Deux polynômes P et Q d’une seule variable x sont dits « commutables » si P(Q(x)) = Q(P(x)).
On s’intéresse ci-après aux polynômes commutables Pk(x) dont le coefficient du monôme de degré le plus élevé k est égal à 1,par exemple P₁(x) = x et P₂(x) = x² – 1
Q₁ Démontrer qu’il existe un entier naturel a > 0 et un polynôme P₃(x) de degré 3 tel que P₂(x) = x² – a et P₃(x) sont commutables.
Q₂ Avec la valeur de a ainsi trouvée dans Q₁, démontrer que pour tout entier k ≥ 4, il existe un seul polynôme Pk(x) de degré k commutable avec P₂(x) = x² – a.
Application numérique : déterminer les coefficients des quatre monômes de degrés les plus élevés de P2021(x).
Q₃ Pour les plus courageux : démontrer que dans la suite des polynômes P₁,P₂,P₃ ,…Pk ainsi obtenus, tous les polynômes Pi et Pj pris deux à deux sont commutables, 2 ≤ i ≤ k, 2 ≤ j ≤ k, i ≠ j.
Q1 : Comme P2 est pair, P3∘P2 (x)= P3(P2(x)) est pair, et pour que P2∘P3 (x) = P2(P3(x)) soit pair, P3 , de degré impair, doit être impair ; il est donc de la forme P3(x)=x3-bx Nous avons (x3-bx)2-a=(x2-a)3-b(x2-a) soit x6-2bx4+b2x2-a=x6-3ax4+3a2x2-a3-bx2+ab, donc en identifiant, 2b=3a, b2+b=3a2, a3=ab+a soit a=2 et b=3 : P2(x)=x2-2 et P3(x)=x3-3x
Q2 : Comme ci-dessus Pk doit être de la parité de k Pk(x)=xk+a2xk-2+a4xk-4+... ; P2(Pk(x))=(xk+a2xk-2+...)2-2, Pk(P2(x))=(x2-2)k+a2(x2-2)k-2+...
En identifiant, les termes en x2k sont égaux par construction, les termes en x2k-2 permettent de calculer a2 : 2a2=-2k, donc a2=-k, pour les termes en x2k-4, a22+2a4=2k(k-1)+a2 soit a4=k(k-3)/2
pour les termes en x2k-6, 2a6+2a2a4=-4k(k-1)(k-2)/3-2a2(k-2), soit a6=-k(k2-9k+20)/6 et ainsi de suite : les ai sont déterminés à tour de rôle de manière unique.
Donc P2021(x)=x2021-2021x2019+2039289 x2017 - 1369655952 x2015 +...
Q3 : La composition des fonctions étant associative,
(Pi∘Pj)∘P2=Pi∘(Pj∘P2)=Pi∘(P2∘Pj)=(Pi∘P2)∘Pj=(P2∘Pi)∘Pj=P2∘(Pi∘Pi) et (Pj∘Pi)∘P2=Pj∘(Pi∘P2)=Pj∘(P2∘Pi)=(Pj∘P2)∘Pi=(P2∘Pj)∘Pi=P2∘(Pj∘Pi)
Pi∘Pj et Pj∘Pi ont même degré et commutent tous deux avec P2 : ils sont donc identiques, donc Pi et Pj commutent.
