A363. Permutations à la chaine
On considère les fractions rationnelles a/b avec 0 < a < b qui admettent un développement décimal périodique de longueur n > 1, de la forme a/b = 0.d1d2d3...dnd1d2d3...dn.... avec le bloc d1d2d3...dn qui se répète à l'infini.
Par exemple : 2/7 = 0.285714285714....a un développement décimal périodique dont le bloc de longueur 6 est 285714.
On effectue une suite de permutations circulaires sur les chiffres de chaque
bloc d1d2d3...dn.Lors d'une permutation le dernier chiffre de chaque bloc passe en première position de ce bloc tandis que les n 1 autres chiffres sont décalés d'un cran ‒ vers la droite et l'on obtient à nouveau l'écriture d'une fraction rationnelle.
Soit rk(a/b) la k-ième fraction rationnelle obtenue à l'issue d'une k-ième permutation circulaire opérée sur a/b avec k entier positif quelconque.
Par exemple à partir de a/b = 2/7, on a r1(2/7) = 0.428571428571... = 3/7 puis r2(2/7)
= 0.142857142857... = 1/7, r3(2/7) = 0.714285714285.. = 5/7 etc....r7(2/7) = 0.285714285714.. = 2/7 etc...
Sachant que r8(a/b) = 2r2(a/b) et r4(a/b) = 4r8(a/b), déterminer la plus petite fraction a/b dont le développement décimal a la plus petite période n > 1 possible puis calculer r2016(a/b).
Solution proposée par Bernard Grosjean
Recherche d’un développement périodique répondant à la question
Prenons a=1. La permutation périodique du développement nous donnera les autres valeurs de a < b 1/2 = 0,5 ne convient pas
1/3 = 0,333 (période 1, ne convient pas) 1/4 = 0,25 ne convient pas
….il en est de même pour toutes les valeurs de b inférieures à 17 (facile à vérifier) Examinons ce qu’il en est pour b = 17
Le calcul nous donne :
1/17 = 0,05882352941176470588….. de période n = 16
Cette période nous indique que la permutation circulaire du développement, comportant 16 valeurs distinctes, nous donnera toutes les valeurs a inférieures à 17
Nous pouvons le vérifier dans le tableau suivant :
Rang de la
permutation Développement périodique Valeurs a/b Départ (r0) 0,0588235294117647 1/17
r1 0,7058823529411764 12/17
r2 0,4705882352941176 8/17
r3 0,6470588235294117 11/17
r4 0,7647058823529411 13/17
r5 0,1764705882352941 3/17
r6 0,1176470588235294 2/17
r7 0,4117647058823529 7/17
r8 0,9411764705882352 16/17
r9 0,2941176470588235 5/17
r10 0,5294117647058823 9/17
r11 0,3529411764705882 6/17
r12 0,2352941176470588 4/17
r13 0,8235294117647058 14/17
r14 0,8823529411764705 15/17
r15 0,5882352941176470 10/17
r16 = r0 0,0588235294117647 1/17
Examinons si dans ce tableau on peut trouver r(n+6) = 2r(n) et r(n+2) = 4r(n+6) La valeur n = 6 répond aux conditions demandées.
Nous avons en effet r12 = 4/17 et r6 = 2/17 donc r12 = 2 r6 et r8 = 16/17 et r12 = 4/17 donc r8 = 4 r12 Il suffit donc de décaler la valeur de départ pour que r6 devienne r2.
r4 sera donc la valeur de départ, avec
