DS du 22 mars 2010

Lundi 22 mars 2010. première partie voir IE du 22 mars 2010.

Mathématiques. 1S1 et 1S2.

DEUXIEME PARTIE. 3 heures.

Calculatrice autorisée.

Le barème est donné à titre indicatif.

EXERCICE 1. 3 points.

ABCD est un carré de côté a.

I et J sont les points tels que BI

= 1

3 BC

et CJ

= 1 3 CD

On se propose de démontrer que les droites (AI) et (BJ) sont perpendiculaires.

1. Calculer chacun des produits scalaires suivants : a. AB

. BC

b. BI

. CJ

c. BI

. BC

d. AB

. CJ

.

2. Démontrer que AI

. BJ

= 0. Conclure.

EXERCICE 2. 6 points.

Dans le plan muni du repère orthonormé positif (O ; i

; j

) , soit u

(a ; b) et v

(c ; d)

Le but de l’exercice est de trouver une technique simple pour déterminer l’angle orienté (u

; v

) 1. le produit scalaire permet de calculer cos (u

; v

) :

a. Comment ?

b. Cela suffit-il pour connaître(u

; v

)?

2. Question de cours : Soit u

' le vecteur directement orthogonal à u

. a. Rappeler sa définition.

b. Donner ses coordonnées.

3. Exprimer le produit scalaire v

. u

’ : a. En fonction de a, b, c et d

b. En fonction de u

, v

et l’angle (u

; v

)

4. Montrer que v

. u

' = det (u

; v

), (det(u

; v

) désigne le déterminant des vecteurs u

et v

).

En déduire sin(u

; v

) en fonction de u

et v

.

5. Application : déterminer la mesure principale de (u

; v

) quand u

(1 ; − 1) , v

(0 ; 2)

A B

C D

I

J

C D A

B

800m

EXERCICE 3. 6 points.

f est la fonction définie sur IR par f(x) = 2 (cosx)

+ 1 et C

est sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Question préliminaire :

a. Résoudre, dans IR, l’équation sin x = 0

b. En déduire les solutions dans [0 ; π] de sinx = 0 c. Résoudre, dans IR, l’équation cos x = 0

d. En déduire les solutions dans [0 ; π ] de cosx = 0 2. Recherche d’un intervalle d’étude.

a. Calculer f(x + 2 π ). Que peut − on en déduire ? b. Etudier la parité de f.

c. Expliquer pourquoi il suffit d’étudier la fonction sur [0 ; π].

d. Comment, à partir de cette étude, obtiendra − t − on la courbe C

pour x ∈ IR ? 3. Etude de f sur [0 ; π ]

a. Montrer que f’(x) = −6 sinx cos²x b. Etudier les variations de f sur [0 ; π ]

4. Montrer que l’équation f(x) = 0 a, sur [0 ; π ], une unique solution α dont vous donnerez une valeur approchée à 10

près.

5. Quelles sont les équations des tangentes à C

aux points d’abscisses 0, π /2 et π ? 6. Construire C

et ses tangentes remarquables pour x ∈ [ −π ; + π ].

EXERCICE 4. 5 points.

A et B sont deux points inaccessibles.

On voudrait mesurer la distance entre A et B, puis les distances de A et B à la droite (CD).

Pour cela, à partir des points C et D distants de 800 m, on a mesuré : A C  B = 20°, B C  D = 45°, BD  A= 45° et AD  C = 30°.

(Les résultats seront donnés à 10

près).

1. Calculer AB.

2. Calculer les distances de A et B à la droite (CD)

3. Calculer l’aire du quadrilatère ABDC.

EXERCICE 1.

ABCD est un carré.

I et J sont les points tels que BI

= 1

3 BC

et CJ

= 1 3 CD

On se propose de démontrer que les droites (AI) et (BJ) sont perpendiculaires.

1. Calculer chacun des produits scalaires suivants :

a. AB

. BC

= 0 car deux côtés consécutifs d’un carré sont perpendiculaires

b. BI

. CJ

= 1 3 BC

. 1

3 CD

= 1

9 BC

. CD

= 0 pour la même raison qu’au a.

c. BI

. BC

= 1

3 BC

. BC

= 1

3 BC

² = 1

3 BC² = a²/3 avec a longueur d’un côté d. AB

. CJ

=

. 1

3 CD

=

. 1

3 (−

) = − 1

3 AB² = −a²/3

2. Démontrer que AI

. BJ

= 0. Conclure.

AI

. BJ

= (

+ BI

).(BC

+ CJ

) = AB

. BC

+ AB

. CJ

+ BI

. BC

+ BI

. CJ

= 0 – a²/3 + a²/3 + 0 d’après 1.

donc AI

. BJ

= 0 ce qui prouve que les droites (AI) et (BJ) sont perpendiculaires.

EXERCICE 2.

Dans le plan muni du repère orthonormé positif (O ; i^→ ; j^→) , soit u^→(a ; b) et v^→(c ; d)

L’objectif de l’exercice est de trouver une méthode simple pour trouver l’angle ORIENTE de deux vecteurs dont on connaît les coordonnées.

1. le produit scalaire permet de calculer cos (u^→→→→ ; v^→→→→).

a. Comment ?

→u

.v^→ = ||u^→||×||v^→|| cos(u^→ ; v^→) donc cos(u^→ ; v^→) = ^→u.v^→

||u^→||×||v^→|| = ac + bd a² + b² c² + d² b. Cela suffit-il pour connaître(u^→→→→ ; v^→→→→)?

un réel et son opposé ayant le même cosinus, on peut trouver la valeur absolue de (u^→ ; v^→), mais pas l’angle orienté.

2. Soit u^→→→→ ’ le vecteur directement orthogonal à u^→→→→. a. Rappeler sa définition.

Cours : le vecteur u^→ ’directement orthogonal à u^→ est le vecteur tel que ||u^→ ’|| = ||u^→|| et (u^→ ; u^→ ’) = + π/2 b. Donner ses coordonnées.

Cours : les coordonnées de u^→ ’ directement orthogonal à u^→ (a ; b) sont (−b ; a)

3. Exprimer le produit scalaire v^→→→→ . u^→→→→ ’

a. En fonction de a, b, c et d : ^→v(c ; d) et u^→ ’ (−b ; a) donc v^→ . u^→ '= ad − bc

b. En fonction de u^→→→→, v^→→→→ et l’angle (u^→→→→ ; v^→→→→) : ^→v . u^→ ’= ||v^→|| × ||u^→ ’|| cos(v^→ ; u^→ ’) = ||v^→|| × ||u^→|| × cos(v^→ ; u^→ ’) or (v^→ ; u^→ ’) = (v^→ ; u^→) + (u^→ ; u^→’) + 2kπ = − (u^→ ; v^→) + π/2 +2kπ

et cos(π/2 – x) = sin x donc cos(v^→ ; u^→ ’) = cos(π/2 − (u^→ ; v^→)) = sin(u^→ ; v^→) donc v^→ . u^→ ’ = ||v^→|| × ||u^→|| × sin(u^→ ; v^→)

4. Montrer que v^→→→→. u^→→→→' = det (u^→→→→ ; v^→→→→) det(u^→ ; v^→) = a c

b d = ad − bc.

Que peut-on en déduire ?

On vient de trouver que det(u^→ ; v^→) = v^→ . u^→' = ad − bc donc d’après 3. sin(u^→ ; v^→) = det(u^→ ; v^→)

||u^→||×||v^→|| = ad - bc a² + b² c² + d²

5. Application : déterminer la mesure principale de (u^→→→→ ; v^→→→→) quand u^→→→→ (1 ; −−−−1) , v^→→→→(0 ; 2)

||u^→|| = 2, ||v^→||= 2, u^→.v^→ = −2 et det (u^→ ; v^→) = 2 donc cos(u^→;v^→) = - 2/2 et sin(u^→;v^→) = 2/2 donc (u^→;v^→) = 3π/4

A B

C D

I

J

EXERCICE 3.

f est la fonction définie sur IR par f(x) = 2 (cosx)³ + 1 et C_f est sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Question préliminaire :

a. Résoudre, dans IR, l’équation sin x = 0.

sinx = 0 ⇔ x = kπ , k ∈

Z

b.

c. Résoudre, dans IR, l’équation cos x = 0 cos x = 0 ⇔ x = π/2 + kπ , k ∈ Z

d. En déduire les solutions dans [0 ; ππππ[ de cosx = 0 dans [0 ; π], cos x = 0 pour x = π/2.

2. Recherche d’un intervalle d’étude.

a. Calculer f(x + 2ππππ). Que peut−−−−on en déduire ?

f(x + 2π) = 2(cos(x + 2π))³ + 1 = 2 (cos x)³ + 1 = f(x) car cos (x + 2π) = cos x

on en déduit que f est périodique de période 2π et qu’il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2π.

b. Etudier la parité de f.

Soit x ∈ IR, alors −x ∈ IR et f(−x) = 2 (cos(−x))³ + 1 = 2 (cos x)³ + 1 = f(x) car cos(−x) = cosx) donc f est paire.

c. Expliquer pourquoi il suffit d’étudier la fonction sur [0 ; ππππ].

D’après a. on peut étudier la fonction f sur [−π ; π]

D’après b. f est paire donc si on connaît f sur [0 ; π], on la connaît sur [−π ; 0]

d. Comment, à partir de cette étude, obtiendra−−−−t−−−−on la courbe C_f sur IR ?

Connaissant C_f sur [0 ; π], une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées nous donnera Cf sur [−π ; 0]

on connaîtra alors C_f sur un intervalle d’amplitude 2π et il n’y aura plus qu’à faire des translations de vecteurs 2kπ i^→. 3. Etude de f sur [0 ; ππππ]

a. Montrer que f’(x) = −−−−6 sinx cos²x

Sur [0 ;π], f, composée de la fonction cos et d’une fonction polynôme, est dérivable.

il faut connaître : (uⁿ)’ = n

×

×

−

b. Etudier les variations de f sur [0 ; ππππ]

valeurs qui annulent f’(x) :

f’(x) = 0 ⇔ sinx = 0 ou cosx = 0

⇔ x = 0 ou x = π/2 ou x = π d’après 1. (on travaille dans [0 ;π]) signe de f’(x) : cos²x ≥ 0 et dans [0 ;π], sinx ≥ 0 donc −6sinx ≤ 0

f est donc strictement décroissante sur [0 ;π].

De plus f(0) = 3, f(π/2) = 1 et f(π) = −1

4. Montrer que l’équation f(x) = 0 a, sur [0 ; ππππ], une unique solution αααα dont vous donnerez une valeur approchée à 10⁻⁻⁻⁻³ près.

Sur l’intervalle [0 ; π], f est définie, dérivable et strictement décroissante de 3 à −1.

Or −1 < 0 < 3 donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 0 a une unique solution α dans [0 ; π].

par balayage avec la calculatrice, on obtient f(2,487) > 0 et f(2,488 < 0 donc 2,487 < α < 2, 488 (en radians) 5. Quelles sont les équations des tangentes à C_f aux points d’abscisses 0, ππππ/2 et ππππ ?

Pour ces trois valeurs, la dérivée s’annule donc les tangentes cherchées sont parallèles à l’axe des abscisses.

en x = 0, T₀ a pour équation y = 3 en x = π/2, T_π/2 a pour équation y = 1 en x = π , T_π a pour équation y = −1

6. Construire C_f et ses tangentes remarquables sur [−−−−ππππ ; +ππππ].

x 0 π/2 π f’(x) 0 − 0 − 0

3 f(x) 1

−1

C 800 m D B

A

H H'

45°

20°

30°

45°

EXERCICE 4.

Exercice 1. A et B sont deux points inaccessibles. On voudrait mesurer la distance entre A et B, puis les distances de A et B à la droite (CD).Pour cela, à partir des points C et D distants de 800 m, on a mesuré :

ACB

= 20°, B

= 45°, B

= 45° et A

= 30°.

1. Calcul de AB : a. Déterminer BD.

dans BDC : C BD = 180 − (30 + 45 + 45) = 60 et ^BD

sin45 = ^CD

sin60 donc BD = ^CDsin45

sin60 = ^{800× 2/2}

3/2 = ^{800 2}

3 donc BD = ^{800 2}

3 ≈ 653,19 m.

b. Déterminer AD.

dans ACD : C AD = 180 − (20 + 45 + 30) = 85 et ^AD

sin65 = ^CD

sin85 donc AD = ^CDsin65

sin85 = ^800sin65

sin85 donc AD = ^800sin65

sin85 ≈ 727,81 m

c. Conclure.

dans ABD : AB² = BD² + AD² − 2BD × AD × cos45 = … ≈ 284 046,36 donc AB ≈ 532,96 m.

2. Calculer les distances de A et B à la droite (CD).

Soit H le pied de la hauteur issue de A dans ACD. On cherche AH.

dans ADH rectangle en H, sin30 = ^AH_AD donc AH = AD sin30 ≈ 363,90 m Soit H’ le pied de la hauteur issue de B dans BCD. On cherche BH’.

dans BH’D rectangle en H’, sin75 = ^BH'

BD donc BH’ = BD sin75 ≈ 630,94 m 3. Calculer l’aire du quadrilatère ABDC. Soit A cette aire.

Le triangle ABD a pour aire A₁ = ½ DA DB sinADB = ½ DA DB sin45 = 1

2×^800sin65_sin85 ×800 2 3 × 2

2 = 800²sin65 2 3sin85

Le triangle ADC a pour aire A₂ = ½ DA DC sin ADC = ½ DA DC sin 30 = 1

2 × ^800sin65_sin85 × 800× 1

2 = ^800²sin65 4sin85 A = A₁ + A₂ = ^800²sin65

2 3sin85 + 800²sin65

4sin85 donc A_≈ 313 465, 01 m²