L3 - Programmation logique - TD1 1 Logique des propositions
Exercice 1
Compétence L.1 : interprétation
Donner les valeurs de vérité des formules suivantes pour les interprétations proposées.
1. c∧(a∨b)→(a∧b) avec {c=F, a=V, b=F}. 2. c∧(a∨b)→(a∧b) avec {c=V, a=F, b=F}.
3. (a∨ ¬b∨c)∧(¬a∨b∨ ¬c)∧(a∨b∨ ¬c) avec {a=F, b=F, c=V}. 4. (a∨ ¬b∨c)∧(¬a∨b∨ ¬c)∧(a∨b∨ ¬c) avec {a=V, b=V, c=F}. 5. (a→b)→((a→c)∨d) avec {a=V, b=F, c=F, d=V}.
6. (a→b)→((a→c)∨d) avec {a=F, b=V, c=F, d=F}. Exercice 2
Compétence L.2 : validité et satisfaisabilité
Déterminez si chacune des formules suivante est valide et si elle est satisfaisable.
1. (a∨b)∧(¬b∨c)∧(¬c∨d)∧(¬d∨ ¬a).
2. (a∨ ¬b)∧(b∨ ¬c)∧(c∨ ¬d)∧(d∨ ¬a)∧(¬a∨ ¬c). 3. x→x.
4. (a→b)→(¬b→ ¬a). 5. (a→b)→(b→a). 6. (a∧ ¬b)∧(a→b). Exercice 3
Compétence L.3 : Modélisation propositionnelle
Modélisez chacune des phrases suivantes en logique propositionnelle.
1. Il n'y a pas de fumée sans feu. Variables : fumée, feu.
2. Si tu valides ton année tu iras en master sinon tu redoubleras. Variables : annéeok, master, redoublement.
3. Soit tu vas à la piscine, soit tu vas au cinéma, mais tu ne fais pas les deux. Variables : piscine, cinéma.
4. Les escargot sortent si et seulement si il pleut et il fait doux. Variables : pluie, doux, escargotsortis.
2 Logique du premier ordre
Exercice 1
Compétence R.1 : Identication
Identiez les termes, les atomes, les symboles fonctionnels, les symboles de prédicats, les variables dans la formule suivante :
∀X(P(X)∨Q(X, f(X, f(Y, g(X)))))→ ∃Y P(g(Y)) 1
Exercice 2
Compétence R.2 : Variables libres et liées
Identiez les occurrences libres et liées des variables dans les formules suivantes.
1. ∀XP(X, f(Y))→Q(Y).
2. ∃X((∀Y(P(X, Y)∨P(X, Z)))∨Q(X, Y)). Exercice 3
Compétence R.3 : modélisation
Modélisez chacune des phrases suivantes en logique des prédicats
1. Tous les plombiers sont des hommes. (Prédicats : plombier/1, homme/1)
2. Tous les hommes sont plombiers ou riches. (Prédicats : homme/1, plombier/1, riche/1) 3. Certains plombiers sont riches. (Prédicats : plombier/1, riche/1)
4. Aucun plombier n'est riche. (Prédicats : plombier/1, riche/1)
5. Tous les hommes ne sont pas plombiers. (Prédicats : plombier/1, homme/1)
6. Nul n'assassine un souverain auquel il est dèle. (Prédicats : assassiner/2, fidèle/2) 7. Les gens qui possèdent une voiture qui n'est pas rouge ont tous un chien. (Prédicats :
homme/1, voiture/1, rouge/1, possède/2, chien/1)
8. Quiconque a un chien ne possède pas de voiture rouge. (Prédicats : homme/1, voiture/1, rouge/1, possède/2, chien/1)
Exercice 4
Compétence R.4 : interprétation On considère la signature suivante :
Symboles de prédicats : femme/1, enfant/2, chatain/1, varicelle/1, jambecassee/1.
Symboles de fonctions : aucun.
On considère l'interprétation suivante pour cette signature : domaine d'interprétation :{charlotte, jeanne, antoine, isabeau}. femme(A) =V si et seulement siA∈ {charlotte,jeanne,isabeau}. chatain(A) =V si et seulement siA∈ {jeanne,antoine}.
varicelle(A) =V si et seulement siA∈ {jeanne,antoine}. jambecassee(A) =V si et seulement siA∈ {jeanne,charlotte}.
enfant(A, B) = V si et seulement si (A, B) ∈ {(charlotte,isabeau),(charlotte,jeanne), (jeanne,antoine)}.
On considère maintenant la formule suivante :
∀X(femme(X)∧ ∃Y(enfant(X, Y)∧chatain(Y)))→(varicelle(X)∧jambecassee(X)) Quelle est la valeur de vérité de cette formule pour cette interprétation ?
Peux t-on changer la valeur de vérité de la formule en modiant uniquement l'interprétation du prédicat varicelle/1 ? Si oui, donnez un exemple.
Exercice 5
Compétence R.4 : interprétation On considère la signature suivante : Symboles de prédicats : egal/2.
2
Symboles de fonctions : aucun.
On considère l'interprétation suivante pour cette signature : domaine d'interprétation :{a, b, c, d, e}.
egal(A, B) =V si et seulement si (A, B)∈ {(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e),(a, b),(b, a),(c, d), (d, c),(d, e),(e, d),(e, c)}.
On considère maintenant la formule suivante : (∀X(egal(X, X)))∧
(∀X∀Y(egal(X, Y)→egal(Y, X)))∧
(∀X∀Y∀Z((egal(X, Y)∧egal(Y, Z))→egal(X, Z))) Quelle est la valeur de vérité de cette formule pour cette interprétation ?
Qu'en est il si on ajoute le couple(c, e)à l'ensemble des valeur rendant vrai le prédicat egal ?.
Exercice 6
Compétence R.5 : validité et satisfaisabilité
Déterminez si chacune des formules suivantes est satisfaisable et si elle est valide. Justiez vos réponses.
1. ∀X(∃Y(p(X)→q(Y))∧ ¬∃Z(¬q(Z)→ ¬p(X))) 2. (∀Xg(X))→(∀Y g(Y))
3. (∀X(g(X)∧h(X)))→((∀Xg(X))∧(∀Xh(X))) 4. (∀X(g(X)∨h(X)))→((∀Xg(X))∨(∀Xh(X))) 5. (∀X∃Y p(X, Y))→(∃Y∀Xp(X, Y))
6. (∃X∀Y p(X, Y))→(∀Y∃Xp(X, Y))
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