Suites universelles
Suite ordonnée
A partir d’une suite S(n,k) on obtient une suite équivalente après une permutation des n entiers. On ne considérera donc que les suites ordonnées, c’est-à-dire pour lesquelles un entier p n’apparaît pas avant un entier q inférieur.
On a ainsi L(2)=3 pour la suite S(2,3)={1, 2, 1} seule suite ordonnée possible.
Détermination de L(3) et L(4)
L(3)=7 pour S(3,7)={ 1, 2, 3, 1 ,2 ,3 ,1} ou {1, 2, 3, 1, 3, 2 ,1} ou {1, 2, 1, 3, 1, 2, 1} ou {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3}
ou {1, 2, 3, 1, 2, 1, 3} ou {1, 2, 1, 3, 2, 1, 2} ou {1, 2, 3, 2, 1, 3, 2}.
Si un nombre n’apparaît qu’une seule fois, il doit être précédé et suivi d’une séquence L(2), soit L(3)=3+1+3=7. C’est le cas de la suite {1, 2, 1, 3, 1, 2, 1}.
Si chaque nombre apparaît exactement 2 fois, le premier 3 (qui suit 1 et 2) ne peut être suivi, en ignorant le second 3, que par 1,2 ou 2,1 ; il manque donc un terme puisque L(2)=3. Donc L(3) ne peut être inférieur à 7.
L(4)=12 pour S(4,12)={1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 1, 4, 2, 1, 3}. Il y a d’autres solutions.
Un chiffre ne peut apparaître qu’une fois car il devrait être précédé et suivi d’une séquence S(3,7) soit une longueur 7+1+7=15
Le premier 4 arrive au mieux en 4ème position, il est suivi de 8 chiffres dont au moins un 4 ; les 7 chiffres 1,2,3 ne peuvent être moins nombreux que L(3)=7 ; donc L(4) vaut au moins 4+1+7=12.
L(3 )=7 pour { 1231213 } soit 7= 2² + 3
L(4)=12 pour { 123412314213} soit 12= 3² +3
L(5) = 19 pour {1234512341523145213} soit 19 = 4²+3 L(6) = 28 pour {123456123516234156231456213} soit 28 = 5²+3
L(7) = 39 pour {123456712345617234516723415672314567213} soit 39=6²+3 L(8)= 52 pour {1234567812345671823456178234516782341567823145678213} soit 52=7²+3
Méthode pour construire S(n,L(n)) en n paquets juxtaposés
- la première ligne doit avoir tous les termes différents, sans répétition donc 1 2 3 4 5… n puisque la suite est ordonnée
- on utilise le 1 comme début des lignes et on complète chaque ligne avec les autres termes cycliquement en s’arrêtant au terme 3 pour la dernière ligne
- débuter par 1,2,…,n // 1er paquet de(n-1) + 1 termes - puis 1,2,…,(n-1) // paquet de( n-1) termes (n omis) - puis 1,n,2,3,…,(n-2) // paquet de( n-1) termes (n-1 omis) - puis 1,(n-1),n,2,3,…,(n-3) // paquet de (n-1) termes (n-2 omis) -puis 1,(n-2),(n-1),n,2,3,…,(n-4) // paquet de(n-1) termes (n-3 omis) -puis 1,(n-3),…,n,2,3,…(n-5) // paquet de (n-1) termes (n-4 omis)
……….
- puis 1,5,6,7, …n,2,3 // paquet de (n-1) termes (4 omis) - puis 1,4,5,6,…,n,2 // paquet de (n-1) termes (3 omis) Et enfin le dernier paquet
- 1,3 // paquet de 2 termes soit un total de (n-1)²+3 termes
Une permutation sera plus difficile à être vérifiée si elle a ses termes successifs du rang le plus élevé possible dans S.
Ainsi {n, (n-1), (n-2), …, 4, 3, 2, 1} qui utilise le 1 de la dernière ligne
De même, {2, 1, n, (n-1), (n-2), (n-3),… , 5, 4, 3 } qui utilise le 3 de la dernière ligne {3, 2 ,n, (n-1), (n-2)…, 6, 5 ,4, 1} utilise aussi le 1 de la dernière ligne
On peut construire de la même façon les autres suites débutant par les autres valeurs avec des termes successifs de rang le plus élevé possible.
Toute autre permutation aura un rang de fin dans S inférieur ou égal celui de la permutation ci-dessus de même début.
Si, dans l’espoir de raccourcir S(n,k), on supprime un terme y dans une ligne x, on trouve aisément une permutation impossible : il suffit de créer une permutation ayant le y en position x, et les termes (non encore utilisés) précédents et suivants choisis selon la méthode du rang le plus éloigné.
Par exemple, si on supprime dans S le 1 de la cinquième ligne, on voit que la permutation
{3,2,n,(n-1),1,(n-3),(n-4),…5,4,(n-2),(n-3)} ne sera pas trouvée car (n-3) ne figure pas dans la dernière ligne.
Appliquons cet exemple à S(9,67) écrit sur 9 lignes { 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 1 9 2 3 4 5 6 7 1 8 9 2 3 4 5 6 1 7 8 9 2 3 4 5 1 6 7 8 9 2 3 4 1 5 6 7 8 9 2 3
1 4 5 6 7 8 9 2
1 3 }
Ainsi, dans S(9,67), si on supprime, par exemple, le cinquième 1, on trouve, en remontant dans S,
successivement 8, 9, 2, 3, et en descendant le sixième 1, 5, 4, 7 et le 6 restant soit {3, 2, 9, 8, 1, 5, 4, 7, 6,}.
Le terme 6 ne sera pas trouvé sur la dernière ligne.
Récurrence sur les S(n,k)
On peut remarquer qu’on obtient, à partir d’une suite S(n,k) construite comme ci-dessus, une suite S(n-1,k’) en supprimant tous les n et toute la seconde ligne qui n’en contient aucun. On a ainsi supprimé
n-2+n-1 =2n-3 termes. Comme k = (n-1)²+3, k’= (n-1)²+3-(2n-3) = (n-2)²+3. La suite S(n-1,k’) possède la même structure.
A l’inverse, à partir d’une suite S(n-1,k’), on peut construire une suite S(n,k) en ajoutant au début une ligne 1,2,…,n et un terme n devant chacun des n-3 derniers 2 de la suite.
On a su trouver des suites minimales de rang 3 et 4, dont un exemplaire est construit comme indiqué ci- dessus. Ce sont
{ 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3 } et { 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 1, , 4, 2, 1, 3}
Supposons qu’on ait une suite de cette famille de rang (n-1) qui soit minimale. Il nous suffit de montrer que la suite de rang n est aussi minimale.
Si le terme n est en début de la permutation, on le trouvera dans la première ligne et comme les suivantes sont S(n-1) avec des termes n en plus, on trouvera toutes les permutations débutant par n.
Notons x un terme autre que n. Pour la même raison que ci-dessus on trouvera toutes les permutations débutant par x,n
Notons y un terme autre que x ou n. On trouve toutes les permutations débutant par x,y,n. En effet n figure près du début de la 3ème ligne. Toutes les permutations x,y se trouvent dans les deux premières lignes avec le 1 de la troisième. On trouvera aussi les n-3 termes restants puisqu’on peut les trouver derrière x,y dans la suite S(n-1). Le même raisonnement peut se poursuivre jusqu’aux permutations se terminant par n.
On construit de la sorte L(2008) qui possède 2007²+3 = 4028052 termes. Il existe beaucoup d’autres suites similaires. Par exemple, on peut permuter les deux termes de la dernière ligne.
