Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de deux carrés parfaits >0 [*]
Q₂ Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de trois carrés parfaits >0 [**]
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de quatre carrés parfaits >0 [***]
Q1 : Pour tout entier i, (10i-1)2=102i-2*10i+1=2(5*10i-1-1)10i+1=(10k(5*10i-1-1)+1)2-10i(5*10i-1-1)2 donc (10i(5*10i-1-1)+1)2=(5*10i-1-1)2*102i+(10i-1)2 est la concaténation de deux carrés. Ainsi, 412=1681, 49012=24019801, etc...
Q2 : Pour tout couple d’entiers a et b, (a*102k+b)2=a2*104k+2ab*102k+b2 ; donc si b=2a avec 102k-1<b2<102k , (a*102k+b)2 est la concaténation de 3 carrés : a2, b2 etb2.
Par exemple, si k=1, a=2, b=4, 2042=41616, etc...
Q3 : en particulier si a=10i(5*10i-1-1)+1, b=10i(10i-2)+2, k=2i et 104i-1<b2<104i : puisque a2est la concaténation de deux carrés, ((a*104i+b)2 est la concaténation de quatre carrés.
