1ères S bientôt Tales S Révisions d’été
I. Etudes de fonctions :
Dans chaque cas, étudier complétement f (ensemble de définition, ensemble de dérivabilité, dérivée, tableau de variations, tracé de la courbe avec les tangentes horizontales et celles indiquées par l’énoncé).
1°) f : ℝ→ ℝ
x f (x) = x3 – 2x² – 4x + 8 (+ calculer f(–2) et étudier le signe de f(x)).
2°) f : 𝒟f → ℝ
x f (x) = (+étudier le signe de f(x) + équations des tangentes où f s’annule, en – 7 et 2).
3°) f : 𝒟f → ℝ
x f (x) = (x² + x – 2) (+ équations des tangentes où f s’annule).
4°) f : 𝒟f → ℝ
x ↦ (+ équations des tangentes en 1 et 5).
5°) On considère les fonctions f et g définies sur IR par f (x) = 3x3 –3x + 2 et g(x) = x2. On note 𝒞f et 𝒞g leurs courbes dans un repère orthonormé (O ; i, j) du plan,
1. Déterminer l’équation réduite de la tangente T à la courbe de f au point A d’abscisse 0.
2. Calculer les coordonnées du point B de 𝒞g tel que la tangente à 𝒞g en B soit parallèle à T.
3. Existe-t-il deux points, M sur 𝒞f et N sur 𝒞g de même abscisse tels que la tangente à 𝒞f et M et la tangente à 𝒞g et N soient parallèles ?
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6°) On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = mx3 + px + q où m, p et q sont trois réels.
On a placé sur la courbe représentative les points R, A t S d’abscisses respectives –1 ; 0 et 1.
On a tracé la tangente à la courbe au point A, et on admet que les tangentes en R et S sont parallèles à laxe des abscisses.
1. A l’aide des reseignements de l’énoncé et du graphique, déterminer les valeurs des réels m, p et q.
2. Calculer les coordonnées des points R et S.
3. Déterminer à la calculatrice, un encadrement à 10-2 près dela solution de l’équation f(x) = 0.
II. Sur les suites :
1°) Soit (un)n ∈ ℕ la suite arithmétique telle que u2 = 7 et u8 = – 13.
a) Déterminer la raison et le premier terme de cette suite.
b) Déterminer la somme S des 71 premiers termes de cette suite. (S = u0 + u1 + … + u70) 2°) Soit (un)n ∈ ℕ la suite géométrique telle que u5 = – 1 et u6 = 0,6.
a) Déterminer la raison et le premier terme de cette suite.
b) Quelle est le sens de variation de cette suite ? Justifier.
c) Déterminer la somme des n + 1 premiers termes de cette suite.
Vers quelle valeur semble tendre cette somme quand n tend vers + ∞ ? (On pourra s’aider de sa calculatrice ou d’un tableur.)
3°) Une suite arithmético-géométrique (inspirée par un sujet de baccalauréat ES) :
L’entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d’entretien aux propriétaires de piscines privées. Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12 % de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir.
En 2015, l’entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits. On modélise la situation par une suite (un)n ∈ ℕ où un représente le nombre de contrats souscrits auprès de l’entreprise PiscinePlus l’année 2015 + n. Ainsi, on a u0 = 75.
A) a) Déterminer, pour tout entier naturel n, un + 1 en fonction de un.
b) Sur un graphique où le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; , ) d’unité 0,1 cm (ou 0,1 carreau), représenter en vert la droite d’équation y = x et en rouge la droite d’équation y = 1,12x – 6, puis construire les quatre premiers termes de la suite (un)n ∈ ℕ en les plaçant sur l’axe des abscisses.
c) On a reproduit la grille d’un tableur Excel grâce auquel on veut calculer les termes successifs de la suite (un)n ∈ ℕ :
A B
1 n un
2 0 75
3 1
… … …
52 50
) Compléter les cases B3 et B52 avec les formules adéquates.
) Donner les valeurs obtenues dans ces cases.
) Quelle conjecture peut-on formuler quant : (i) au sens de variation de (un)n ∈ ℕ ;
(ii) à la valeur de un quand n tend vers + ∞ ? B) On pose pour tout entier naturel n : vn = un − 50.
a) Montrer que la suite (vn)n ∈ ℕ est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.
b) En déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de vn puis de un en fonction de n.
c) Prouver la conjecture du 1°) c) ) (i).
C) L’entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de 100 contrats avec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l’entreprise devra embaucher davantage de personnel. On cherche à connaître en quelle année l’entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l’algorithme suivant, qui donnera en sortie l’année recherchée :
L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9
Variables : Initialisation : Traitement :
Sortie :
n est un nombre entier naturel U est un nombre réel
Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 75 Tant que … faire
n prend la valeur … U prend la valeur … Fin Tant que
Afficher ...
a) Recopier et compléter les lignes L5 à L7 ainsi que L9.
b) Donner la valeur affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.
D) Chaque année, PiscinePlus imprime un accusé de réception du règlement du contrat de maintenance.
Combien d’accusés de réception PiscinePlus aura imprimé entre 2015 et 2022 (inclus) ?
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* III. Géométrie :
On se place dans le plan 𝒫 muni d’un repère orthonormé (O ; , ).
Soient A (3 ; – 2) et B (– 1 ; – 1) deux points et (2 ; 3) un vecteur.
On fera une représentation graphique à l’échelle 1 cm que l’on complétera au fil de l’exercice.
a) Déterminer des équations cartésiennes des droites (AB) et d2 passant par B et de vecteur directeur . b) Calculer . . En déduire l’angle entre (AB) et d2.
c) Déterminer une équation cartésienne de d3 la droite orthogonale à d1 passant par C (– 4 ; 4).
Déterminer les coordonnées de D, l’intersection de (AB) et d3.
d) Déterminer les longueurs des côtés du triangle ABC, ses angles inscrits et son aire.
e) Soit 𝒞 le cercle de centre A et de rayon 8.
Déterminer une équation de 𝒞, puis 𝒞 ⋂ d2.
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* IV. Trigonométrie :
1°) Soit a ∈ [– ; 0] tel que cos a = .
Déterminer les valeurs exactes de sin a, sin 2a et sin .
2°) Déterminer la valeur exacte de cos ( ). (On pourra calculer .)
3°) Résoudre dans ℝ chacune des équations suivantes :
cos x = – ; sin x = cos ; sin (3x – ) = ; 2cos² x = cos x + 1.
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V. Probabilités :
1°) Soit k ∈ ℕ. On considère un jeu où la probabilité de :
¤ gagner k drachmes est pk;
¤ perdre 2 drachmes est p– 2 = ;
¤ perdre 5 drachmes est p– 5 = .
Il n’y a pas d’autres possibilités de gain ou de perte.
a) Sachant que ce jeu est équitable, déterminer k5 et pk. b) Calculer l’écart-type de ce jeu.
2°) Dans la ville de P***, il pleut un jour sur trois. On considère que cette estimation ne dépend ni de la saison ni du temps qu’il a fait les jours précédents.
a) On passe 12 jours dans la ville de P*** et on note X la variable aléatoire donnant le nombre de jours où il pleut.
) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ? Donner son espérance et son écart-type.
) Calculer les probabilités des événements (X = 4), (X ≤ 9) et (X est divisible par 5).
b) Combien de jours faut-il passer à P*** afin que la probabilité d’y passer un jour sans pluie soit supérieure à 99 % ?
Ecrire un algorithme permettant de déterminer ce résultat.
c) On passe 100 jours à P***. On note Y la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de jours avec pluie.
) Quelle est la nature de la loi suivie par Y ? Donner son espérance et son écart-type.
) Dans un tableau Excel, dresser la loi de probabilité de Y.
) Calculer la probabilité que Y soit : (1) moins de 25 ; (2) plus de 25 ;
(3) entre 17 et 25. (Les bornes sont incluses.)
) Lors d’un séjour de 100 jours à P***, il y a eu 19 jours de pluie.
Cela remet-il en question l’hypothèse du début de l’énoncé ? (En complétant le tableau du ), on déterminera d’abord un intervalle de fluctuation au seuil de confiance de 95 %.)
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