Final de ps11

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Utbm, TC A06

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Final de ps11

Durée 1h30, sans documents

Exercice I

L’espace est rapporté au référentiel galiléen R O b x y z( , ( , , ))r r r

. Une particule P de masse m est soumise à une force donnée :

(sin( ) cos( ) ), 0, 0 F maP = wt x+ wt y a> w>

r

r r

A l’instant initial, t=0, la particule est à l’origine O du repère, sans vitesse initiale.

On adopte un paramétrage cartésien : OP x t x y t y z t z= ( ) + ( ) + ( ) uuur

r r r

On demande :

I.1)

par application du principe fondamental de la dynamique, l’expression de l’accélération ( )/P R

γr

I.2)

, par intégration, en pensant à ne pas oublier les constantes d’intégration, l’expression paramétrique de la trajectoire, OP tuuur( )

,

I.3)

la distance parcourue et le temps t t= ₁>0, lorsque la particule s’arrête pour la première fois,

I.4)

le rayon de courbure de la trajectoire à l’instant t w

=π _.

Indications :

On rappelle que cos( ) 1 2sin ( ) 2cos ( ) 1wt = − ² wt2 = ² wt2 −

_______________________________________________________

Exercice II

On considère un anneau P de masse m, ponctuel.

Il est astreint à se déplacer sans frottement sur une tige infinie fixe par rapport au référentiel terrestre Rt, galiléen. L’axe de la tige ( , )O xr

, est incliné d’un angle θ θ, ∈

]

0,π

[

par rapport à l’accélération de la pesanteur gr

. On retient le paramétrage, OP x t x= ( )

uuur

r, et les conditions initiales,

( 0) 0, ( )/ ( 0) 0t

OP t= = V P R t= =

uuur r r r

Les actions mécaniques prises en compte sont : . - la pesanteur, P mg=

r r

- la résistance de l’air, T = −hV P R( )/ t

r r

- l’action de la tige sur l’anneau, ^R^rtelle que ^{R x}^r^.^r⁼⁰.

II.1) Représenter les actions mécaniques sur une figure.

Ecrire la projection selon xr

du principe fondamental de la dynamique. Est-ce une équation du mouvement? Justifier votre réponse.

II.2)

En déduire la vitesse de P, par rapport à Rt.

- Quelle est la vitesse limite atteinte pour θ =0? - Quelle est l’expression du vecteur unitaire tangent tr

si ^{θ >}^π₂?

II.3)

Déterminer le vecteur position de P.

II.4)

Déterminer l’expression de l’inconnue de liaison Rr . O

xr gr

θ P