- Résoudre un problème d’optimisation.
- Exploiter les variations d’une fonction pour établir une inégalité. Étudier la position relative de deux courbes représentatives.
- Étudier, en lien avec la dérivation, une fonction polynôme du second degré : variation, extremum, allure selon le signe du coefficient de x 2.
Exemples d’algorithmes
- Méthode de Newton, en se limitant à des cas favorables.
Étudier les variations d’une fonction
Dans tout ce chapitre f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
1/ Variations
Ces trois propriétés sont admises.
Propriété : si f ’ = 0 sur I, alors f est constante sur I.
Propriété : si f ’ > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I.
Propriété : si f ’ < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
Exemples : soit f la fonction définie sur IR par f : x ⟼ 2 x - 5. f ’ : x ⟼ 2 ; f ’ > 0 sur IR donc f est strictement croissante sur IR.
Soit g la fonction définie sur ] 0 ; + [ par g : x ⟼ 1
x. g ’ : x ⟼ - 1
x2 ; g ’ < 0 sur ] 0 ; + [ donc g est strictement décroissante sur ] 0 ; + [.
Cette propriété exige que f ’ > 0. Si on a seulement f ’ 0, on ne peut pas conclure.
Si f ’ 0 et si f ’ s’annule sur un intervalle, alors f n’est pas strictement croissante :
Si f ’ 0 et si f ’ s’annule une seule fois, alors f est strictement croissante.
Exemple : f : x ⟼ x 3 est strictement croissante sur IR ; f ’ : x ⟼ 3 x 2 0 sur IR, pourtant f ’ ( 0 ) = 0.
x - 0 + f ’ ( x ) + 0 +
f ( x ) 0
Si f ’ 0 et si f ’ s’annule en des nombres isolés, alors f est strictement croissante.
2/ Extremums
f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
Définitions :
On parle de maximum absolu quand un nombre a une image strictement supérieure à l’image des autres nombres :
Si a I, si f ( a ) > f ( x ) pour tout x I, x a, alors on dit que f ( a ) est le maximum absolu de f sur I.
On définit de la même façon un minium absolu.
On parle de maximum relatif quand un nombre a une image strictement supérieure à l’image de ses voisins :
f ( x )
a c d b x f est dérivable sur l’intervalle I = [ a ; b ].
f atteint son maximum absolu en b.
f atteint son minimum absolu en d.
f atteint un maximum relatif en c.
Le maximum de f est atteint en b, pourtant f ’ ( b ) 0. Cela peut arriver pour un nombre qui est une extrémité de l’ensemble de définition.
x a c d b f ’ ( x ) + 0 - 0 + f ( x )
Propriété : si f ’ s’annule en a en changeant de signe, alors f atteint un extrémum relatif en a.
Exemples
f : x ⟼ x 2.
x - 0 + f ’ ( x ) - 0 +
f ( x ) 0
f admet un minimum en 0 car la dérivée s’annule en 0 en changeant de signe.
g : x ⟼ - x 2.
x - 0 + g ’ ( x ) + 0 -
g ( x ) 0
g admet un maximum en 0 et la dérivée s’annule en 0 en changeant de signe.
h : x ⟼ x 3.
x - 0 + h ’ ( x ) + 0 +
h ( x ) 0
La dérivée s’annule en 0 mais sans changer de signe. La fonction cube n’admet pas d’extremum en 0 (ni ailleurs).
Étude des variations d’une fonction f : x ⟼ x 2 - 8 x + 12
f ’: x ⟼ 2 x - 8.
La dérivée s’annule en x = 4.
x 4
f ’ ( x ) - 0 +
f ( x )
- 4
Cela indique que le minimum de f est - 4.
g : x ⟼ - x 2 + 6 x – 9
g ’: x ⟼ - 2 x + 6.
La dérivée s’annule en x = 3.
x 3
g ’ ( x ) + 0 - 0
g ( x )
Cela indique que le maximum de f est - 4.
On peut étudier de la même façon des polynômes de degré supérieur.
Vous pouvez essayer avec x 3 - 3 x + 1 ou x 4 - 2 x.
Établir une inégalité à partir d’un tableau de variations Reprenons f : x ⟼ x 2 - 8 x + 12
x 4 f ( x )
- 4 f ( 5 ) < f ( 7 ) car f est croissante sur [ 5 ; 7 ].
f ( 1 ) > f ( 2 ) car f est croissante sur [ 1 ; 2 ].
En regardant uniquement le tableau de variations, on ne peut pas comparer f ( 2 ) et f ( 7 ) car f n’est pas monotone sur [ 2 ; 7 ].
Étudier la position relative de deux courbes représentatives f : x ⟼ x 3
g : x ⟼ - x 2 + 1
Étudier la position relative des représentations de f et de g.
C’est-à-dire : donner les valeurs de x pour lesquelles la représentation de f au-dessus de la représentation de g.
Cela revient à résoudre l’équation f ( x ) > g ( x ).
f ( x ) > g ( x ) x 3 > - x 2 + 1 x 3 + x 2 - 1 > 0
h ( x ) > 0 où h : x ⟼ x 3 + x 2 - 1 Étudions les variations de h
h ’: x ⟼ 3 x 2 + 2 x = x ( 3 x + 2 ).
Les racines sont - 2 3 et 0.
x - 2
3 0 g ’ ( x ) + 0 - 0 + - 0,26
g ( x )
- 1 Le tableau montre clairement que h ( x ) pour tout x 0.
Le tableau montre aussi qu’il existe un unique nombre > 0 tel que f ( ) = 0.
est une racine d’un polynôme du troisième degré. En première, on ne sait pas la déterminer.
Avec la calculette on trouve que 0,75.
On peut donc conclure :
la représentation de f au-dessus de la représentation de g si et seulement si x ] ; + [.
Optimisation
On enlève un carré de côté x à chaque coin d’un carré de côté 5.
On plie et on obtient une boite parallélépipédique sans couvercle.
Donner la valeur de x qui rend ce volume maximal.
5 cm
5 cm
x x
La boite est un pavé droit.
Sa base est un carré de côté 5 - 2 x, sa hauteur est x, son volume est donc V ( x ) = ( 5 - 2 x ) 2 × x.
Attention, x ne peut pas prendre n’importe quelle valeur réelle. x doit être positif. x doit être inférieur à 2,5. L’ensemble de définition de la fonction V est donc [ 0 ; 5
2 ].
V ( x ) = ( 5 - 2 x ) 2 × x = 4 x 3 - 20 x 2 + 25 x donc V ’( x ) = 12 x 2 - 40 x + 25.
Pour étudier le signe de V ’( x ), on commence par chercher les racines.
= 1600 - 1200 = 400.
Les racines sont 40 20 24
= 5 6 et
40 20 24
= 5 2. Le signe de 12 x 2 - 40 x + 25 est donc
x 5
6 5 2 12 x 2 - 40 x + 25 + 0 - 0 +
En se limitant à l’intervalle de définition, on trouve
x 0 5
6 5 2
V ’( x ) + 0 - 0 9,27
V ( x ) 0 0
La représentation de x ⟼ ( 5 - 2 x ) 2 × x est
Attention, le repère n’est pas orthonormé.
La dérivée s’annule deux fois donc il y a deux tangentes horizontales.
Cette fonction n’admet ni maximum ni minimum.
Pour x = 5
6, la tangente horizontale indique un maximum relatif.
Pour x = 5
2, la tangente horizontale indique un minimum relatif.
En se limitant à l’intervalle de définition, on trouve
Attention, le repère n’est pas orthonormé.
La dérivée s’annule deux fois donc il y a deux tangentes horizontales.
Pour x = 5
6, la tangente horizontale indique le maximum.
Pour x = 5
2, la tangente horizontale indique le minimum.
Pour x = 0, il n’y a pas de tangente horizontale mais cela indique quand même un minimum. Cela peut arriver car 0 est une extrémité de l’intervalle de définition.
