Sorbonne Universit´e Pr´epa agreg 2019-20
TD d’analyse 2 : fonctions d’une variable r´ eelle
Exercice 1. Soit f :R→R une fonction continue et p´eriodique. Prouver que f est uniform´ement continue.
Exercice 2. On d´efinit une fonction f :R→R en posant
— f(x) = 1/q six=p/q avec p∈Z,q ∈N∗, pgcd(p, q) = 1 ;
— f(x) = 0 six est irrationnel.
D´emontrer quef est continue en un pointx si et seulement six est irrationnel.
Exercice 3. Soit f une fonction d´erivable sur Rtelle que f0 tend vers un r´eel ` en +∞. D´emontrer que lim
x→+∞
f(x) x =`.
Exercice 4.
(a) Soitf :]a, b[→Rune fonction d´erivable. On suppose que f0 admet une limite finie en a. Prouver que f se prolonge en une fonction d´erivable sur [a, b[.
Indication : supposer d’abord que f admet une limite finie en a.
(b) Soit θ:R→Rla fonction d´efinie parθ(x) = exp(−1/x) si x >0 et θ(x) = 0 sinon. Montrer que θest de classeC∞.
(c) Pourx∈R∗, on posef(x) =x32 sin(1/x). Montrer quef admet un prolonge- ment d´erivable sur Rtout entier. Ce prolongement est-il lipschitzien ?
Exercice 5.
(a) Prouver que la fonctionf :x7→ln(1 +ex) est convexe sur R.
(b) En d´eduire la formule suivante : pour tous r´eels strictements positifsa1, . . . , an etb1, . . . , bn,
n
Y
k=1
(ak+bk)
!1
n
≥
n
Y
k=1
ak
!1
n
+
n
Y
k=1
bk
!1
n
.
Exercice 6. Soit f :R+→Rune fonction positive, major´ee, deux fois d´erivable et telle quef00≥f.
(a) Prouver quef est d´ecroissante.
(b) Prouver que f etf0 tendent vers 0 en +∞.
(c) D´emontrer que pour x∈R+,f(x)≤f(0)e−x.
Indication : on pourra ´etudier la fonction g:x7→(f0(x) +f(x))e−x.
1
2
Exercice 7. (th´eor`emes de Dini) On consid`ere une suite de fonctions continues fn: [a, b]→Rqui converge simplement vers une fonction continue f : [a, b]→R.
(a) Donner un exemple o`u la convergence n’est pas uniforme.
(b) On suppose ici que chaque fonction fn est croissante. Prouver que la conver- gence est uniforme.
(c) On suppose maintenant que, pour tout x ∈ [a, b], la suite r´eelle (fn(x)) est croissante. Prouver que la convergence est uniforme.
Exercice 8. Evaluer lim
n→+∞
n−1
X
k=0
n
k2+ 3n2, apr`es avoir justifi´e l’existence de cette limite, ´evidemment.
Exercice 9. Soit f : [a, b] → R une fonction de classe C2. Pour chaque entier i∈[[0, n]], on posexi =a+ib−a
n .
(a) M´ethode des trap`ezes : on consid`ere la fonction φ : [a, b]→ R qui est affine sur le segment [xi−1, xi] pour touti∈[[1, n]] et v´erifieφ(xi) =f(xi) pour tout indicei∈[[0, n]]. Calculer l’int´egrale deφet prouver qu’il existe une constante C d´ependant dea,b etf telle que
Z b a
f− Z b
a
φ
≤ C n2.
(b) M´ethode des points milieux : on consid`ere une fonction φ : [a, b] → R qui est constante `a la valeur f((xi−1+xi)/2) sur l’intervalle ]xi−1, xi[, pour tout i ∈ [[1, n]]. Calculer l’int´egrale de φ et prouver qu’il existe une constante C d´ependant de a,betf telle que
Z b a
f− Z b
a
φ
≤ C n2.
Exercice 10. Soit ϕ : R → R une fonction continue et T-p´eriodique. Montrer que pour toute fonction f : [a, b]→R continue par morceaux :
n→+∞lim Z b
a
f(t)ϕ(nt)dt= 1 T
Z T 0
ϕ Z b
a
f
.
Indication : on pourra commencer par traiter le cas o`uf est constante.
Exercice 11. Soit f : [1,+∞[→ R une fonction continue telle que l’int´egrale Z +∞
1
f(t)dt converge. Prouver que, pour tout a > 0, l’int´egrale Z +∞
1
f(t) ta dt converge.
