cours 9, le lundi 21 f´evrier 2011

(1)

Fonction mesurable ou intégrable définie presque partout On suppose donné un espace mesuré (E,F, µ).

Définition. On dit que Y ⊂ E est µ-négligeable s’il existe un ensemble N ∈ F tel que Y ⊂ N et µ(N) = 0 : un ensemble négligeable est plus petit qu’un ensemble de la tribu qui est de mesure nulle.

On dit qu’une propriété attachée aux points de E est vraie µ-presque partout si l’ensemble des points x ∈ E où elle n’est pas vraie est µ-négligeable. Par exemple, une fonction f sur E est finieµ-presque partout si l’ensemble des points x où f(x) est infini est µ-négligeable.

Si on a une famille dénombrable (Y_i)_i∈I de sous-ensembles µ-négligeables de E, chacun peut être placé dans un ensemble N_i ∈ F de mesure nulle, donc N = S

i∈IN_i ∈ F est de mesure nulle et contient Y = S

i∈IY_i : une réunion dénombrable de négligeables est négligeable.

On pourra gagner un peu de temps en introduisant la terminologie suivante (¸ca sera entre nous, ¸ca n’est pas une terminologie classique universellement reconnue) : un ensemble P ∈ F est de pleine mesure pour µ, ou bien simplement µ-plein, si son complémentaire N = E\P est de mesure nulle pour µ. Une intersection dénombrable d’ensembles µ-pleins (P_n) est encore un ensemble µ-plein : en effet, c’est un ensemble de la tribu F, et son complémentaire est réunion dénombrable d’ensembles de mesure nulle, donc il est de mesure nulle.

Définition.On dit quef est une fonction F-mesurable définieµ-presque partout sur E sif, à valeurs dans R, est définie sur un sous-ensemble E₀ ⊂E qui contient un ensemble µ-plein P∈ F tel que la restriction de f à P soit F-mesurable, c’est-à-dire que

{x ∈P :f(x)> c} ∈ F pour tout c r´eel, et

P ⊂E₀ ⊂E, µ(E\P) = 0.

Sif est à valeurs complexes, on dira quef est unefonction complexeF-mesurable définie µ-presque partout sur E si les deux fonctions réelles Ref et Imf vérifient la définition précédente.

La restriction à P de la fonction f est une vraie fonction F-mesurable définie sur P ; on dira à l’occasion que f est bien définie en dehors de N = E \P. On remarque que si f est à valeurs dans [0,+∞], l’intégrale de f ne dépend pas de l’ensemble µ-plein particulier qui vérifie les propriétés précédentes : si P₁ et P₂ sont deux tels ensembles, alors P₁∩P₂ est µ-plein, donc P₁\P₂ est de mesure nulle et

Z

P¹

fdµ= Z

P¹∩P²

fdµ+ Z

P¹\P²

fdµ= Z

P¹∩P²

fdµ puisque l’int´egrale sur P1\P2 est nulle, et de mˆeme

Z

P²

fdµ= Z

P¹∩P²

fdµ= Z

P¹

fdµ.

(2)

Il en résulte que pour une fonction réelle ou complexe mesurable définie presque partout, le fait qu’elle soitµ-intégrable est bien défini, puisque l’intégrale de la fonction positive|f| ne dépend pas de l’ensemble µ-plein choisi. On voit de plus, en passant à f⁺ et f⁻ puis

`

a Ref et Imf dans le cas complexe, que l’intégrale est bien définie. On décidera de l’appeler l’intégrale de la fonctionf définie µ-presque partout.

Définition.Soitg une fonction F-mesurable définie µ-presque partout sur E, à valeurs dans [0,+∞] ou bien µ-intégrable à valeurs réelles ou complexes ; on pose

Z

E

gdµ= Z

P

gdµ,

o`u P∈ F est un ensembleµ-plein tel quegsoit d´efinie sur P et queg_|PsoitF-mesurable.

Si f1 et f2 sont deux fonctions F-mesurables définies µ-presque partout, on peut trouver un même ensemble µ-plein P ∈ F sur lequel elles sont toutes les deux bien définies, et on peut donc considérer f₁ +f₂ comme une fonction F-mesurable définie presque partout. Sif₁, f₂ sont positives, ou bien µ-intégrables, l’intégrale def₁+f₂ est la somme des intégrales : si P est un ensemble µ-plein sur lequel les deux fonctions sont définies, l’intégrale de la fonction f₁+f₂ définie presque partout est, par définition,

Z

P

(f₁+f₂) dµ= Z

P

f₁dµ+ Z

P

f₂dµ qui est la somme des int´egrales de f₁ et de f₂.

On conviendra désormais que l’expression^hhfonctionµ-intégrable sur Eⁱⁱ, sans autre précision, dans le contexte d’un espace mesuré (E,F, µ), fait référence à une fonction F-mesurable définie µ-presque partout sur E, à valeurs dans R, ou à valeurs dans C, et intégrable par rapport àµ.

Fonctions Riemann-int´egrables

Les fonctions Riemann-intégrables sur un intervalle compact [a, b] vont nous fournir un exemple de fonctions λ-intégrables qui ne sont pas nécessairement boréliennes.

Proposition. Si f est une fonction réelle Riemann-intégrable sur l’intervalle compact [a, b], alors f est une fonction λ-intégrable.

La nuance, c’est que f n’est pas nécessairement borélienne, mais elle est presque partout égale à une fonction borélienne.

Preuve. —On donne une fonctionf réelle, Riemann-intégrable sur [a, b], donc bornée par un certain nombre réel M. Par définition de l’intégrale de Riemann de f, il existe deux suites de fonctions en escalierϕn ≤f ≤ψn qui encadrentf, et dont les intégrales tendent vers celle de f. On peut affiner l’encadrement en prenant les fonctions en escalier gn, hn

d´efinies par

gn = max

k6n

ϕk, hn = min

k6n

ψk. Alors ϕn≤gn ≤f ≤hn≤ψn et

Z b a

(hn(t)−gn(t))dt≤ Z b

a

(ψn(t)−ϕn(t))dt→0.

(3)

Les suites (gn) et (hn) sont monotones et born´ees. On peut introduire deux fonctions bor´eliennesg, h en posant

g = lim

n gn ≤f ≤h= lim

n hn.

Les suites (gn) et (hn) tendent simplement respectivement vers g et h, en étant dominées par la fonction constante G(t) = M, qui est λ-intégrable sur [a, b]. Par le théorème de convergence dominée,

Z b a

g(t) dt= Z

[a,b]

gdλ= lim

n

Z b a

gn(t) dt= Z b

a

f(t) dt

et de mˆemeRb

a h(t) dt=Rb

a f(t) dt. On voit ainsi que Z

[a,b]

(h−g) dλ= 0,

et commeh−g ≥0, il en r´esulte que

λ({h−g 6= 0})= 0, c’est-`a-dire que g=hsur un ensemble λ-plein P,

P ={x∈[a, b] : (h−g)(x) = 0} ∈ B_[a,b].

Sur cet ensemble P, on auraf =g=h, par conséquent la restriction def à P est borélienne.

Ainsi, toute fonction Riemann-intégrable sur un segment estλ-intégrable au sens qui a été introduit dans cette section.

Enonc´´ e modifié du théorème de Lebesgue

Théorème de convergence dominéede Lebesgue, version définitive.On suppose que la suite (fn) de fonctions µ-intégrables sur E, à valeurs réelles ou complexes, vérifie :

— il existe une fonction µ-int´egrable g, telle que pour tout n, on ait µ-presque partout la majoration |f_n| ≤g,

— la suite (fn) tend vers f µ-presque partout.

Alors la limite f est µ-int´egrable et Z

E

f_ndµ→ Z

E

fdµ.

Preuve. — On a plein d’ensembles µ-négligeables : les ensembles de non-définition des f_n, la non-définition ou non-finitude de g, les non-majorations de |f_n| par g, la non-convergence de la suite (f_n) vers f. Comme il s’agit d’une famille dénombrable d’ensembles négligeables, on peut les réunir en un seul gros négligeable Y ⊂ N ∈ F, et former dans le complémentaire un ensemble plein P = E\N sur lequel tout est bien : en restriction à l’ensemble P∈ F, les fonctions (f_n) sont F-mesurables réelles ou complexes définies sur P, convergent simplement vers f en tout point de P, et sont majorées par g finie et intégrable. Comme toutes les intégrales qui nous intéressent peuvent être définies par l’intégrale sur P, cette deuxième forme du théorème de Lebesgue se ramène à la

premi`ere, Z

E

fndµ= Z

P

fndµ→ Z

P

fdµ= Z

E

fdµ.

(4)

Version s´eries de fonctions

Commen¸cons par une remarque ; si on a une suite (vk) de fonctions positives d´efinies presque partout, il existe pour chaque k un ensemble de mesure nulle N_k ∈ F tel que vk soit ^hhbien d´efinieⁱⁱ en dehors de Nk; en posant N = S

kNk ∈ F, on a un ensemble de mesure nulle en dehors duquel toutes les fonctions de la suite sont bien d´efinies. On peut donc en conclure que la fonction P_+∞

k=0vk est une fonction presque partout d´efinie

`

a valeurs dans [0,+∞]. Sur l’ensemble plein P = E\N, on peut appliquer la version s´eries du TCM,

Z

E

X^+∞

k=0

v_k dµ=

Z

P

^+∞X

k=0

v_k dµ=

+∞X

k=0

Z

P

v_kdµ=

+∞X

k=0

Z

E

v_kdµ.

Corollaire : version séries du théorème de Lebesgue. Si une série P

u_n de fonctions µ-intégrables réelles ou complexes définies sur E vérifie

Z

E

^+∞X

n=0

|u_n|

dµ <+∞, ou bien, ce qui est ´equivalent par la version s´erie du TCM,

+∞X

n=0

Z

E|un|dµ <+∞, alors la s´erie num´erique P

un(x)converge pour µ-presque toutx, la fonction somme de la série est F-mesurable et µ-intégrable définieµ-presque partout, et on peut intervertir série et intégrale

Z

E

^+∞X

n=0

u_n dµ=

+∞X

n=0

Z

E

u_ndµ .

Preuve. — Posons

g(x) =

+∞X

k=0

|uk(x)| ∈[0,+∞] ;

puisque l’intégrale de cette fonction est finie d’après l’hypothèse, on sait que l’ensemble N ={g= +∞} est µ-négligeable. Cela veut dire que la série

X

k

|u_k(x)|

converge pour toutx /∈N, c’est-`a-direµ-presque partout, donc la s´erieP

u_k(x) converge tout court presque partout, et la somme de cette s´erie fournit une fonction f limite, d´efinie presque partout par

f(x) =

+∞X

k=0

u_k(x).

Presque partout, les sommes partielles f_n(x) =

Xn

k=0

u_k(x)

(5)

tendent simplement vers f(x) et les (f_n) sont born´ees par g(x), qui est int´egrable,

|fn(x)|=

Xn

k=0

uk(x) ≤

Xn

k=0

|uk(x)| ≤g(x).

Le résultat découle alors de l’additivité de l’intégrale et du théorème de convergence dominée de Lebesgue :

Z

E

^+∞X

n=0

u_n dµ=

Z

E

fdµ= lim

n

Z

E

f_ndµ= lim

n

Xn

k=0

Z

E

u_kdµ= X+∞

k=0

Z

E

u_kdµ.

Exercice traité. Considérons la densité de la loi gaussienne

∀x∈R, γ(x) = e^−x²^/2

√2π .

Par application de la version série du TCD, on va montrer que la transformée de Fourier- Laplace de la loi gaussienne, définie par

∀z ∈C, F(z) = Z

R

γ(x) e^xz dλ(x) = Z

R

e^−x²^/2

√2π e^xz dλ(x), admet un développement en série entière de rayon de convergence infini.

Solution. — On fixe z ∈C, quelconque, et on ´ecrit e^xz =

+∞X

n=0

xⁿzⁿ n! , de sorte que

F(z) = Z

R

^+∞X

n=0

e^−x²^/2 xⁿzⁿ n!

dx

√2π, intégrale d’une série de fonctions complexesu_n définies surR par

u_n(x) = e^−x²^/2 xⁿzⁿ n! .

Pour pouvoir intervertir l’intégrale et la série, il suffit, d’après la version séries du théorème de convergence dominée, de vérifier que la fonction P

|u_n(x)| est int´egrable.

Or

g(x) :=

+∞X

n=0

|u_n(x)|= e^−x²^/2 X+∞

n=0

|x|ⁿ|z|ⁿ

n! = e^−x²^/2e^{|x| |z|}

est d’intégrale finie : en effet, la fonction précédente est paire, donc Z

R

g(x) dx= 2 Z +∞

0

e^−x²^/2+x|z| dx

√2π

(6)

= 2 e^|z|²^/2 Z +∞

0

e^−(x−|z|)²^/2 dx

√2π = 2 e^|z|²^/2 Z +∞

−|z|

e^−t²^/2 dt

√2π ≤2 e^|z|²^/2 <+∞. La condition du théorème étant vérifiée, on peut intervertir et trouver

∀z ∈C, F(z) =

+∞X

n=0

Z

R

e^−x²^/2 xⁿzⁿ n!

√dx 2π =

+∞X

n=0

1 n!

Z

R

e^−x²^/2xⁿ dx

√2π zⁿ,

développement en série entière de rayon infini,

F(z) = X+∞

n=0

anzⁿ, avec an= 1 n!

Z

R

e^−x²^/2xⁿ dx

√2π

pour toutn≥0. On pourrait calculer les coefficientsanpar récurrence, mais une méthode plus rapide consiste à remarquer qu’on peut calculer F(y) pour tout y réel ; en effet,

F(y) = Z +∞

−∞

e^−x²^/2+xy dx

√2π = e^y²^/2 Z +∞

−∞

e^−(x−y)²^/2 dx

√2π

= e^y²^/2 Z +∞

−∞

e^−t²^/2 dt

√2π = e^y²^/2. On a donc pour tout y r´eel

F(y) =

+∞X

n=0

a_nyⁿ = e^y²^/2,

ce qui permet d’identifier les coefficients a_n, d’après l’unicité des coefficients des sommes de séries entières de rayon de convergence >0 ; on obtient ainsi pour tout entier n≥0

a_2n = 1

2ⁿn!, a_2n+1 = 0.

On en d´eduit que

∀z ∈C, F(z) =

+∞X

n=0

1

2ⁿn!z²ⁿ = e^z²^/2.

En appliquant àz =−iy on obtient la transformée de Fourier de la densité gaussienne, bγ(y) =

Z

R

γ(x) e⁻^ixy dλ(x) = Z

R

e^−x²^/2−^ixy dx

√2π = e^−y²^/2, un r´esultat important qu’on reverra de plusieurs fa¸cons.

(7)

II.2.5. Intégrales dépendant d’un paramètre

On donne un espace mesuré (E,F, µ), un espace métrique (Y, d) et une fonction réelle ou complexe f sur E×Y. On suppose au minimum que

1. – pour tout y ∈Y, la fonction x→f(x, y) estµ-int´egrable.

Cela permet de d´efinir pour tout y ∈Y F(y) =

Z

E

f(x, y) dµ(x), une ^hhintégrale dépendant du paramètreyⁱⁱ.

Théorème 0 : continuité en un point. On suppose que f(x, y) est une fonction réelle ou complexe, définie sur E×Y, où (E,F, µ) est un espace mesuré et (Y, d) un espace métrique. On fixe un point y∗ de Y, et on suppose que

1_m – pour tout y ∈ Y, la fonction x → f(x, y) est F-mesurable d´efinie µ-presque partout ;

2 – pour µ-presque tout x∈E, la fonction y →f(x, y) est continue au point y∗; 3 – il existe une fonction µ-int´egrable g :x ∈ E → g(x) telle que pour tout y ∈ Y, on ait µ-presque partout la majoration |f(x, y)| ≤g(x).

Alors, la fonctionF d´efinie sur Y par F(y) =

Z

E

f(x, y) dµ(x)

est continue au point y_∗.

On note que l’hypoth`ese de mesurabilit´e 1_m permet de calculer pour tout y ∈ Y

l’int´egrale Z

E|f(x, y)|dµ(x)∈[0,+∞],

et la majoration3 entraˆıne l’hypothèse minimale1 d’intégrabilité de x→ f(x, y), pour

tout y∈Y, Z

E|f(x, y)|dµ(x)≤ Z

E

g(x) dµ(x)<+∞, ce qui permet de d´efinir F(y) pour tout y∈Y.

Preuve. — Pour montrer la continuité de F au point y∗ de l’espace métrique Y, il suffit de montrer que pour toute suite (y_n) tendant vers y_∗, on a F(y_n) →F(y_∗) : c’est exactement ce que dit le théorème de convergence dominée, si on pose

h_n(x) =f(x, y_n), h(x) =f(x, y_∗).

L’hypothèse 3donne la majoration de |h_n|par une fonction intégrable fixeg, et2donne la convergence simple µ-presque partout de h_n(x) vers h(x). On déduit par Lebesgue dominé que

F(yn) = Z

E

hn(x) dµ(x)→ Z

E

h(x) dµ(x) = F(y∗), ce qu’il fallait d´emontrer.

(8)

Ce premier résultat de continuité n’est pas celui qu’on utilise le plus souvent. Le théorème de continuité vraiment ^hhpratiqueⁱⁱ est celui qui viendra juste après. Cepen- dant, dans certains cas particuliers, on peut avoir besoin de ce premier ^hhthéorème 0ⁱⁱ, comme dans l’exemple qui suit.

Exemple 1. On suppose donnée une fonction réelle ou complexe h définie et Lebesgue- intégrable sur [0,+∞[. On pose, pour tout y ≥0,

F(y) = Z y

0

h(x) dx.

Dans le cas où h est continue, on a vu dans les rappels sur l’intégrale de Riemann que F est dérivable (de dérivéeh), donc F est continue. Quand hest seulement supposée intégrable, il n’y a aucune chance que F soit partout dérivable, mais on va montrer que F est continue sur [0,+∞[, en utilisant le théorème de continuité précédent.

On peut r´ecrire F sous la forme

∀y ∈Y, F(y) = Z

[0,+∞[

1_[0,y](x)h(x) dλ(x) = Z

E

f(x, y) dλ(x),

où E = Y = [0,+∞[ et où la fonction f utilisée est f(x, y) = 1_[0,y](x)h(x).

On fixe y∗ ≥0, par ailleurs quelconque. Si x ≥0 est donn´e, la fonction f_x :y ∈Y →f(x, y) =1_x≤yh(x)

est nulle quand y ∈ [0, x[, puis constante égale à h(x) quand y ≥ x : elle a au plus un point de discontinuité, le point y0 = x; la fonction fx est donc continue au point y∗

quand x 6= y_∗; comme le singleton {y_∗} est de mesure de Lebesgue nulle, on voit que l’hypoth`ese 2 est satisfaite ; de plus, la majoration 3 est facile `a obtenir,

|f(x, y)|=|1_[0,y](x)h(x)| ≤ |h(x)|=:g(x),

majorant intégrable indépendant du paramètre y, donc F est continue au point y_∗, et ceci pour tout y∗ ∈Y.

On notera que l’hypothèse ^hhglobaleⁱⁱ 2_g de continuité du théorème qui suit n’est pas satisfaite dans le présent exemple : au contraire, pour tout x∈ E tel que h(x)6= 0, la fonction y→f(x, y) est discontinue sur Y !

Théorème de continuité des intégrales à paramètre. On suppose que f(x, y) est une fonction réelle ou complexe, définie sur le produit E ×Y, où (E,F, µ) est un espace mesuré et (Y, d)un espace métrique. On suppose de plus que

1m – pour tout y ∈ Y, la fonction x → f(x, y) est F-mesurable d´efinie µ-presque partout ;

2g – pour presque tout x∈E, la fonction y→f(x, y)est continue sur Y;

3_` – pour tout y_∗ ∈ Y, il existe un voisinage V_∗ de y_∗ dans Y et une fonction µ- int´egrable g_∗ : x ∈ E → g_∗(x) tels que pour tout y ∈ V_∗, on ait µ-presque partout la majoration |f(x, y)| ≤g∗(x).

(9)

Alors, la fonctionF d´efinie sur Y par F(y) =

Z

E

f(x, y) dµ(x) est continue sur Y.

L’indicegdans2g est pour global : on a globalisé l’hypothèse de continuité ; l’indice` dans3_` est pour local : on a localisé la majoration au voisinage de chaque pointy de Y.

Preuve. —Soity_∗ dans Y, quelconque ; d’après3_`, il existe un voisinage V_∗dey_∗ et une fonctiong_∗ intégrable attachée à ce voisinage tels que|f(x, y)| ≤ g_∗(x) pour touty∈V_∗; on va montrer à nouveau que F(y_n) converge vers F(y_∗), pour toute suite (y_n) ⊂Y qui converge versy∗ : pourn≥n0 assez grand, le point yn entre dans le voisinage V∗ dey∗, donc pour tout n≥n₀ on a la majoration

∀x∈E, |h_n(x)|=|f(x, y_n)| ≤g_∗(x) ;

par l’hypothèse de continuité 2g, on sait que h_n(x) = f(x, y_n) converge simplement vers h(x) = f(x, y∗). D’après le théorème de convergence dominée appliqué à la suite (h_n)_n>n0, on déduit que F(y_n)→F(y_∗), ce qu’il fallait démontrer.

Exemple trait´e.La fonction Γ est d´efinie pour tout nombre complexestel que Res >0 par

Γ(s) = Z +∞

0

e^−xx^s−1dx.

On va montrer que Γ est continue sur le demi-plan ouvert U form´e des complexes s tels que Res > 0,

U ={s∈C: Res > 0}.

Preuve. — Ici E = ]0,+∞[, Y = U, la mesure est la mesure de Lebesgue λ et Γ(s) =

Z

E

f(x, s) dλ(x), f(x, s) = e^−xx^s−1.

La fonction s→f(x, s) est continue sur U pour tout x, nous devons nous occuper de la majoration. On remarque que si s=σ+ iτ, avec σ et τ r´eels, on a

|x^s|=|e^s^ln^x|=|e^(σ+i^{τ) ln}^x|= e^σ^ln^x =x^Re^s.

Il n’est pas possible de trouver pour |f(x, s)| un majorant g(x) intégrable valable pour tout s tel que Res > 0 ; en effet, si on avait |f(x, s)| ≤ g(x) pour tout s ∈]0,1] par exemple, on déduirait en passant à la limite quand s →0 que

0< x≤1 ⇒ e⁻¹x⁻¹ ≤e^−xx⁻¹ ≤g(x), et comme

e⁻¹ Z ₁

0

dx

x = +∞,

(10)

la fonctiongne pourrait pas être intégrable. Mais sis_∗ est fixé dans U, on peut considérer σ_∗ = Res_∗ >0 et le voisinage de s_∗ défini par

V_∗ ={s ∈C:σ_∗/2<Res <2σ_∗}

(par exemple) et trouver un majorant int´egrable g_∗(x) de |f(x, s)| valable pour tout s∈V∗. En effet, t ∈R→x^t−1 est d´ecroissante quand 0< x≤1, donc on a

(0< x ≤1, s∈V_∗) ⇒ 0≤ |f(x, s)|= e^−x|x^s−1| ≤e^−xx^σ^∗^/2−1 et t→x^t−1 est croissante quand x≥1, donc

(x≥1, s ∈V∗) ⇒ 0≤ |f(x, s)|= e^−x|x^s−1| ≤e^−xx^2σ^∗⁻¹. On obtient un majorant int´egrable g_∗, valable dans V_∗, en posant

g(x) =1_]0,1](x) e^−xx^σ^∗^/2−1+1_]1,+∞[(x) e^−xx^2σ^∗⁻¹. On vérifie l’intégrabilité de g_∗,

Z 1 0

e^−xx^σ^∗^/2−1dx≤ Z 1

0

x^σ^∗^/2−1dx= 1 σ∗/2

et pour la deuxi`eme int´egrale, on note que pour tous x, α > 0 on a, par changements successifs,

x≤e^x, x/α≤e^x/α, x^α ≤α^αe^x, x^α ≤2^αα^αe^x/2 donc

Z +∞

1

e^−xx^2σ^∗⁻¹dx≤ Z +∞

1

e^−xx^2σ^∗dx≤2^2σ^∗(2σ∗)^2σ^∗ Z +∞

1

e^−xe^x/2dx

<2^2σ^∗(2σ_∗)^2σ^∗ Z +∞

0

e^−x/2dx= 2.2^2σ^∗(2σ_∗)^2σ^∗ <+∞.