Arithmétique - Exercices de base
Exercice 1*
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incom- plète, ou d’initative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
“Le nombre caché :
Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400.
Je suis pair.
Je suis divisible par 11.
J’ai aussi 3 et 5 comme diviseur.
Qui suis-je?”.
Expliquer une démarche permettant de trouver le nombre caché, et donner sa valeur.
Correction 1
Le nombre caché est compris entre100et400. De plus, il est divisible par11; c’est donc un multiple de11.
Voici tous les multiples de11compris entre100 et400: 110 ; 121 ; 132 ; 143 ; 154 ; 165 ; 176 ; 187 ; 198 ; 209 ; 220 231 ; 242 ; 253 ; 264 ; 275 ; 286 ; 297 ; 308 ; 319 ; 330 ; 341 352 ; 363 ; 374 ; 385 ; 396
De plus, on nous dit qu’il admet comme diviseur le nombre 5; cela impose que son chiffre des unités soit 0 ou 5. De plus, c’est un nombre pair : son chiffre des unités ne peut être5, c’est obligatoirement 0. Voici de la liste précédente, les nombres qui vérifient cette nouvelle contrainte :
110 ; 220 ; 330
De plus, le nombre caché admet3comme diviseur : la somme de ses chiffres doit être un multiple de3. Le seul nombre de la liste vérifiant ce résultat est :
330.
Exercice 2*
1. On considère l’entierAdéfini par : A= 22×5 Parmi les entiers suivants, citer les diviseurs deA:
2 ; 22 ; 23 ; 2×5 ; 2×52 2. On considère l’entierB valant60.
a. Déterminer la valeur des entiersm, n,ppositifs véri- fiant l’égalité :
60 = 2m×3n×5p
b. Parmi les nombres suivants, citer les diviseurs de A: 2 ; 22 ; 23 ; 3×52 ; 32×5
Correction 2
1. Les entiers ci-dessous sont des diviseurs deA: 2 ; 22 ; 2×5
Par contre :
23 n’est pas un diviseur deAcar : 22×5
23 =2×2×5 2×2×2 =5
2
2×52 n’est pas un diviseur deAcar : 22×5
2×52 =2×2×5 2×5×5 =2
5
2. a. On a l’égalité : 60 = 22×31×51
On obtient les valeurs des trois entiers recherchés : m= 2 ; n= 1 ; p= 1
b. Les entiers suivants sont des diviseurs du nombreB: 2 ; 22
Par contre :
L’entier23n’est pas un diviseur deB: 22×3×5
23 =3×5 2
L’entier3×52n’est pas un diviseur deB: 22×3×5
3×52 =22 5
L’entier23n’est pas un diviseur deB: 22×3×5
32×5 =22 3
Exercice 3
1. a. Déterminer les valeurs des entiersm,n,petqvéri- fiant l’égalité : 28 = 2m×3n×5p×7q
Ce produit s’appelle “la décomposition en produit de facteurs premiers” du nombre28.
b. A l’aide de la question précédente, donner la liste des six diviseurs de l’entier28.
2. a. Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de l’entier30.
b. En déduire la liste des huit diviseurs de l’entier 30.
3. a. Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de l’entier90.
b. En déduire la liste des douze diviseurs de l’entier90.
Correction 3
1. a. On a les égalités suivantes :
28 = 2×14 = 2×2×7 = 22×30×50×71 Ainsi, on obtient les valeurs :
n= 2 ; n= 0 ; p= 0 ; q= 1 b. Les différents diviseurs de l’entier 28sont :
1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28 2. a. On a les égalités suivantes :
30 = 2×15 = 2×3×5
b. Les différents diviseurs de l’entier 30sont :
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30 3. a. On a les égalités suivantes :
90 = 2×45 = 2×5×9 = 2×5×3×3 = 2×32×5
b. Les différents diviseurs de l’entier 90sont : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 18 ; 30 ; 45 ; 90
Exercice 4
1. Déterminer la décomposition des entiers ci-dessous en produit de facteurs premiers :
a. 108 b. 432 c. 588
2. A l’aide de la question précédente, simplifier les fractions suivantes :
a. 108
432 b. 588
108 c. 432
588 Correction 4
1. On a les décompositions suivantes :
a. 108 = 22×33 b. 432 = 24×33 c. 588 = 22×3×72
2. On en déduit les simplifications suivantes : a. 108
432 =22×33 24×33 = 30
22 = 1 4 b. 588
108 =22×3×72 22×33 = 72
32 = 49 9 c. 432
588 = 24×33
22×3×72 = 22×32
72 =4×9 49 = 36
49
Exercice 5*
Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des nombres ci-dessous :
a. 14×12 b. 35×24 c. 16×54 Correction 5
La correction n’existe pas pour l’exercice 8010
Exercice 6
Une frise est constituée de carrés, triangles, cercles et trapèzes se succédant régulièrement. Ces élèments sont suc- cessivement peints en blanc, avec des rayures ou en noir.
Le début de la frise est représenté ci-dessous :
D´ebut de la frise
1. Donner les caractéristiques du 113ième élément de cette frise.
2. Quel est l’élément suivant le 113ième élément et ayant les mêmes caractéristiques.
Correction 6
1. Numérotons les éléments de la frise en partant de0:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
D´ebut de la frise
On peut faire les remarques suivantes :
Pour la couleur, on remarque que le coloriage de l’objet est cyclique de période 3. Notons r le reste de la division euclidienne du rang de l’objet par3:
sir= 0: l’objet est noir ; sir= 1: l’objet est hachuré ; sir= 2: l’objet est blanc.
Pour la forme, on remarque que la forme de l’objet est cyclique de période4. Notonsr′ le reste de la division euclidienne du rang de l’objet par4:
sir′= 0: l’objet est un triangle ; sir′= 1: l’objet est un carré ; sir′= 2: l’objet est un cercle ; sir′= 3: l’objet est un trapèze ;
Dans cet modélisation, le113ième élément de cette frise aura pour rang112. Voici les divisions euclidiennes de 112respectivement par3et par4:
112 = 37×3 + 1 ; 112 = 28×4 + 0
On en déduit que l’objet est un triangle hachuré.
2. Les prochains objet hachurés seront les objets : 115 ; 118 ; 121 ; 124 ; 127
Les prochains objet de forme triangulaire seront les ob- jets :
116 ; 120 ; 124 ; 128 ; 132
Ainsi, le prochain objet ayant les mêmes caractéristiques que l’objet113ièmesera le125ième objet.
Exercice 7*
Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est divisi- ble par3.
Correction 7
Notonsnle premier de ces trois entiers consécutifs. Alors les
deux autres entiers admettent pour expression : n+1 ; n+2
Ainsi, la somme de ces trois entiers consécutfis admet pour expression :
n+ (n+ 1) + (n+ 2) = 3·n+ 3 = 3·(n+ 1)
On vient de montrer que la somme de ces trois entiers est un multiple de3: elle est donc divisible par3.
Exercice 8*
Démontrer que la somme de deux entiers impairs consécutifs est un entier multiple de4.
Correction 8
Soitnun entier impair. Il existe un entierk∈Ztel que : n= 2·k+ 1
L’entier impair consécutif impair est : n+ 2 =(
2·k+ 1)
+ 2 = 2·k+ 3
Ainsi, l’entier de deux entiers impairs consécutifs s’exprime par :
n+( n+ 2)
=( 2·k+ 1)
+(
2·k+ 3)
= 4·k+ 4 = 4·( k+ 1) On en déduit que la somme de deux entiers impairs consécu- tifs est un entier multiple de4.
Exercice 9*
1. Sans la calculatrice, effectuer la division euclidienne de 372par15.
2. Avec la calculatrice, déterminer la division euclidienne de37 852par23.
3. Utilise les égalités suivantes pour répondre aux questions suivantes :
2 456 = 17×143 + 25 ; 32 247
143 = 225 + 72 143 516
43 = 12 ; 674
24 = 28 + 1 12 5 460
63 = 85 +5
3 ; 345 = 27×13−6
a. Déterminer la division euclidienne de2 456 par17.
b. Donner la division euclidienne de 32 247par143.
c. Déterminer le reste de la division euclidienne de 516 par43.
d. Déterminer la division euclidienne de674 par24.
e. En déduire la division euclidienne de5 460 par63.
f. Déterminer la division euclidienne de345 par13.
Correction 9
1. Par un calcul de tête, on obtient l’égalité suivante : 360 = 24×15
On en déduit la division euclidienne de 372 par 15 qui est donnée par l’égalité :
372 = 24×15 + 12
2. La calculatrice nous permet d’obtenir une valeur ap- prochée du quotient de37 852par23:
37 852÷23≈1 645,739
On obtient le multiple suivant de23: 1 645×23 = 37 835
On obtient le reste de la division euclidienne par la sous- traction :
37 852−37 835 = 17
Ainsi, la division euclidienne de37 852par23: 37 852 = 1 645×23 + 17
3. a. Transformons l’égalité :
2456 = 17×143 + 25 = 17×143 + 17 + 8
= 17×144 + 8
La division euclidienne de2 456par17donne un quo- tient de144et un reste de8.
b. On a les transformations suivantes : 32 247
143 = 225 + 72 143 32 247
143 ×143 = (
225 + 72 143
)×143
32 247 = 255×143 + 72
La division euclidienne de 32 247 par 143 donne un quotient de255et un reste de72.
c. L’égalité 516
43 = 12permet d’écrire : 516 = 43×12
La division euclidienne de516 par43 donne un quo- tient de12et le reste est nul(516 est un multiple de 43).
d. On a : 674
24 = 28 + 1 12 674
24 ×24 = (
28 + 1 12
)×24
674 = 28×24 + 2
La division euclidienne de674 par24 donne un quo- tient de28et un reste de2.
e. On a : 5 460
63 = 85 +5 3 5 460
63 ×63 = (
85 +5 3
)×63
5 460 = 85×63 +5 3×63 5 460 = 85×63 + 5×21
5 460 = 85×63 + 3×21 + 2×21 5 460 = 85×63 + 63 + 42 5 460 = 86×63 + 42
La division euclidienne de5 460par63donne un quo- tient de86et un reste de42.
f. On a :
345 = 27×13−6
= 26×13 + 13−6
= 26×13 + 7
La division euclidienne de345 par13 donne un quo- tient de26et un reste de7.
Exercice 10
1. A l’aide de l’algorithme d’Euclide, compléter le tableau ci-dessous afin de déterminer le PGCD des nombrse240
et36:
Dividende Diviseur Reste
240 36 . . .
. . . .
. . . .
= × +
240 . . . 36 . . .
= × +
. . . .
= × +
. . . .
2. Rendre la fraction 240
36 irréductible en effectuant une unique simplification. Par quel entier avez-vous simpli- fier? Justifier votre démarche.
Correction 10
1. Voici le tableau obtenu à l’aide de l’algorithme
d’Euclide :
Dividende Diviseur Reste
240 36 24
36 1 12
24 12 0
= × +
240 6 36 24
= × +
36 24 1 12
= × +
24 2 12 0
On obtient : pgcd( 240 ; 36 ) = 12
2. Pour rendre irréductible, on simplifie le numérateur et le dénominateur de la fraction par leurP GCD:
240
36 =240÷12 36÷12 = 20
3
Exercice 11
1. Calculer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 496 et de 806.
2. Ecrire 496
806 sous la forme d’une fraction irréductible.
3. Calculer 496 806− 3
(on donnera le résultat sous la forme d’une fraction ir-26 réductible)
Correction 11
1. L’algorithme d’Euclide nous donne le tableau suivant :
Dividende Diviseur Reste
806 496 310
496 310 186
310 186 124
186 124 62
124 62 0
Donc : pgcd( 806 ; 496 ) = 62.
2. On simplifie par leP GCDdu numérateur et du dénom- inateur : cette fraction 8
13 est donc sous sa forme irré- ductible.
496
806 =496÷62 806÷62 = 8
13 3. 496
806− 3 26 = 8
13− 3 26 = 16
26− 3 26 = 13
26 =1 2
Exercice 12
α et β représentent deux entiers ; on considère les quatre phrases suivantes :
1. αest un multiple de β; 2. αa pour multiple β; 3. αest un diviseurβ; 4. αa pour diviseurβ.
Les phrases ci-dessus sont équivalentes deux à deux ; retrou- ver les phrases équivalents.
Correction 12
Les deux phrases suivantes sont équivalentes : αest un multiple de β;
αa pour diviseurβ.
Les deux phrases suivantes sont équivalentes : αa pour multiple β;
αest un diviseur deβ.
Exercice 13
1. Déterminer à l’aide de l’algorithme d’Euclide leP GCD des entiers410 et246:
Dividende Diviseur Reste
410 246 . . .
. . . .
. . . .
= × +
410 . . . 246 . . .
= × +
. . . .
= × +
. . . .
2. a. Simplifier la fraction 246 410.
b. Effectuer les calculs suivants : 246
410 −8
5 ; 1
246− 1 410 Correction 13
1. A l’aide de la division euclidienne, on a le tableau : Dividende Diviseur Reste
410 246 164
246 164 82
164 82 0
= × +
410 1 246 164
= × +
246 1 164 82
= × +
164 2 82 0
Ainsi, à l’aide de l’algorithme d’Euclide, on a : pgcd(410 ; 246) = 82
2. a. 82étant leP GCDdes deux entiers 410 et246, on en déduit la simplification :
246
410 =246÷82 410÷82 = 3
5 b. Calculons :
246 410 −8
5 = 3 5−8
5 = 3−8 5 = −5
5 =−1 1
246 − 1
410 = 1
3×82− 1 5×82
= 5
5×3×82− 3
3×5×82 = 5−3 5×3×82
= 2
5×3×82 = 1
5×3×41 = 1 615
Exercice 14*
1. De l’égalité : 456 164 = 65 164×7+16, en déduire la divi- sione euclidienne de456 164 par7.
2. La division euclidienne de l’entier717par4a pour reste 3. On répondra aux questions suivantes en justifiant votre réponse.
a. Déterminer le reste de la division euclienne de717par 2.
b. Déterminer le reste de la division euclidienne734par 4.
Correction 14 1. De l’égalité :
456 164 = 65 164×7 + 16 456 164 = 65 164×7 + 14 + 2 456 164 = 65 164×7 + 2×7 + 2 456 164 = 65 166×7 + 2
On en déduit que le reste de la division euclidienne de 456 164par7a pour valeur2.
2. Le reste de la division euclidienne de 717 par4 a pour
valeur 3. Ainsi, il existe un entier naturel k réalisant l’égalité suivante :
717=k×4 + 3
a. De l’égalité précédente : 717=k×4 + 3 On en déduit :
717= (2k)·2 + 2 + 1 717= (2k+ 1)·2 + 1
L’écriture ci-dessous donne le reste de la division eu- clidienne de717 par2: son reste vaut1.
b. De l’égalité précédente : 717=k×4 + 3 On en déduit :
(717)2
=(
k·4 + 3)2
717×2= 16·k2+ 24·k+ 9 734= 4·(
4·k2+ 6·k) + 9 734= 4·(
4·k2+ 6·k)
+ 4×2 + 1 734= 4·(
7·k2+ 6·k+ 2) + 1
L’expression précédente donne la division euclidienne de l’entier734 par7: son reste a pour valeur 1.
