Concaténations à la chaîne
Problème A5908 de Diophante
Q1 Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de deux carrés parfaits >0 [*]
Q2 Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de trois carrés parfaits >0 [**]
Q3 Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de quatre carrés parfaits >0 [***]
Solution
Concaténation de deux carrés parfaits Par exemple 16 est le carré de 4
81 est le carré de 9 1681 est le carré de 41 De même, 2401 est le carré de 49
9801 est le carré de 99 24019801 est le carré de 4901
Vérifions que ces constats se généralisent pour les carrés de 49...9 et 99...9 Soit n = 10p/2 – 1 alors le carré de n*10p + 1 s'écrit comme la concaténation des carrés de n et 2*n+1. S'en convaincre !
Ainsi, nous répondons à la première question.
Remarque : les deux carrés accolés peuvent ne pas être de même longueur.
905 a pour carré 819025, concaténé des carrés de 9 et de 95 7045 a pour carré 49632025, concaténé des carrés de 7 et de 795 1442 a pour carré 2079364, concaténé des carrés de 456 et de 2 2163 a pour carré 4678569, concaténé des carrés de 684 et de 3 Concaténation de trois carrés parfaits
Par exemple 16 est le carré de 4 64 est le carré de 8
64 est le carré de 8 166464 est le carré de 408
Je suisbien fatigué et ne vais pas plus loin !
