-ii) SoitF le sous-ensemble de R3 constitu´e des solutions (a, b, c) de l’´equationc=λa+µb. Montrer queF est un plan vectoriel deR3, puis que Im(f)⊂F.
(d-iii) En d´eduire une ´equation cart´esienne de Im(f).
Exercice 2
Soitf :R3→R3 l’application lin´eaire d´efinie par
f(x, y, z) = (x+y−z,−x+y+z, x−y+z) et soitA la matrice def dans la base canonique de R3.
(a) D´eterminerA.
(b) Montrer quef est injective. Que dire de Im(f) ?
(c) Montrer queA est inversible et calculer son inverse A−1. (d) R´esoudre l’´equation matricielle A
x y z
=
1 0
−1
.
Exercice 3
On consid`ere la matrice A =
2 1 −1 1 1 −2
1 0 1
. Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3 et soit f l’application lin´eaire dont la matrice dansB estA.
(a) D´eterminerf(x, y, z). L’application f est-elle injective ?
(b) On poseu1= (1,0,1), u2 = (1,1,0), u3 = (1,−3,−1), puisB0 = (u1, u2, u3). Montrer queB0 est une base deRn. D´eterminer la matriceM = Mat(f,B0 → B).
(c) D´eterminer la matrice de passageP de B `aB0. Pour u= (x, y, z) de coordonn´ees (x0, y0, z0) dans B0, donner une relation entre X=
x y z
, X0 =
x0 y0 z0
etP.
CalculerP−1, puis donner les coordonn´ees dans B0 du vecteurv= (1,1,1).
(d) Montrer que (u1, u2) est une base de Im(f) puis que Im(f)⊕Ker(f) =R3. A quelle condition sur les coordonn´ees (x0, y0, z0) d’un vecteur u dansB0 a t-on u∈Im(f) ? Donner une ´equation cart´esienne de Im(f).
(e) SoitA0 = Mat(f,B0). Quelle est la derni`ere colonne de A0 ? Rappeler la formule reliant A, A0 etP. D´eterminer A0.
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