DOUARD UCAS É L

Texte intégral

(1)ÉDOUARD LUCAS Publications Scientifiques Tome X. Revue : NAM Nouvelles Annales de Mathématiques. 1866 – 1885.

(2) .. NOUVELLES ANNALES DE. MATHÉMATIQUES. JOURNAL DES CANDIDATS. AUX ÉCOLES POLYTECHNIQUE ET NORMALE,. Par. mm. GERONO,. PROFESSEUR DE MATHÉMATIQUES. ET. PR0UHET, RÉPÉTITEUR. A. l'ÉCOLE IMPÉRIALE. POLYTECHMQUK. DEUXIEÎE SBFftE TOME CINQUIÈME,. PLBL1C4TI0N. FOBÈE. U. 1842 PAR MM. GEIIO.\0 ET TEROUEM.. PARIS, GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE DU BURKAU DES LONGITUDES, DE. l' ÉCOLE. IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE,. SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER, Quai des Augustins, n" 55. 1866..

(3) -^. (. ). COXCIIIRS U ADMISSION A L'ECOLE niPÉRLALE POLYTECIIINIQIE EN I86'j.. COMPOSITION MATHEMATIQUE, Par m. Paul. MOËSSARD.. On donne dans un plan une parabole. On considère une circonférence passant par le foyer de cette parabole. On propose dHndiquer les régiotis du plan oit doit se trous'er le centre de la circonférence pour que cette. courbe ait successivement avec cette parabole quatre. communs , quatre points imaginaires communs , deux points réels et deux points imaginaires communs. On étudiera la forme et les propriétés de la courbe qui sépare les deux premières régions de la troi-. points réels. sième.. pour origine des coordonnées le foyer de x Taxe de cette parabole,. Je prends. parabole fixe; pour axe des. pour axe des Soit. ip. ). le. une perpendiculaire élevée au paramètre de. la. et. foyer.. parabole^ son équation. la. sera o.p. {-i). L'équation d'un cercle ayant pour centre les. coordonnées sont a jr^. -{-y-. et b, et. le. point dont. passant à l'origine, est. — 2 a.r —. 2 èj. zzr o.. L'équation générale des coniques passant par section des deux courbes est .r' -\- jr'^. —. 2 «X. —. 2 by. -\-. >.. 1. inter-. donc J^. — 2/Wx-f-^J. ...O,.

(4) ^^-. (. ou. ). nieii. j'. jT^ -I-. +. I. (. À. —. ). -2. {a. -\-. Jf vais exprimer que. p'k). X. —. ibj. pH.. représente un. celte équation. com-. système de deux droites qui seront alors les sécantes. munes aux deux courbes. Pour centre de cette conique est sur tions. du centre,. la. que. cela j'exprime. que devient l'équation de. et ce. le. courbe. J'écris les équa-. co-. la. nique quand on tient compte des équations du centre. ;. j'ai. ainsi. — a — p'a = o, j -h \) — b =z o, .r.. [î. X {a. -\-. /jâ) -\-. faut éliminera: ci. Il. plaçante. y. bj. -\- \p'^ z=z. entre ces équations; en rem-. par leurs valeurs dans. etj)^. {a -h p'X)-. équation dont. -hl). {\. la troisième, j'ai. b^ -\-lp^ (l h- à. -+-. trois racines. les. o.. me. ). = G,. donneront des sys-. tèmes de sécantes communes.. Cherchons. pour que. la condition. les racines. de cette. équation soient toutes trois réelles. Je. 1. ordonne. ;;'P -h. :. ^p{p. -+-. a)V. {p. -f-. -{-. a)'l. -4-. «'. -\-. ô.. b'. Je fais maintenaiU disparaître le terme en X'.. diminue toutes. cela je tiers lite. de. la. somme. les. Pour du. racines de cette équation. de ses racines, c'est-à-dire de. la. quan-. loujouis réelle. Zp. 5p^ 1. Soii. /. (À). =o. i\p. -. 1 1 Je remplace clone A par. la. -\-. a. ,. p.. première équation. J'y. •. fais À. =. p.. -(-/j..

(5) 23. (. ). et j'ai. /"<«). Je calcule ces difl'érenls coefficients. —2. (/j. W—. f. f"{h). H- «)^. 3. =. /'"{h)-. :. + 27^ (a' 4- ^=). '. o,. et. r {h)^^^p\ L'équation en. ]x. sera donc. {pâY 3. Formons équation. _4. — i'^p[a'-h. b'). ;. la. -27;?. condition de réalité des racines de cette. c'est. + ^)' ^ 27./'*. (P *. ou. i\p -ây. '^. ^. + a)^-27/>(a^-»-6^)p ^ ^^. 2„ [2(/>. 27^/3*. — 4(/3 -l-a)« + [2(/?. -I-. «)»—. 7.'^p(a^. -+-. è')p<o,. ou bien encore [4 (p. + ay — 2']p {a' -h b')][— 2']p{a' -h ^')]<o.. Le second facteur. (*) Plusieurs élèves ol)tient le foyer. partie. du. lieu,. toujours négatif {*); donc la. ont remarqué qu'en égalant ce. comme comme un. qui peut être considéré. en refjardaul ce point. doublement tangent. mun. est. ne peut avoir. aucune importance.. on. cercle de rayon nul et. à la parabole. Mais la suppression. ici. l'acteur à zéro,. faisant en quelque sorte. de ce facteur comP..

(6) ^4. (. ). condition se réduit à. ^ [p -^. (i). ay. —. j.']/j{fi-. >.. -h b-]. o.. Si l'on avail. ia. parabole. sécantes. deux racines. communes. construisons. le. se. deux des systèmes de. égales,. un. réduiraient à. seul. Si. donc nous. courbe. la. 4 (îUe. tangents, puisque, l'équa-. et le cercle seraient. tion en / ayant. (/•'. -+- •' 1'. — 27. /^ ( a:^ -+-. j^. ). = û,. scpaiera les deux régions du plan où doit se trouver. centre pour que. toutes réelles,. ou. les. racines de l'équation en À soient. qu'il n'y. en. ait. qu'une de. Je résous l'équalion par rapport h. Cherchons. à. décomposer. premier degré,. si. ix^. Or,. réelle.. :. numérateur en facteurs du. le. faire se peut.. Si j'égale à zéro la dérivée. les racines. j. —. 5px. de ce numérateur,. -+-. 2.p^. =1 o,. de Cflie équation sont 2/^ et -•. annule. numérateur de la valeur de j''-^ donc X ap est facteur double de ce numérateur, et, eu elVectuant la division, on trouve comme troisième facteur. —. 2jp. le. Donc. _. {^X-hp){x. —. 2.p]' _. 27/7. Celle courbe est symétrique par rapport. à. Taxe des x..

(7) 25. (. Pour X. — P7' J*. inférieur à. naire 5 pour. —. x=. -^ 7. ). j^. négatif et. *^^^. y. imagi-. = o, et en ce point (C) la tangente. est parallèle à l'axe des j^.. j. augmente. et,. ,. x=. pour. o,. 4 y= -^p .. .. et. -,. comme. 27. 2OA. 0A = y7, je poseOB = ^~~^' Puis, pour. double. 5. soit. X. OD. =z ^p^ y =. ip.. = o,. et la. courbe. a. un point. Les (coefficients angulaires des) tangentes en ce point sont a, X. — ip I.. pour. X. :=: 2/>,. ij. I. c'est-à-dire. X devenant infini, j^ devient aussi infini. Comme, dans l'équation (de la courbe), les termes du. Puis,. plus haut degré se réduisent à x^, les branches infinies. tendent à devenir parallèles à l'axe des r-. asymptotes. sont. transportées à. l'infini. Du \. reste, leurs. ce. sont. des. branches paraboliques.. Voyons maintenant quelles sont courbe. les propriétés. de cette. et des régions qu'elle sépare.. Nous savons que quand cette courbe,. le. le. centre du cercle sera sur. cercle sera tangent à la parabole. Poui'. est manifeste que le cercle n'aura avec la deux points d intersection réunis en un seul donc tous les autres points des branches CD de la courbe seront centres de cercles tangents à la parabole et ne la coupant pas d'ailleurs. En D le cercle sera bitangent le point. C,. il. courbe que \. à. la. parabole,. et,. infinies partant. pour tous les autres points des branches du point D, les cei'cles seront tangents.

(8) 2t>. (. parabole. à la. cl la. ). couperont en deux autres points dis-. tincts.. Les points de cette courbe sont donc. gueur d'une normale menée de l'un d'eux. tels,. à la. que. la lon-. parabole est. égale à la distance de ce point au foyer, et en appelant la. longueur de cette normale. la. distance. du point. à la para-. bole, cette courbe est le lieu des points également distants. d'une parabole et de son foyer.. Voyons maintenant pour quelles. parties. du plan. les. racines de l'équation en X seront réelles toutes trois.. Pour tisfaite;. dans. la. x. =^ o, y donc, pour ce point. le. point O,. = o, la condition et. (i) est sa-. pour tous ceux qui sont. région hachée, les trois racines de l'équation en X. sont réelles.. Pour. tous les points. cette région, les cercles. du plan compris dans. auront donc quatre points réels. ou quatre points imaginaires communs avec. la. courbe, et. pour tous les points situés en dehors, les cercles auront seulement deux points réels communs avec la parabole. Distinguons maintenant. les parties. de cette région qui. correspondent à quatre points réels ou à quatie points imaginaires tion n'a. vsl. communs. Pour le point O,. aucun point. donc de. même. réel. commun avec. pour tous. les. le cercle. la. en ques-. parabole;. il. en. points compris dans la.

(9) 27. (. boucle CD.. Au. deux branches. Donc, en résumé 1°. Pour. les. donneront des cercles ayant quatre. infinies. communs. points réels. ). contraire, les points compris entre les. avec la parabole.. :. points compris dans la boucle. CD,. les. cercles ne rencontreront pas la parabole.. 1^. Pour. les. points situés sur la boucle. cles seront tangents et. ne. la. même,. les cer-. couperont pas autrement.. 3° Pour tous les points compris dans l'espace laissé. en blanc,. les cercles. deux points. 4° Pour les points. DG,. ne rencontreront situés sur les. la. parabole qu'en. branches de courbe ED,. les cercles seront tangents à la parahole et la cou-. peront en deux autres points. 5° Enfin,. pour. les. points compris entre ces deux bran-. ches, dans l'angle curviligne les. EDG,. les cercles. couperont. paraboles en quatre points.. yole du Rédacteur.. — Cette copie. a mérité la note 19. Plusieurs autres. dans l'ensemble, ont noté plusieurs choses dignes de remarque. Quelques-uns ont employé les coordonnées polaires, qui conduisaient plus immédiatement à une équation simple. élèves, sans avoir aussi bien. fait. la courbe, partie vague et mal limitée de P. on en trouvera quelques-unes dans le travail suivant.. Quant aux propriétés de (Question,. la. PROPRIÉTÉS DE LA GOllRBE PRÉCÉDENTE; Par. mm. BARBIER. et. LUCAS,. Astronomes de l'Observatoire de Paris. 1.. de. la. (*).. La perpendiculaire ]NP au milieu du rayon vecteur parabole touche la courbe au point P; en effet,. (*) Nous supprimons les deux premières parties de ce double emploi avec Tarticle précédent.. travail qui l'ont.

(10) ^8. (. dans. le. mouvement de. tané de rotation est pendiculaire. FO le. sur. M. fait. voir. est égal à ]NP,. OP. est. point. P. est le. La parabole. point où. BN. le. centre instan-. FM,. et. de. normale. la. similitude évidente des lieux. la. ;. FJNP,. point O, intersection de la per-. le. FO élevée. du point N Net du point lieu. ). l'angle droit. est. que. NO. est. parallèle à. pexpendiculaire sur. NP. donc. NO. au. du point. MP^. NP, donc. touche son enveloppe. la. podaire de. la. courbe, le. pôle étant au foyer; la podaire de la parabole est sa tangente au sommet; on peut donc dire que la podaire de la. podaire de la courbe est une ligne droite. 2. Le rayon de lumière FP se réfléchirait sur la courbe dans la direction MP prolongée, c'est-à-dire dans la direction de la normale à la parabole au point N; il résulte. de cette remarque que la caustique par réflexion de la courbe est la développée de la parabole. Le point lumineux est au foyer de la parabole. 3.. L'ordonnée NI. et la droite. NP. sont également incli-.

(11) 29. (. ). nées sur la normale ]N0 à la parabole BN. là. que. bole. courbe. la. BX. est la. Il. résulte de. caustique par réflexion de. la. para-. pour des rayons incidents perpendiculaires à. l'axe. de la parabole. Cette courbe est étudiée à ce titre dans V Analyse des. infiniment petits du marquis de l'Hôpital. 4.. Le point. BN. parabole. O. milieu du rayon de courbure delà. est le. au point N.. Cette proposition n'est qu'un cas particulier d'une pro-. une courbe réfléchit des rayons parallèles, la projection du milieu du rayon de courbure de cette courbe sur le rayon réfléchi correspondant donne un. position connue. :. Si. point de la caustique. la projection du point P sur l'axe AX et I la du point N sur le même axe on a BL 3 BI. Pour démontrer cette proposition, remarquons que si l'on prend sur le prolongement NO' de la normale à la parabole BN une longueur NO' égale à la moitié du rayon de courbure au point N, le point O' est un point de la di-. o. Soit. L. projection. AO'de. rectrice. De tions. l'égalité. AI. et. cette parabole.. de. NO. et. de NO' résulte celle des projec-. IS de ces deux longueurs on voit donc que -,. à3FI + AF ou SFI-t-aBF; égales il suffit d'ajouter BF pour. est égal tités. =. 5. à ces. FL. deux quan-. avoir l'égalité. BL = 3(Fl4-BF) qui devient évidemment celle que. nous. voulions dé-. montrer. fi.. L'arc de courbe. parcouru par bole et. la. le. BP. rayon. i\c. a. pour longueur. le. chemin INP. lumière entre Taxe de. la. para-. caustique.. Cette proposition revient à. la. suivante. :. Si l'on prend..

(12) {. io. ). = NI,. prolongement de PN, N1'. sur le est. le lieu. courbe BP.. une développante de voir que ce lieu de I' est normal la. Il. du point. suffit. I'. de faire. à PI'.. Cette dernière proposition peut être démontrée ainsi. :. Appelons NT' une position de NI' infiniment voisine de NI'. L'élément de parabole projection de. N'F. puisse. sur NI'.. être. Donc. BP. se. comme. regardé. le lieu. le. de. ï'. est. égal. normal. à PI'.. aux points où l'axe les. même. mène une. courbe en. la. projection. sa. à. FY. rencontre. tangentes au. la. nous double se. point. 5. angle de 60 degrés. Ces proposi-. tions sont des cas particuliers de la suivante Si l'on. que. cela. coupent sous un angle de 60 degrés. avons déjà dit que. coupent sous. a des projections égales. sur NI' doit tomber au point I pour que. I". 7. Les tangentes. courbe. ]N JN'. NP, on verra facilement d'après. sur NI et sur. :. droite par le point F, elle coupe la. trois points. 5. les. tangentes en ces trois points. forment un triangle équilatéral. Cette. dans. le. élégante proposition. théorème suivant. Les tangentes. à la. est. elle-même comprise. :. courbe. BP aux. extrémités de deux. rayons vecteurs font un angle égal aux ~ de l'angle de ces rayons vecteurs. Plus généralement,. les. tangentes aux extrémités de. deux rayons vecteurs d'une courbe pcos''-=:a pent sous un angle égal à. la fraction. se cou-. de l'angle de. cesjrayons vecteurs. 8.. La polaire réciproque de. une circonférence dont. le. la. courbe par rapport. centre est au foyer. cardioïde. Cela résulte de cette proposition. F. est. connue. polaire réciproque d'une courbe par lapport. à. un. :. à. une La. cercle.

(13) (. est la. 3i. ). transformée par rayons vecteurs réciproques de. podaire de. courbe,. la. le. Ton considère. 9. Si. toutes les courbes obtenues en fai-. on obtient une. sant varier le paramètre de la parabole, série de courbes. dont. les trajectoires. courbes égales aux premières. trajectoires. un angle 10.. la. pôle étant le centre du cercle.. 11. en. orthogonales sont des est. de. même. coupant chacune des courbes de. pour. la série. les. sous. constant.. Remarquons enfin que la courbe étudiée rentre dans courbes dont l'équation est p". la famille des. Ces courbes. se. transformation. = a"cosnM.. substituent les unes aux autres par la p'. =. p",. w'=«oi>, et on. que. sait. cette. transformation n'altère point les angles; on peut donc. déduire. la. plupart des propriétés précédentes des pro-. priétés correspondantes de la droite,. du. cercle. ou de. la. parabole, courbes de la famille considérée.. REMARQUES snr les compositions de TrigoDométrie et de illatliématiques faites en. 1801». pour l'admission à l'Ecole Polytechnique.. Trigonométrie.. On. proposait de calculer les angles d'un triangle dont. on donnait. les trois côtés.. Sur 320 candidats admissibles,. 121 ont résolu la question sans faute ou avec une seule. La moyenne générale des notes a été i4i86 moyenne des candidats de Paris, i4i2i', de province, 16,07. En somme, le résultat est satisfaisant. Il le serait. faute légère. la. :.

(14) NOUVELLES ANNALES DE. MATHÉMATIQUES. JOURNAL DES CANDIDATS. AUX ÉCOLES POLYTECHNIQUE ET NORMALE, RÉDIGÉ. Par. MM. GERONO,. PROFESSEUR DE MATHÉMATIQUES, ET. J.. BOURGET,. ANCIEN ÉLÈVE DE L'ÉCOLE NORMALE, AGRÉGÉ DE l' UN V ERS IT É DOCTEUR ES SCIENCES I. ,. DEUXIÈME SÉRIE. TOMBAIS ^tlil^ME.. PUBLICATION FONDÉE EN. 1812 PAU MM. GERONO ET TERQUEM. CONTINUÉE, A PARTIR DE 1805, PAR RM. GERONO ET PROMET.. PARIS, GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE DU BUREAU DES LONGITUDES, DE. l' ÉCOLE. IMPERIALE POLYTECHNIQUE,. SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER, Quai des Augustins, n° 55.. 1870..

(15) (. >TE. 49. î. SIR LES SOMMES DES PUISSANCES SEMBLABLES DES n PREMIERS NOMBRES ENTIERS; Par M. Edouard LUCAS.. 1. •. Considérons. le. carré formé Cn plaçant les unes au-. dessous des autres n rangées horizontales de n unités; on peut,. comme. de manière. à. on. sait,. grouper. les. n 2 unités de ce carré. représenter la série des nombres impairs,. et l'on voit facilement ainsi. nombres impairs. que la somme. égale à. est. 1. 2 //. .. ries. n premiers.

(16) DO esl (. égale. à. est-à-dire. //. somme. lois la. D'autre part, se. des. //. premiers nombres,. h. US,. groupe. \,. la. somme. —. 1. ri f/!. +. des termes contenus dans. compose de deux parties. 1. I. i). :. la. le. />"'"". partie horizontale,.

(17) (. table est égale à. multipliée par a s. à. somme. la. (i -f-. 5.. a H- 3 -h. .. ,. 1. ). des n premiers. sl .. .. .. -f-. nombres. «), c'est-à-dire égale.

(18) —. .. 5a. (. 1. 1. <>ii\. encore. erail. .v-. Au. ). 4-. Sf,. = 2s\.. nombres entiers, on peut encore considérer celle des nombres triangulaires, pyramidaux, etc.: celle des sinus des multiples de Tare x\ celle (>.. de. lieu. série des. la. nombre donné,. des puissances successives d'un. Prenons, par exemple,. On. suivante.. etc.. carré formé de la manière. le. dispose sur une ligue horizontale les. nom-. bres. I. dont. la. .. 2.3. 2. somme. est,. 3.4. n n. -t-. (. comme on. à. égale. sait,. i. •>. //. -+-. et. on. i. multiplie successivement tous les termes de celte ligne. par chacun des termes 1. les. re i. ,. e. 2. .. .. ^. ~. -•>. •••». pour former. lignes d'un carte de n' termes, dont. .. n. /. somme. la. o°,. ,. —. 1.22.00.471. totale est égale. \. 2. ta. n. -4-. 1. D'autre part, en décomposant ces groupes comme précé-. demment, on. voit. que. la. somme des. termes. dup tème groupe. est égale à. 4-. 2. P\P ou égale. et,. i. j. L. 1. .. 2.3. 2. p{p. y. p>(p. a. en faisant. somme de. la. p=n. **. tous les groupes, on a. p-n (P. -. Zà **Pp> KP l. ( '. +. ')'•'. —y. «4-1/. + iY.

(19) (. Si. 1. on. 53. ). =. en particulier, n. fait,. oc. on trouve. ,. p—l. d'où Fou déduit i. T^TT2. +. i. 2 2 .3 2. +. rr. +. i. 3'.4 a. F. ". TRIANGLES ET UNIQUES COMBINÉS; Par M.. S~. NEUBERG,. Professeur à l'Athénée royal de Bruges (Belgique).. M. Faure. a. énoncé dans. les. tomes. XÏX. Nouvelles Annales, plusieurs propriétés. XX. el. très-intéres-. santes des coniques qui peuvent être considérées. résolvant le problème de déterminer. courbes, quand on en connaît. le. i\c>. les. comme. axes de ces. (entre et un triangle. conjugué ou circonscrit. Je me propose ici le problème en substituant au centre un foyer. Dans. inscrit,. même. que je crois nouvelles, et j'arrive également aux deux théorèmes énoncés par M. Faure dans le tome XX des Nouvelles. cette recherche je trouve quelques formules. A /maies,. page 21. En supposant. 5.. des axes coordonnés rectangulaires pas-. sant par le foyer F, une conique peut être représentée. par l'équation (1). x. 1. -+- Y. 2. = {m.r -h ny. -\-. joÙz. pz) 2. =. l).. (*) Puisque l'on a '. 7*. ? + 3» 1. 1. "**. 1. "*". (Si'.RRET,. _. 7t. 6 Traité de Trigonométrie. ,. p.. a. i\.

(20) 3o8. (. NOTE SIR LES COEFFICIENTS M.. Pat.. ). BINOME DE NEWTON-,. 1)1. Edouard LUCAS. (*),. Agrégé des Sciences mathématiques. On nôme,. que, pour une puissance quelconque du bi-. sait la. somme. somme. la. des coefficients de rang pair est égale à. même. des coefficients de rang impair; la. pro-. priété a lieu, avec certaines restrictions, en prenant les coefficients. de. trois. en. On. trois.. suivants, selon que le reste de. par. (>. sera o, i, 2, 3, 4. Premier est égale à. cas.. ou. 5. considérera. les six cas. division de l'exposant. la. :. — L'exposant de. puissance du binôme. la. 6n.. Remarquons d'abord que. si. l'on désigne par a et a. 2. les. racines cubiques de l'unité, ou aura (l. et,. 4-. a.Y—1. -h 3a. -4-. 3a 2. (i -f-. a 2 }%. par suite, (f -f-. a) 3. *—. (i. + y?). Le nombre des coefficients de. nôme À. =. la. est égal à. somme. des coeflicients de rang.. B. ». C. >. bi-. :. i,. .. 6n du. puissance. la. 6/zH-i. Appelons. .".. 4» 7>-. 2, 5, 8,. 3, 6, 9,. .. •. •». (6/1-+-1);. .. .. ,. (6«. ,. 6/?;. . .. —. 1);. *. nous aurons alors (1. f. + a) — A H- Rz 6 '1. -f-. Ca. 2. *) La question a été déjà traitée d'une manière générale parra. Catalan,. (Noir. di. In. ridai. i. on.. ).

(21) 3«9. (. et. 4- a 2 )« B. (i. ). — A + Ca-f-Ba-, à. membre, nous. est divisible. par (i+a) 3 4-i,. membre. par suite, en retranchant. et,. déduisons. B. = C.. D'autre part,. ou par 3(iH-a -(-a 2 ) visible par. 4- [ol H- a. i. i. — i+B(a+ a diA — — B. Donc par A. donc. :. 2. —. 6". a). -h. (i. ), et,. 2. est. ). suite^. i. :. Zes sommes des coefficients de la puissance 6 n du binôme , pris de trois en trois, deviennent égales entre elles. en retranchant. leur est -j(2 6 ". V unité. de la première, et leur va-. l).. —. L'exposant de Deuxième cas. nôme est égal à 6n -h 3.. On. (l. par. (i -j-. B. -h a) 6 " +3. = C;. a). puissance du bi-. comme précédemment,. aura,. et aussi. la. 3. H-. = A-f- Ba -h Ca. comme. et. ,. a; c " +3 4-. (i -f-. on en déduira A. i ;. 2. -f- i. i. est divisible. = B, Donc. :. Les sommes des coefficients de la puissance 6 n 4- 3 du binôme, pris de trois en trois deviennent égales en ,. ajoutant. V unité à. —. Troisième cas.. nôme. est égale à. Nous avons en en contient w,. les. la. 6n. première, et leur valeur. L'exposant de. la. est. puissance du bi-. -+• i.. tout 6/i. i coefficients, et le. -I-. groupes. A. et. groupe. B en contiennent. //. +. C i;. alors (i. On les. -f-. «). 6 " +l. peut faire voir que. mêmes. coefficients. =:. A. les. -h. Ba. :•. Ca 1. groupes A. .. et. lï. contiennent. dans un ordre inverse; mais on. peut aussi démontrer l'égalité de. A. ci. B de. la. façon sui-.

(22) .. 3io. (. On. vaille.. a. +- a^" +1 rr. (i. en désignant. et,. ). (i -+-. a) 6 ". A. =. + Ca + Ba 2. (i -+-. <*. 6/l. + a)=A + Ba + Ca M(i +a = A + Ca Ba 2. -f-. M entre ces équations,. en éliminant. et. (i. -f-a 2 )(A. Ca. -f-Ba -h. )—. 2. (i. -f-a)(A. ,. par. ). M(i. ). 2. M,. 2 ,. 2 ;. on déduit. +Ca + Ba. 2 ). = û,. ou bien. (B~A)(a~a. = o,. ! ). par suite.. et,. Ar=B. D'autre part, on (i. mais. a. + a = A + Ba+ (Ca 4- i)a. -ha)^ +1. 2. par (iH-a) 3 H-i est égal i. -h a. -f- c/r. est divisible. par par. -h. a). i. -+-. a -h a 2 A. On. i. -,. ,. (i. ''. A. donc. -+-. Ba -h (C -hi)a 2. et l'on a. :=B=:CH-. donc ce théorème. a. 3. (i. -f-. ;. 4- a) 6 (i -h a) -f- a* au reste de la division de. reste de la division de. Je. 2. I.. :. Les sommes des coefficients de la puissance 6 ri -j- i du binôme, pris de trois en trois, deviennent égales en ajou-. r unité à. tant. Quatrième. nôme. la dernière, et égales cas.. est égal a. 6n. On. a alors le. Les. sommes des. '. -. i. I. -f-. de. la. tiers. de. 2. 6". +1. -+- j. 4-. coefficients. trois. •. puissance du bi-. théorème suivant, analogue au précédent. binôme, pris de tranchant. — L'exposant. au. en. de la puissance. trois,. 6/i. ~\-. i\. deviennent égales en. unité à la dernière. .. et. égides au. tiers. :. du re-. de.

(23) 5. .. (. Cinquième 6. //. —. cas.. 3". ). L'exposant du binôme est égal. à. H- 2. 6n -h. y a alors. Il. 3 coefficients. etn. +. par groupes,. i. en tenant compte du dernier qui est l'unité on démontrerait, comme ci-dessus, le théorème suivant Les sommes des coefficients de la puissance 6n-i- 2 du binôme, pris de trois en trois deviennent égales en -,. :. r. y. V unité à. retranchant 2 "+ 6. de. 2. —. -f-. On. au. tiers. i.. —. Sixième cas. 6n. la seconde, et égales. L'exposant du binôme. est. égal à. 5. a alors le. théorème suivant. :. Les sommes des coefficients de la puissance 6n Hdu binôme, pris de trois en trois, deviennent égales en ajoutant V unité à la seconde, et égales au. —. Remarque.. On. tiers. aurait d'ailleurs, et par le. procédé, des théorèmes analogues pour les. de. même. sommes. des. coefficients pris de quatre en quatre, de cinq en cinq, etc.. NOTE SUR L EXPRESSION DE LA DISTANCE ENTRE QUELQUES POINTS REMARQUABLES D'UN TRIANGLE ABC; Par M. E. LEMOINE, Professeur.. «, b, c sont les longueurs des trois côtés. R,. /-,. r. fl ,. r. fi. et exinscrits. O,. ,. re les rayons des cercles circonscrit, inscrit. ;. I, I„, I/„ I t les. M, N,. Il. BC, AC, AB;. le. (entres de ces. mêmes. cercles;. centre de gravité du triangle, le (entre.

(24) NOUVELLES ANNALES DE. MATHÉMATIOUES. AUX ÉCOLES POLYTECHNIQUE ET NORMALE, REDIGE. Par mm.. GERONO,. PROFESSE Ur. DE MATHÉMATIQUES, ET. brïsse,. Ch.. RÉPÉTITElin A l'école POLYTECHNIQUE, AGRÉGÉ DE l' U N V E K S T É. 1. 1. DEUXIÈME, SÉRIE.. PIBLICATIO^ FOÎ\DÉE E\ ET COMINUÉE PAR. 1842 PAR m\. GEROI\0 ET TEROIEM; HDI.. f.KUO.\0,. PUOLHET. El. DOLRCiET.. PARIS, GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER, Quai des. Auiîistins,. n" 55.. 187o.. jqC>.

(25) (. ]e. nombre. positif X. 265. ). prenant successivement. 2,... jusqu'au plus grand n dans -• De sorte que I,. nombre. les. valeurs o,. entier compris. ^. 2. + (_,). J. ^__^._L_. 1^.-..,.. ^. .. .. .. J. SUR LA THÉORIE DES SECTIONS COXIQllESj Par m. Edouard LUCAS, Agrégé de l'Université, professeur de Mathématiques spéciales. au lycée de Moulins.. Cette Note a pour but de donner des démonstrations. analytiques fort simples de plusieurs théorèmes connus sur les sections coniques 5 ces démonstrations reposent. sur l'emploi des coordonnées trilinéaires, mais on pourrait aussi se servir. concurremment des coordonnées. tri-. ponctuelles.. —. Théorème I. Lorsque deux triangles sont conjugués par rapport à une conique, les six sommets sont situés sur une conique (*).. En. prenant, en. de référence,. la. effet,. conique. l'un des triangles pour triangle a. pour équation. aa:^ -h a' y'' -h. a"z'-= o,. en désignant par P;(x/, j'^,-, z^) les trois sommets du second, la conique cherchée a pour équation et,. a'j.jojj. rt.r,.r,.r3 1. ^. Y. a"z,z,z,. H Z. =G. ;. (*) CuASLES, Traité des Sections coniques, F*" Partie, p. i4o; Painyin, Principes de Géométrie analytique, p. 288..

(26) 0.66. (. car, si l'on. exprime que. conique, on obtient. le. ). point P^ est situé sur cette. condition qui exprime que Pg et. la. P3 sont conjugués par rapport à. Théorème. II.. — Lorsque. la. deux. gués par' rapport à une conique, gents à une même conique.. En prenant. mêmes. les. rélatif précédent, et. triangles sont conju-. les six côtés. sont tan-. axes que dans le théorème cor-. en désignant par. D/= les. conique donnée.. iiiX -\-. Viy. -r-. WiZ. =o. équations des trois côtés du second triangle, la conique. cherchée a pour équation. V —^ luûû^x. car,. -^. hw^v^r ~'' ". V. en exprimant que. ~^. Iw^w^w^ "*". V. la droite Di,. -o;. par exemple,. est. tangente à cette conique, on obtient la condition qui. exprime que D2. D3 sont conjuguées par rapport. et. à la. conique donnée.. —. Théorème III. Quand deux triangles ont leurs six sommets situés sur une conique, ces points forment deux systèmes de trois points conjugués par rapport à une. même. conique.. En prenant. l'un des triangles pour triangle de réfé-. rence, la conique. donnée h. a. pour équation.

(27) 267. (. car, si l'on. exprime que. ). deux points Pg. les. et. P3 sont. conjugués par rapport à cette conique, on retrouve. la. condition qui exprime que. la. le. point P^ est situé sur. conique donnée.. —. Quand deux triangles sont circonThéorème IV. scrits à une conique, leurs côtés forment deux systèmes de trois droites conjuguées par rapport à une même conique.. En gle,. prenant pour axes. en désignant par D,,. tions des trois côtés. du second,. sja:r 4-. Téquation de. la. du premier triancomme précédemment, les équales trois côtés. bj. si. -\-. par. et. =o. sjcz. conique donnée, la conique cherchée a. pour équation o. «, «2 «3. ^\. <'2''3. Ces deux théorèmes sont. ^\.. les. «-"z. ^3. deux réciproques des deux. précédents.. —. Théobème V. Quand deux triangles sont inscrits à une conique, les six côtés sont tangents à une même conique.. En. prenant pour axes les côtés du premier. et. en dési-. gnant par Z». //. X. y. ^ b" _ z. '. l'équation de la conique donnée et par P,(j:/, /,, ^/) les trois. sommets du second, hx. la droite. b"z. b'r 1. ! 1. X^X;. puisque,. si. l'on. jr^jr,. PiPo. a. pour équation. — o,. 3,3,. exprime que celte droite passe par. le. point.

(28) .. 268. (. on retrouve. Pi,. la. ). condition qui exprime que P, est situé. sur la conique donnée. La droite P1P2 représente une. tangente de la conique cherchée qui a pour équation. h. \/—^^. puisque. b". J-^~ = O,. de contact exprime que. la condition. est situé sur la. \/--—- +. b'. -4-. point P3. le. conique donnée.. —. Théorème VI. Quand deux triangles sont circonscrits à une conique, leurs six sommets sont situés sur une conique. [*). En prenant pour. axes les côtés du premier et en dési-. gnant par. ^bx. -h. sjb'. y. -I-. sjb" z. =o. l'équation de la conique donnée, et par D;(m,-, trois côtés. du second,. le point d'intersection. b. puisque,. si. de Dj. et. D2. la. b". b'. Ton exprime que. on retrouve Di. w,) les. coordonnées proportionnelles à. a ses. à la. i^,,. ce point est sur la droite Di,. condition qui exprime que D2 est tangente. conique donnée. Le point d'intersection des droites. et. D2. est situé. sur la conique cherchée. 12 iiû-iii^x. puisque,. si. l'on. on retrouve. Jjl'l. l<,. H. 1. v^v^v^y. w^w^w^z. exprime que ce point. la condition. =. o,. est sur cette. de contact de. conique,. la droite. D3. à la. conique donnée.. —. Théorème VII. Si des trois sommets dûn triangle on mène des tangentes à une conique quelconque, leurs (*) CuASLES, Traité des Sections coniques, p. 53..

(29) 269). (. points. d'' intersection. aiêc. opposés sont six. les cotés. points silués sur une conique (*).. En prenant. donné pour triangle de réfé-. le triangle. rence et en désignant par S. = « ^2. -f-. a'. y. a" z^-^ 1 byz. -4-. ib' zx. -4-. -\~. i h" xj. l'équation de cette conique, les tangentes menées. met opposé. à. x. Taxe des. «S. — (ax. les. —. b'y. -4-. -+- b'. zY =i. de. b" et b'. — ab. et. A. o,. et. B. les. par A',. expres-. B',. A'^. B^^. expressions analogues,. k"y'. En. b^". du som-. ont pour équation. OU, en développant et en désignant par sions connues a' a". =o. + A' _ 2 Bjz — o. 3^. multipliant par A, on voit immédiatement, à cause la symétrie, A.'. k" x'. que. ^ A." ky^. la. conique cherchée a pour équation. -\-. KM — ik'Qr^ z-". — lk"Q'zx— ^k'"^"xx = o. Nous. laissons au lecteur le soin d'en déduire les diffé-. rents cas particuliers, et de. démontrer. les. théorèmes cor-. rélatifs.. REMAÎIQIE SUR LA QIJESTIOIV 1129, RÉSOLUE PAGE 83;. Par m. Edouard LUCAS.. Le rapport de poténuse )tenuse. la. hauteur du triangle cherché à l'hy-. . 4 -•, ce qui donne un moyen --, moy fort simple de .. est. construire ce triangle par homothétie.. (*) CiiASLES, Traité des Sections coniques, p. Ga..

(30) 336. (. ). QUESTIONS.. 1178. Soient. P un. point pris sur l'axo d'une conique. MN. une tangente quelconque limitée aux deux perpendiculaires élevées aux extrémités de cet axe: démontrer que la puissance du point P, par rapport à la à centre, et. circonférence de diamètre. MN,. est constante.. (Laisant.). 1179. Soient. MN. rabole, limitée en. M. une perpendiculaire. P un. la courbe-,. démontrer que. la. une tangente quelconque à la fixe. une patangente au sommet et en N à à. quelconque, élevée sur l'axe de. point fixe quelconque pris sur cet axe puissance du point. circonférence de diamètre. NP,. M, par rapport. :. à la. est constante.. (Laisakt.). Une pile de boulets un nombre de boulets égal au 1180.. à base carrée. carré d'un. que lorsqu'elle en contient 24 sur. le côté. ne contient. nombre de. entier. la base.. (Edouard Lucas.). RECTIFiCATiOlXS.. Tome XIV, page. ^5, ligne 5, en remontant. a u lieu dé ». page 289, ligne. au. 4>. lieu. t. =zSn dz}. :. ,. en remontant. c?<?. Leomare,. lisez. t. =::Sn. :. lisez. Lamàze.. ±. 3..

(31) (. 458. ). SUR l\ THÉORIE DES SËCTIOIVS CONIQUES même. (voir. tome, p. aCS. ). ;. Par m. Edouard LUCAS.. La méthode que nous avons employée précédemment permet de démontrer encore les théorèmes suivants :. —. Théouème. Les arêtes de deux Uièdjês trireclangîes ayant le même sommet forment six géjiératrices dûnmêmê cône du second ordre.. En. prenant, en eiiét, pour axes des coordonnées les trois. arêtes. pour. i. du premier,. =r. 1. ,. 2,3,. et. les. en désignant par. X. y. z. ai. bi. Ci. équations des arêtes D, du second,. le. cône cherché a pour équation. puisque,. si. aâ-â^. h^h-^h-^,. CiC-iC^. X. y. z. l'on. exprime que. la droite Di,. se trouve tout entière sur le cône,. par exemple,. on retrouve. la. condi-. tion qui exprime que les droites Dg et D3 sont rectangulaires.. —. Théorème. Deux systèmes de trois diamètres conjugués dûne surface du second ordre à centre unique forment six génératrices dun même cône du second ordre.. Désignons par. l'équaiion de la surface. du second ordre rapportée au.

(32) (459) premier système,. pour. i rn:. et. par. X. y. z. cii. bi. a. I, 2, 3, Ics trois. diamètres D, formant. le. second. système. Le cône cherché a pour équation. M puisque,. si. h. X. l'on. N. !-. P. ==:. y. o,. z. exprime que. la droite. Dj. est située sur. on retrouve la condition qui exprime que les droites Dg et Dj sont conjuguées par rapport à la surface ce cône,. donnée.. On. démontre de. suivants. la. même. manière. les. deux théorèmes. :. —. Théorème. Les faces de deux trièdres trirectangles forment six plans tangents dûn même cône du second ordre.. —. Théorème. Deux sjstèmes de trois plans diamétraux conjugués dûne surface du second ordre à centre unique. forment. six plans tangents d\i7i. même. cône du second ordre.. en. Si,. effet,. UiX H- biy. pour tral. i. =. 1. ,. 2, 3,. -\-. CiZ. =rr. o,. représente Téquation d'un plan diamé-. du second système dans. la surface. rapportée aux trois plans du premier,. le. cône cherché. pour équation. V. M. +V~^^. '"V. ~p~"°-. a.

(33) 46o. (. ). L'avantage de ce genre de démonstration, qui rentre. dans la méthode synthétique, consiste non-seulement dans la brièveté, mais dans l'établissement de l'équation de. la. courbe ou de. aisément. les propriétés. Théorème.. qui permet de déduire. métriques correspondantes.. — Si) sur les trois diagonales d'un quadri-. latère complet, vîsent. la surface, ce. on prend. couples de points qui di-. trois. harmoniquement. ces trois. diagonales, les six. points seront situés sur ujie conique.. En. prenant pour triangle de référence. le triangle dia-. gonal du quadrilatère et les équations des côtés du quadrilatère sous la. forme. ~+^+l=,o, z. ^1. les. Jl. deux sommets du quadrilatère. situés sur l'axe des z. sont donnés avec z =^ o par les équations. X ^. et l'équation. y. d'un faisceau de deux droiles conjuguées. harmoniques des deux précédentes la. valeur de. '""''. 2. la. quelle que soit. v,. •^1. et les traces. est,. ^3. 2. '. Xi. "î/i. de ces droites sur l'axe des z sont situées sur. conique ayant pour équation. —H. f. H. ^'. — Il. 2a. —. 2V. — •—. =::. G,. dont la forme symétrique démontre immédiatement. théorème proposé.. On. en déduit. la proposition suivante. :. le.

(34) (. Si une. conique diwise. 46i. ). hannoniquement deux diago-. nales d'un quadrilatère complet, elle divise aussi har-. moniquement. On. dit,. la troisième.. dans ce cas, que. le. quadrilatère et la conique. sont conjugués, et l'équation précédente, qui représente l'équation générale des coniques conjuguées au quadrilatère, contient trois. Théorème.. —. paramètres arbitraires (*).. sommets coupent en. Les droites qui joignent. les. d 'un triangle à deux points quelconques se de nouveaux points dont les projections sur les côtés correspondants forment six points situés sur une conique.. Considérons deux points P^. et. Pa dans. CPa. triangle de référence ABC*, les droites BPj,. CPj. se. dont. plan du. le. et. BP,,. coupent en deux points distincts de Pj et Pg, sur l'axe des. les projections. x. sont données par. l'équation jrz. par conséquent, en opérant de. sommets, on obtient )''-. .r*. En. =0,. \. même pour. six points situés sur la f. z^. .r^. .r,. conique. \. retranchant celte équation de celle de. x^. ^\î. j2. jxïi. 2'. ,'. y^ Zi sj. I. I. :7- -\j.32. —. --. les autres. —. la. .. .. .. conique. ~o. x-r-. qui passe par les six projections de Pi et de Pg, on obtient l'équation d'une. conique circonscrite au triangle do. (*) CtiASLES, Traité des Sections coniques,. Géométrie de direction,. p. 'jGi.. t.. I,. p.. 9G.. —. P. Serkf.t,.

(35) (. référence, et dont. donne. la. 46o-. ). position du centre d'homologie. lieu à diverses propriétés métriques.. Cette conique passe par les points d'intersection des. deux premières.. —. Théorème. Si^ par les trois points conjugués d\in point par lapport aux trois côtés dûn triangle pris pour axes de référence, on mène des tangentes à une conique y leurs traces sur les. axes correspondants forment six. points d'une conique.. Nous appelons poz/z^^ conjugués d'un point donné par rapport à un triangle les trois points d'intersection des deux des angles de ce. polaires de ce point par rapport à triangle.. Désignons par rtx-. -4-. û'j' -h. Féquation de. la. a'^ z^ -f-. 2 bfz -- ib' zx. conique donnée,. et. i h" xy =: o. -\-. par Pj. (xi,j>î, î) le. point donné. Le point conjugué de ce point par rapport à. Taxe. •^lîJKiî. des z a pour coordonnées. — ^1. menées de ce point. et les tangentes. ?. proportionnelles. conique donnée ont pour traces sur l'axe des z points fournis par les équations ^ x'{k'yi -\-A'z] -h 2Bj,3,) -\-r{A''x'î. =:=. ->-. la. et les. la. deux. o et. Az]. -f-2B'z,a7,). — 2^j[A''x,7, +Z,(Bj7, +B>, Ces deux points. les. à. -}-B"2,)] =: o.. quatre analogues sont situés sur. conique. -T'[A"f] 4- A'z^. -4-. 2Br,. z,) -4-. -h. r-{A"a:] 4-. AzJ -h 2B'z^x,). zÂ'x]. Ay]. -^. -:-'2W\r,y,}. — 2A/,ZiJKZ — 2.A'ZlJ•^ZX — 1 XJ — B.r, B'j, ^xyZi H- jzt:, H- zxfi = O. A'^ .T^J^. Z. (. -f-. -+- B''z,. ). Ce théorème comporte un grand nombre de culiers, ainsi. qu'en corrélation.. ). cas parti-.

(36) 463. (. Théorème. traces. dune. ). — Les droites qui joignent un point aux du triangle de réfé-. droite sur les côtés. rence rencontrent les autres côtés en six points situés sur une conique.. En. désignant par Pi [x^.j^., z^) et par Di [u^. (^,. w). le. point et la droite donnés, la conique cherchée a pour. équation. vz. Ce théorème est un cas particulier du ralisation du théorème de Pascal. suivant, géné-. :. Si deux cubiques ont trois points. communs en. ligne. droite, les six autres points d^ intersection sont situés. sur une conique.. Nous compléterons enfin le théorème de M. Chasles, démontré dans l'article précédent. Nous avons vu que, si, par les trois sommets d'un triangle, on mène des tangentes à une conique f(x,y,z). —G,. leurs traces sur les côtés opposés sont situées sur. la. co-. nique a>. =M. A.". x-" -, -. A" A j-. — ik^yz ~ L'équation de. la. 9.. AA' ^-. k'B' zx. conique. B^x'-f- B'2jî-;-. -I-. $. — i\."W xj — o.. peut s'écrire. B"=2^— 2B'B"j3. — 2B"B^.r — oBB'rr â désignant le discriminant. -f-. dcj\. S/{.r,y, et,. z). -~ o,. par conséquent,. les.

(37) 464. (. coniques^ et. Cj^. ). ont leurs points d'intersection sur. la co-. nique v/B^ -h s/B'f. ^Wi = o,. -I-. inscrite dans le triangle de référence.. DE QUESTIONS. SOLl]TIOI\S. PROPOSÉES DANS LES NOUVELLES ANNALES.. Question 1171 (voir. ?.'. série,. t.. XIV,. p.. 240);. Par m. L. MICHEL, au Puy.. M, A, B. Soient. points dhuie circonférence;. trois. trouver le lieu géométrique des fojers des paraboles. tangentes en k^. M se. B aux droites MA, MB,. lorsque le point. déplace sur la circonférence. (Laisant.). Quand F angle en. M reste. deux tangentes. se. parabole. est égal. on voit du foyer. donc on désigne par. est constant-,. déplace sur la circonférence,. constant. Or, on sait que l'angle de. à la. l'angle sous lequel. Si. M. point. le. le lieu. F un. est. à la. moitié de. corde de contact.. la. point du lieu, l'angle. AFB. par suite une circonférence de. cercle facile à déterminer. JSote.. —. La. même. question a été résolue par. MM. Moret-Blanc;. Vandame; A.Bertrand; Gambcy; Lez Goulin et Nivelle, élèves du lycée de Rouen; P. S., de Cherbourg; A. Durel, répétiteur au lycée du Havre; F. Pitois, élève du collège d'Annecy; Chadu Gondelon, élève du lycée G.. j. ;. de Moulins; Tourrettcs; A, Pellissier; L. Arriu banel, à Reims.. ;. Launoy, à Lille; Clia-.

(38) 487. {. Ou les déterminants impossibilité. Ou. K'^. ne sont pas nuls tous deux. K'^. ,. ). :. ;. deux déterminants sont nuls les n équations réduisent aux [n 2) dernières; on peut se donner ees. :. —. se. x^ etXa arbitrairement, et alors on autres inconnues,. pour. a,. les. [n. — 2). un système unique de valeurs. Etc., etc.. DE QUELQUES NOIYELLES FORMULES DE SOMMATION; Par m. Edouard LUCAS.. i. Considérons. .. la série. x. '^37'* -y. "Ij. 1>. de. quantités. "•/;5. •. •. •,. "j-j. formons une table de multiplication en écrivant successivement les uns au-dessous des autres les produits et. des termes de la série par ceux de la série. somme. la. sommes. des termes de. table sera égale. la. au pioduit des. des deux séries que nous désignerons par. et Vjc, ainsi. qu'on. le voit. \]^.. en faisant l'addition par lignes. ou par colonnes. D'autre part, en prenant seulement. termes de les. —. p. I. la table. premiers de. pression de leur. et,. p. qui se trouvent dans la p'^'"^. I. à. /?. colonne, on. == X, on a. la. la. somme. l'^. V.. a,. premiers ligne et. pour ex-. -2. de ces expressions de. formule. p = .r. (0. jy. la p''""^. somme,. par suite, en faisant. =1:. les. p=x (. "r ^r. -^-. •>. ^. V). -t-2. "''. '>. -. -. "•.

(39) 488. (. En supposant, par. ). excmplcj, I. on en déduit. 2 et,. en effectuant le quotient de. on. a aussi. V^. >. ~{a ~. i. pip. ^•mi. En. —i)P. ^-h. -j- ij. ^=^. aa. i et. i),. fi'-^'. A aP—a. pour a. particulier,. — i)/rpai7?(/;-h. i-f- [a. =. I. i,. on. a les for-. mules. -— 3. 2 -h. 4. I. ^. 22. + —5. I. 2.3 2'. 1.2 2. 2.. —. -4-...+. 3.4. w. -f-. 2. plaçons. les. «'2,. »'3,. —. I. ---r=I Pip-^'^)^^ -^;. .. .. .,. successivement par tous. Nous formerons. ainsi. les. .. I,. I. {j^-hl)2.P. (r^,. .,. les. termes de termes de. un cube,. tiplication à trois entrées, et le. coordonnées. »'/„.. unes au-dessus des autres. nues eu multipliant tous. /;, rj^. parlii-. i,. 2,. Table de mul-. compartiment ayant pour. somuie des tcinics. la. — (p. cube pour obtenir. I. troisième série.. la. produit. 11^. les. t^,^. î^^... cubes ayant,. 3,..., p unités de côté, et. cherclioiis )'"'"". obte-. première table. sorte de. r contiendra le. de l'origine. les tables. la. Cela posé, considérons successivement à. —. Considérons une troisième série de quantités «^,,. et. f,. I. 2^. 1P—. —. 23+...^-. le. (ju'il. faut ajouter au. /?'^"'".. Elle a pour ex-.

(40) 489. (. ). pression («/,. V^. puisque. et,. -f- (fp. —. Vp. somme. la. Up ¥p. i^p^p W;,. -2. on. ^v. W/,. l^p. -2 "> ^P ^p p=\. pnzx. p=X. p. "^2 "p. p^=i. /;. =:. égale. p:=zx. p=\. ^"^p. ,. a. p-\. ''p. Yp. la table est. p-^zx. "^2 "^. (^) {. )-\- i^pl^p. i\'p. trois séries,. Jf=zx. -2. W^ —. des termes de toute. au produit des sommes des. u, V, Av,. (. ). r=. X. ^^ "^2. ""p. ""p "i'. ^p. p=l. 1. p=x. — 2 f^p^pf^'p=^' Dans. où. le cas. les trois séries. p. jLà. A^. p. p=:\. On. de. a,. pr=x. p:=x. p=:x '. soin identiques, on a. /;. =. ^. P. p. 1. /;. p. =: 1. même, par une. voie analogue, la formule gé-. p rr a-. x. nérale. (3). u:. pz:^. - «,2; ", u;r' + ">2 % ^T +••+(— )"2 = "> "';. />. =. la. p-~l. A'^l. 1. dans laquelle. de. p z= x. /Zi,. ^2, 7/3,.. .. représentent les coefficients. .. puissance n du binôme.. Si l'on fait,. désignant par. dans cette formule, S„i la. somme. =. if^. des. z;/'""". S„_2. —. i^. on obtient, en. puissances des. premiers nombres, x". 3.. —. «, S„__,. Considérons. (.r -!-. i)'",. -h. /?.. les trois. {.r -}- l)"'-|--. (.i'. .. •. •. =t: So.. développcnienls de. —. 0'"». (•'. + 0'"—. (•''. —. ')'"'. x.

(41) .. 490. (. égalités obtenues, nous. (^-hi)'"— i=w,S,„_, -H. /w,S,„_2 +...-!-//?, S, -f-Su,. ajoulons dans chaque cas. trouvons /. (4). ). x x. ioinj)la(;ons-y sncccssivcmenl les. par. i,. 9.,. 3,. .. .. et. ,r,. ,. .. formules. les. \. (.r4-i)"'-.r'"-i_-=z 2(///,S„,_,. !. (x H-i. \=zi[m,. H- x""—. )"'. qui permettent de calculer. La première de. w,S„,_, -h...),. -h W3 S„,_3. S„,_,. S,„. -+-. -f-. .. .. .. ),. lorsque l'on connait S,„_,,. ces formules nous montre, à l'aide des. valeurs de Sq et de Si, que. S,„ est. toujours divisible pai. En retranchant ix du premier membre de la seconde des formules (4), et 2S0 du second membre, on voit que le premier membre produit x{x-\-i).. le. f[x). x. s'annule pour. est divisible. Sa,-. premier. le. dans. le cas. .j,(x). cl,. x. =-.. —. 1, si ni est. de. la. même. de ni impair et égal. = [x. -I-. :. donc. faisant passer dans. formule. le. à 2i -}- i,. terme en. Si,. on obtient. i)2'+i_.r-''+'— (2/4- i)x(.r H-i). —. f,. dérivée de cette expression s'annule aussi. la. =o. pair et égal à 27. De môme, en. par Ss.. membre. puisque. pour. = {x^\Y— X^^— 1X~\. et .r. visible par S^. ou. rème suivant. :. =— S3.. i. On. ,. on en conclut que. S^j^^^ est. déduit de ce qui précède. le. di-. théo-. —. Théorème. La somme des jn'^'""' puissances des X premiers nombres entiers est divisihle par la somme des carrés ou des cubes des m premières nombres, suiuant que m est pair ou impair * (. (*) Co p;ir. i\1.. p. o/f). p.. 3j2.. tliéorèiiH*, (jiic. Proulirt J. dans. Oir aussi. h-. la. liinis. ). coinplélerons plus loin, se trouve énoiK. Noie VI du Cours d'Analyse do Sturm,. Traite de Ctilcid différentiel. iXe. M. Bertrand,. l. t.. «'•. II. I..

(42) .. 49.. (. On. A.. (2/+. ). pour expiessiou générale de. a. ^ti. —.v''^'-h. 1)82/. .. .. S,„. j:2._|_r2,f-_l_ i!^B^j;î/-i_l_.... 2. — (— l)^[2/ + l],,B,x'^'-2^+' — ... — (— l)'[2f -f-l]2,-B/.r, (5). (2. /. -h 2) 8,/^.,=:. j;2'"+2_f_. ?i±i ^2/+i -^ [2. /. -h. 2], B, .r^'-h. — (— i)'-[2/-f- 2],, — (— iy[2/ + 2],/B/^',. B,x2'--'-+-^. —. .. .. .. .. .. et l'on a aussi. -,. -. a.v. =. 2/ -h. I. —ax— r=2/S2,-_, — (—. S,,-,. ^'•. I. Les facteurs numériques B^ sont connus sous. Au. de nombres de Bernoulli.. de. lieu. les. nom. le. déterminer,. qu'on. le fait. habituellement, à l'aide des dévelop-. pements en. séries,. on peut opérer comme il ==^ I pour x i et que. ainsi. marquant que S„, pour X vi on obtient. =—. /. i. =. les trois. i. 83,. re-. s'annule. formules suivante. :. — |=^[2/ + l],B, — [2/ + i],B2^-... — (— l)'[2/-f-l],/B/, /^[2/_4_2]2B, — r2/-f-2],B, + — (— l)'[2£-f-2],.-B.,. .... ]. En. suit.. ii— [2. /. -4-. I. ],. 2^ B,. La substitution de x donne de même. 2/—. 2/-t-I. 2/ H- 2. -^:^. / -I- I. J4. 2^. B-,. -H.. .. _(_iy[:,/.^,],..2^'B/.. f. -T,^-.--. — [2. -+-. 3. -4— 2/~. = 2 dans les valeurs de. r. •. =[^-^. 2. + -^—. --. [. ^. '. ^. +. ^" I. »J'. ^B,. ^-l--. :^. -(~'n'^>-'. -. r. +. -^. ^]'. ^-. 2].. .. ,.. '-^ 1. 1. .. C^-'. '. -,. 2|,,J^.. So, et Ss.+i. ^2. ^ B2. "^-. -+. • •. ,. .. ..

(43) ,. 49'>-. (. ). lu d ailleurs, toutes ces formules se démontrent aisé-. ment par induction, en valeur déterminée de S,„, S,„_i,.. .. .,. faisant voir. m^. toute valeur déterminée de. pour. vérifiées. pour. elles sont vérifiées. .. .. si,. pour une. sont vraies pour les. .r, elles. toutes les valeurs i, 2, 3,. que. i^. :. .. Jf. ,. S,„. -,. 2". que. sommes si,. pour. elles. sont vraies pour. de. elles. :r,. celle dernière valeur de. sont encore. x augmentée. de. l'unité.. En. 5.. posant, dans. la. Up. —. nous obienons. la. formule Vj, -=11. //",. (7). m et. de. c. c. <>m. 'Jfi. 11. est. il. ou de l'imparité. la parité. ,. _/_J. L_U. ,. l. I. .. \m-\-i. n -h. i. ^^^. '-'/«+«+. ,. 1. +. "T-. ^^. p ii[. c 0//i-|-7j_i. 1. /. ^. W3. i. m^. -f- /ïa. ^2. ~,. f. et,. //',. formule suivanle, dans laquelle. impoitant de tenir compte de. de. (i),. pour. S,^,. m=. H-. -\- /?5 t>4. 7^. ^/«+rt— à -+-•••,. n,. = S,«+,. -f- [///. — [m Aqui donne,. ^/«-f-n— 3. comme. S* O.J. c2. i]^. i]... B, S,;„_,. B, S^m-i. -f-. [w. cas particuliers. =y — ^,. —. H-. 2. -4-. -j. S3,. 07 -t-. 2. 05,. c. _!. c. S5. _.. (*) Voir ISouvcllcs Annales, i^ sôric,. +. i]g. ('*'),. LQ. t.. IX, p.. [\C).. B, Sj„._5 4-. .. .. ..

(44) 493. (. Cl. ). inverscmem. •. 283^=2 S;, 285=== 3S^ 2S,. = 485— 3S^^-S^. oC. et. de trouver la. L'équation [y). I1C2. 20C2_,. /^Q2. serait facile. il. — S;,. voir. fait. :. générale des coefficients.. loi. 1". 11Ç2. en supposant. ni et. n de. même parité, que S2/4.1 est algébriquement divisible par Sj, et. que. le. quotient est une fonction entière de Si. supposant. m. et. n de. briquement divisible par. une fonction entière de par. que. Sa, et. Si.. le. Sg,-. 2" en. est algé-. quotient est encore. Ces propriétés permettent de. sommes. En. désignant par ç^^+i les quotients de S2/+1 par S^, et de Sg, par S2,. calculer facilement les et. que. parité différente,. ;. ^2». S.. = 2 dans cette formule, nous obtenons, en posant j = 28^ = x[x -h successivement. et faisant. =. /z. et. i. /z. i),. + 2]2B,ry2/H-, — — Bî 72/-. -h. {i-+-l)yfjî^^—.{i-^ l)q.i+^ -f-[2/. — [2 /-f-. 1. /. -h. 2}.. .. .. .. I )''[o.. (. /•. -h. i].,i. B/,. -t- o],,-. B/.. 2/ -H 5. .,. J'7:i/+'=. -r—. — [2. /. -h[2/. ^l-'i+^. -h 2. ]i. B,. 7,,-. 2j,B,(72,+,. -f-. -i-. — (_. .... I. )'[2. /. Ces deux formules donnent successivement, poui' /"=:i, 2, 3, 4i. •. 77. •. •. les. ?. équations suivantes. =-vJ'-f7. -H. :. 3, .S>. „. 7". 1. V<. J./. ^ .1. y3. J. y 13. ;V. 3/. „. 1. 6. «.fi. ^ 1. J. 7. yî. 6 -^. ^15.'. V* -U. ^ *. V. 11 y 3 7 2. <. 1.'. ""-. 1 S. 5. ^^ lOb. /. _1- lAJl. ï- 3. lOl' r-ct. V -U. 'V"».

(45) .. 494. (. 5f/i. 7. (76. 9*78. ==3jr. —. ). I,. = 3 j' — — h'—. 3j. +. I ,. Vr -. 6j^-4-. |i. ii7'o= 37<— loj^-h i']f— i37.. :--.-. 3j^-. i5r^-4- 4i. i5. j^-. j. -H 5,. -H^j-^-i- -%"r. j. Les coefiicients des diverses puissances de ternativement positifs la loi. On. S,„. S„S^. et. S;^,. ;^. divisible par. - ^,. j^. sont al-. cela résulte de. peut trouver aussi. en remarquant que pour. On observera que <7io est A l'aide des formules primer. comme. et négatifs,. de sommation.. coefficients,. .. la loi des. = 2 on a. y—. </. =:. i. i. on peut encore exen fonction linéaire des sommes S, (2) et (3),. et généraliser ces résultats.. On. retrouverait ainsi,. comme. cas particuliers, les formules. 4s^=. 3S5-1-S3,. I2S^=::=l6Se. qui seraient. les. — 5S4 +. S2,. deux premières d'une. analogues qui ont été indiquées par. Cûi\COllllS. GËÛAL. série de. formules. M. Ed. Amigues. (*).. DE 1874;. Par m. MORET-BLANG.. Matliénialiques spéciales. (Paris.). Démontrer que la forme la plus générale {V un polynôme entier F x), satisfaisant aux relations (. F. (i. — x^z=zY[x), X. r. *) JSoia'elIcs Annales,. }.*^. X"'. /. série,. t.. X,. p. 8i cl 117.

(46) 5o9. (. (onnaissaiil R, la. /',. /',. ). r" ^ r"\ et, par les autres,. on résout. question inverse.. —. Seconde question.. suppose que. Si l'on. les. trois. cercles de l'énonce précédent soient remplacés par les. analogues, tangents extérieurenienl an cercle. trois cercles. un triangle, et que l'ondésigne rayons des nouveaux cercles, on a. circonscrit les. l\. 4Rr' r. -f-. r. 3iK^ 4a7,j, et, si. 4R/'". r. r. — sRfjTi. z,a3—. [(r,. ^1. s,. r. -\-. H- ^1. 4-. .X-,. î. H-. -^1. — îji = o, Zi. +^,:>-i)a-—. 2,. z^. '. -f-. Ji). i,. ^.-i. j, 2,]^= o,. Ton pose r. H-4R. I. 9.Rm. on. 4R/". par.ri, j. Xi -h. I. I. 4. .>. 1^. + 4^^. ^'. -+-41"^. a aussi. ^;,. j.H-4^. -+-4R. 3,-i-4i^. —. Nota. Pour résoudre les questions piccédenles, on pourra prendre pour {)oint de départ les formules sni vantes, faciles à X.. ABC. démon irer. COS^. —. :. z=.y COS-. A X^ COS. —. ,. :=:. r. ,. —. --rr. 3 COS'. 2. 2. T, COS^. 2. B — 2. -. zr= r,. 2. =. ^^'. „ '. -i ^'<>S^. j. - =: 2. T. .. QIKSTIOXS D'AWLYSE l^m:TFÏIMI\EE; Pau m. Kdouard LUCAS.. I.. Trouver tous. les. systèmes de deux nombres cnlicrs. <lout le quotient par leur. somme. de. la. somme. ciu(piièmes puissances est un carré parfait.. di.'. leurs.

(47) .. (. lUO. ). comme. Cette queslion, qui comprend la. question 1168, (3,. a,. — i,ii^\ (So8,. '3.. comme (8,. 1. solutions simples,. 1, '2:î()i),. — G9.7,. cas particnliei". (i23, 35, i33v)i),. J169341), ..... Résoudre en nombres cnliers Téqualion. Trouver tous les triangles rectangles ayant pour côtés des nombres entiers, et tels que le carré de l'hypoténuse, augmenté on diminué du double de l'aire du triangle, soit égal à un carré parlait 3.. nombres entiers, tels (pie le carié de l'iiypolénuse^ augmenté ou diminué de Taire du triangle, soit égal à un carré par4.. Trouver tous. les. Trouver tous. les triangles rectangles. triangles rectangles en. fait.. 5.. entiers, IlIs. en nombres. que Taire du triangle augmentée des carrés. construits sur les trois côtés soit égale à. un. carré parfait.. BIBLIOGIUPIIIE.. Traité cV Arithniéliqiie, rédigé conformément aux pro-. grammes. ofCciels;. par. IVlatliématiques à Paris.. Prix. :. est divisé. Le Livre P'. nombres. Le Livre bres.. Un. vol. in-8,. professeur. de. de 3^8 pages.. 4 francs.. Ce Traité. les. H. Sigjvol,. traite. en cinq Livres. des quatre opérations fondainentaUs sur. entiers. II. renferine les propriétés éiénicnîaires des. nom-.

(48) (. 523. ). Le rayon de cette circonférence est la moitié du rayon du cercle circonscrit au quadrilatère J^^") Cette propriété présente une grande analogie avec le. théorème des neuf points, démontré par Euler, pour le cas du triangle. Les huit points désignés dans l'énoncé correspondent aux milieux des trois côiés. et. aux pieds. des trois hauteurs dans le cas du triangle. Les trois autres points,. dans ce. môme cas, sont les milieux des. du hauteurs. Dans le. droites. au point de ren-. qui joignent les sommets. triangle. contre des. quadrilatère, ces trois der-. niers points ont. pour correspondants. quatre droites qui joignent. les. milieux des. centre perspectif, ou point. le. de rencontre des hauteurs de A, aux sommets de Ag). Mais. ces quatre points se. confondent avec. les pieds. des. quatre hauteurs de A.. Théorème XXV.. — Le centre commun O des circon-. férences circonscrites aux quadrilatères centre perspectif a de. A. A. et. K,^^. et le. sont les foyers d'une ellipse. qui a pour centre et pour grand axe le centre et. le. dia-. mètre du cercle des douze points, pour tangentes. les. du qudrilatère A, pour polaire focale la diagonale extérieure du même quadrilatère, et pour cercle directeur relatif au foyer a le cercla circonscrit au quadricôtés. latère An.. /'. SLR LA DÉCOMPOSITIOI\ DES. MMU^ M. '. FACTEIRS. PREMIERS; Par. î\L. Edouard LUCAS.. Los opérations que l'on clVeclue hahitucllement pour. décomposer un nomhrc en longues. et. ses facteurs premii'rs sont. pénibles, puisque. Ton. est. obligé de laire.

(49) ,. (. oxaclcmenl. r>M. ). nombre, souvent irèsiïrand, par une série de diviseurs que Ton essaye successivement. On peut, à l'aide de la remarque suivante, abréger le calcul d'une manière notable. Considérons, les. par exemple,. le. divisions de ce. nombre 2^»-|-. dont tous. I. = /[2']S-?.5536:. Sop -h Prenons logarithmes des nombres de celle forme, compris entre 60000 et 62000, et retranchons-les du logarithme les diviseurs. sont de la (orme. i. .. les. du nombre donné; nous pouvons déterminer exactement les cinq chiffres du quotient et former le tableau suivant. :. Diviseurs..

(50) ,. 525. (. miers connus,. à savoir. _. 231. ). :. I. _- 2147483647.. Nous remarquerons que le dernier nombre essayé dans le tableau donne le produit 61G81. X 69361 = 4278255841,. qui ne dilîere que par deux chillres du. nombre donné.. J'observerai, à ce propos, qu'il serait bon, dans les. Tables de logarithmes, d'indiquer par un signe placé à côté du dernier groupe, formant chacun des logarithmes de loooo à looooo,. le cas. où. le. nombre. considéré est. premier.. On. de. une Table des nombres premiers de. frais,. avec. le. aurait ainsi, sans plus d'espace et sans plus 1. 108000. à. logarithme en regard, ce qui serait un véritable. progrès dans Tétude de la théorie des nombres.. Nous indiquerons encore So'"". — = 7^19.29. 2^.. i2'2ii. 1. So'^H-. I. =. F. 1. .. les. décompositions suivantes. :. 837931 .51941 161,. i3.3i .67 .271 483 1 .71261 .517831. + 1^3. 83.8831418697.. J'ai essayé ce. dernier. nombre pour. tous les facteurs. premiers, inférieurs k 60000, et ainsi. 57073. ne. diffèie. X. 154739 =r883i4i8947. que par deux chiffres de ce nombre,. et d'ail-. leurs le dernier facteur est divisible par i3. L'opération. nombres premiers de 60000 à gC) 100, et qui comporterait une seule page de calculs, reste à faire mais je n'ai pu continuer, n'ayant. qui consiste à essayer. les. autres. ^. pas. à. ma. disposition les Tables de Chernac.. donc. facile. dans. le. de s'assurer. si. ce. nombre. est. 11. sciait. premier,. cl,. cas de réussite, ce serait, je pense, le plus grand. noQibre premier connu actuellement..

(51) ,. (. 526. ). QUESTIONS D\\1\ALYSE l\»ÉTE5niI\ÉE Par m. Edouard LUCAS.. 1.. SI. [x,y.,z) représente une soliuion en nombres. entiers de l'équation indéterminée. A .r3 -4- B j3 H-. Cz^-\- 3. on obtient une nouvelle solution. X. Y. Z _. 1_. \. D jcjz =.. o. à l'aide des. équations. — o,. AXx' -+- BY/= H- CZz2=. o.. 2. Si (.T,JS z) et (Xi, Ti, î) désignent. deux solutions. on obtient une nou-. distinctes de l'équation précédente, velle solution à l'aide des écjuations. X Y. Z. y. z. .T. AXa:'^:, -h. 3.. =. BYj-J,. -f-. L'équation biquadratique. solution, en. nombres. entiers,. j?. O,. CZzZi. x''. =::::. O.. — 5j" =. = 3,. j". = 2,. i. a. pour. et n'en a. point d'autres.. La différence de deux cubes mais égale à un bicarré. 4.. consécutifs n'est ja-. Trouver en nombres entiers toutes des deux progressions arithmétiques 5.. 7. x^.. 2j^. 32^.4''^. les. solutions.

(52) (5^7 pour. et ainsi l'on a,. 167^2. T. pour. et,. la. ). première,. ia. X 97^3 X 57^4 X i3%. déraison. seeoade,. 7607^3x3032.5x191^.7X113% La. 6.. 9071. déraison. deux cubes consécutifs. différence de. 93022. n'est ja-. mais égale à un bicarré.. Résoudre complètement l'équation. 7.. dont Legendre adonné une solution incomplète (*). 8.. Trouver toutes. somme. valeurs de. les. des cinquièmes puissances. x pour lesquelles la des x premiers nom-. bres est un carré parfait.. QUESTIONS. MOREAU,. Proposées par M. C.. Capitaine d'Artillerie, à Calais.. 1.. Démontrer f?(n. i-f. v/"^:. les. — ')P. 1.2. formules [^{^^ I. — O^'' — ÔT' -h. ^^3. j"^L. j. r(2«+i) .. .:. r(/M-.). -(;)"-['-^-]'-["^^':3-']'-cos. —. 7. 2. /P. rû {n-. —. I. ). -. î. 1-) n-. ri-. —. i. ). (. //'. —4. ). ^'. et indi([uer entre quelles limites elles sont exactes. (*) I.EGENDUE,. Thcoric des Nombres,. i.. II,. p. i-jG.. " ". ~.

(53) NOUVELLES ANNALES DE. MATHÉMATIQUES. JOURMl DES CANDIDATS. AUX ÉCOLES POLYTECHNIQUE ET NORMALE. Par mm.. GERONO,. PROFESSEUR DE MATIIÉMATIQUF, S, ET. Ch. RÉPÉTITEUR. brisse,. l'École polytechnique, AGRÉGÉ DE l'uMVEUSITË. A. DEUXIEME SERIE.. PliBLICATlON. FO\DEE EX. ÏMl. PAR. Mil.. «ERO\0 ET TERQIIEW,. ET COOTINLÉE PAR MM. CEROIVO, PROIOET ET BOIRGET. PARIS, GAUTHIER-YILLARS, IMPRTIMEUR-LIBRAIRE DU nuni Ad. DF.S. LONGITUDES, DE. L F C O L F. '. PO. F.. YTKC HNIO UE. SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER, Quai. (les. Augiistins,. 1876.. n" 55.. ,.

(54) NOUVELLES ANNALES DE. MATHÉMATIQUES. PROBLÈMES Par. I\1.. Sl]R. L'ELLIPSE;. Edouard LUCAS.. 1. Sur la construction géométrique des normales à une conique, Dans une Noie ayant pour objel la solution du problème d'abaisser une normale sur l'ellipse,. —. M. Painvin. (*. ). se sert. d'un théorème extrait d'un. Mé-. moire de M. Smitli Sur quelques problèmes cubiques quadratiques. L'emploi de ce théorème tile, et. que. la. Soit. males. je. pense que. la. me. et. parait inu-. solution suivante est plus simple. solution indiquée.. P. (a,. /5). le. à l'ellipse-,. point d'où l'on veut abaisser les nor-. du sommet. si. A. on abaisse des per-. pendiculaires sur les normales, elles rencontrent la. courbe en quatre points situés sur une circonférence, et la construction. de. question proposée.. celle-ci. On. résout immédiatement la. trouvera dans l'article cité la. construction de l'axe radical de cette circonférence et. du. cercle. homographique,. première droite contenant. et ainsi l'on le centre.. déterminera une. L'ordonnéej. centre de cette circonférence a pour expression. (*. ). Nouvelles Annales, a^ série,. t.. IX, p.. .i/JS.. o. du. [ t'o//- la. ...,.,^;^^.

(55) (6) mule. foi. 35 1 de. (II), p.. l'eiidroil ciiéj rta3. SoitD le. point. le. D. sommet A: joignons. centre de courbure du. à la. projection du point. P. sur l'axe des j-,. la projection. une. parallèle qui rencontre l'axe des j' eu. cliercliée y^ sera le. 2. Su?' la corde la position. de. la. peut employer. double de. normale. que. la. Q. ;. l'ordonnée. OQ.. ininiina.. — Pour déterminer. corde normale de longueur niinima, on. remarque suivante, et si cette remarque. la. raison de sa simplicité,. Supposons une. et,. de ce point sur l'axe des x, menons. par. ellipse. développée. la. dont. les. j'ignore,. en. est nouvelle.. dimensions sont. rencontre en des points. l'éels. telles 5. on. a. a^^h y'2. Désignons par A l'un des points d'intersection, par AB la tangente à la développée normale à l'ellipse en B, par A'B' une tangente voisine, par A'. le. point de. contact avec la développée, extérieur à l'ellipse et sur. la. même branche que A, par B' le pied de la normale, et par C l'autre point d'intersection de A'B' avec l'ellipse. On a arc A' et,. puisque l'on. A. -f-. AB. a. arc A' A il. Oh. = A' C + CB',. en résulte, car. la. >. A' C,. démonstration s'applique encore. si. A' est intérieur à l'ellipse,. B'C>AB,. AB est la corde normale minima. Le raisonnement s'applique d'ailleurs à la recherche de la longueur maxima ou minima de la normale à une courbe donnée C comptée de son pied jusqu'à son point d'intersection avec une courbe donnée C. Les tangentes et ainsi.

(56) 7) C. {. à la. développée de. en ses points d'intersec-. sont en général des normales inaxima ou. On. ne peut rien conclure par ce qui précède,. lorsque la courbe droit.. courbe. C. tion avec. mininia.. la. On. C coupe. développée de. la. compte des. doit encore tenir. C. à angle. affections sin-. gulières que présentent ces trois courbes, et plus parti-. culièrement des points de rebroussement de. déve-. la. loppée. 3.. En. Sur le triangle inscrit. désignant par a,. j3,. et. y. concentrique à. V ellipse.. —. angles excentriques ou pa-. les. ramètres angulaires des sommets d'un triangle inscrit. à. coordonnées du centre du cercle circonscrit. l'ellipse, les. sont données par les équations. ax. a.. -h. (i. (. * ). 3-1-7. 7 H- a. 2. 2. 2. c'. = — sin a -h. h' -^. .. Si le triangle est. S. .. sm. 8 -h 7. concentrique à. .. 7 4-. sin. l'ellipse,. on. a. 277. Cela posé,. la. formule. cos^/» cos^ «7 cos-. =-. /•. -f- s'ia^p. [C0S2(/^. —. sin^ qs'in-r. -f-COS2(<7—. COS2(r. —. -I-. H. -f-. -[cos2(/?-f-<7)-f-cos2((7H-r)-|-cos2(r-i-/;"']. -y). /•)-[-. /?)]. (*) Salmon, Traité des sections coniques, p. 3o6 de la traduction Nous ferons observer que cette dénomination d'aiii^lc excen-. française.. trique est au céleste, le. moins. nom. bizarre. Cet angle porte, il est vrai, en Mécanique d'anomalie excentrique, parce qu'il n'a point son som-. met au foyer de l'orbite elliptique d'une planète, occupé par le centre du Soleil ;,mais cette dénomination n'a aucune raison d'être en Géométrie..