EPFL 28 avril 2008 Algèbre linéaire
1ère année 2007-2008
Série 22
Le symbole F désigne soit R, soit C, et V un F-espace vectoriel de dimension nie, muni d'un produit scalaire h−,−i: V ×V → F arbitraire. Nous notons par k · k : V → R≥0 la norme associée.
Exercice 1. Pour cet exercice, nous supposons que F=R. Soit f: V → V une fonction telle que kf(v)−f(w)k = kv−wk pour tout v, w ∈ V, i.e. telle que f préserve la distance entre deux points arbitraires.
(a) Montrer que f est injective.
(b) Montrer que hf(v), f(w)i=hv, wi pour toutv, w∈V si f(0) = 0. (c) Montrer que f est une isométrie si f(0) = 0.
Indication : Vérier d'abord que f envoie une base orthonormée B de V sur une base orthonormée. Comparer ensuite les coecients de v ∈V et def(v)par rapport àBpour montrer quef est linéaire.
(d) Dans le cas général, montrer qu'ils existent une isométrie T ∈L(V) eta ∈V tel que f(x) =T(x) +a ∀x∈V.
Exercice 2. Un opérateur antisymétrique est un opérateur linéaireT ∈L(V)tel queT∗ =−T. (a) Pour F = R montrer que T ∈ L(V) est antisymétrique ssi v est orthogonal à T v pour
tout v ∈V.
(b) Montrer qu'un opérateur antisymétriqueT ne peut admettre comme valeurs propres que 0 si F =R et que des scalaires purement imaginaires si F= C. En déduire que T −idV est toujours inversible.
Supposons que T ∈ L(V) soit antisymétrique dans ce qui suit (plus dur !). Notons par A(V) l'ensemble des opérateurs antisymétriques et parI(V) celui des isométries de V.
(c) Montrer que (E+T)(E−T)−1 = (E−T)−1(E+T), où E = idV.
(d) Montrer que(E+T)(E−T)−1 est une isométrie qui n'admet pas−1comme valeur propre.
(e) Montrer que F:A(V)→I(V)dénie par F(T) = (E+T)(E−T)−1 est injective.
(f) Soit S ∈I(V) tel que −16∈spec(S). Montrer que S =F(T), où T = (S−E)(S+E)−1. Quelle est donc l'image de F?
(g) SoitF=C. Montrer que la fonctionH 7→iH fournit une bijectioni:H(V)→A(V)entre les opérateurs hermitiens (=auto-adjoints) et les opérateurs antisymétriques. En déduire queF0(H) = (iE+H)(iE−H)−1dénit une fonction injectiveF0: H(V)→U(V) =I(V) à valeur dans les opérateurs unitaires (=isométries).
Remarque : L'application F (et F0) est appelée paramétrisation de Cayley. Elle peut être dénie de manière analogue pour des opérateurs d'un espace de Hilbert (ce sont desC-espaces vectoriels, typiquement à dimension innie, satisfaisants une certaine propriété de complétude).
Cette version de la paramétrisation de Cayley joue un rôle important en mécanique quantique.
