September2,2021 JRSeigneMP*, ClemenceauNantes Sinuso¨ıdes

Sinuso¨ıdes JR Seigne MP*, Clemenceau

Nantes

Repr´esentation r´eelle Vecteur de Fresnel Repr´esentation complexe Multiplication Moyennes

Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

Sinuso¨ıdes

JR Seigne MP*,Clemenceau Nantes

September 2, 2021

Sinuso¨ıdes JR Seigne MP*, Clemenceau

Nantes

Repr´esentation r´eelle Vecteur de Fresnel Repr´esentation complexe Multiplication Moyennes

Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

1 Repr´esentation r´eelle

2 Vecteur de Fresnel

3 Repr´esentation complexe

4 Multiplication

5 Moyennes

Moyenne d’une fonction p´eriodique

Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

t u(t)

bb

0 U0

La repr´esentation r´eelle d’une grandeur sinuso¨ıdale (ici une tension) est de la forme :

u(t) =U0+Umcos (ωt+ϕ)

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

t u(t)

bb

0 U₀

Elle est caract´eris´ee par sa moyenne et ses grandeurs extrˆemes :

hu(t)i= 1 T

Z t₀+T t₀

u(t)dt=U0

umax =U₀+Um et umin =U₀−Um

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

Deux tensions sinuso¨ıdales synchrones de moyenne nulle d´ephas´ees :

u1(t) =Um1cosωt et u2(t) =Um2cos (ωt+ϕ)

t ui

b0

u₂

u1

u2(t) est en avance sur u1(t) ϕ >0

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

Addition

L’objectif est d’additionner :

u₁(t) =Um1cosωt et u₂(t) =Um2cos (ωt+ϕ) Pour pouvoir ´ecrire :

u1(t) +u2(t) =us(t) =Umcos(ωt+ψ) On d´etermineUm etψ `a l’aide des formules :

cos(a+b) = cosacosb−sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ cosasinb

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

u₁(t) +u₂(t) =us(t) =Umcos(ωt+ψ)

t ui

b0

u2 u₁

us

Um= q

U_1m² +U_2m² + 2Um1Um2cosϕ tanψ= Um2sinϕ

Um1+Um2cosϕ

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

x y

ϕ

b0

t = 0 u1

u2

x y

ϕ ωt

b

0

t>0 u₁ u2

Les deux vecteurs fig´es dans leur position relative parϕ tournent dans le planOxy `a la vitesse de rotation ω. On se contente de les repr´esenter `a une date o`u l’un des vecteurs passe par l’axe horizontal, comme par exemple ici `a la date t= 0.

u2(t) est en avance suru1(t) ϕ >0

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

Addition

x y

ϕ ψ

b0

t= 0 u1

u2

us

Um= q

U_1m² +U_2m² + 2Um1Um2cosϕ tanψ= Um2sinϕ

Um1+Um2cosϕ

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

A une tension sinuso¨ıdale de moyenne nulle`

u2(t) =Um2cos (ωt+ϕ), on associe la repr´esentation complexe :

u₂(t) =Um2expj(ωt+ϕ) =U_m2expjωt

o`u U<sub>m2</sub> =Um2expjϕ est l’amplitude complexe associ´ee `a la tensionu(t). Il est tr`es pratique d’utiliser cette notation sachant que expjϕ= cosϕ+jsinϕet aussij²=−1.

u_s(t) = (Um1+Um2expjϕ) expjωt

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

En r´ eels

Lorsque l’on multiplie deux grandeurs sinuso¨ıdales comme u₁(t) =Um1cosωt etu₂(t) =Um2cos(ωt+ϕ), on doit utiliser la r`egle suivante :

cosp cosq = 1

2[cos(p+q) + cos(p−q)]

En utilisant cette formule et sans oublier le fait que la fonction cosinus est paire, on arrive `a :

u1(t)u2(t) = U1mU2m

2 [cos(2ωt+ϕ) + cosϕ]

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

En complexes

Lorsque l’on multiplie deux grandeurs sinuso¨ıdales complexes u₁(t) =Um₁expjωt etu₂(t) =Um2expj(ωt+ϕ), on obtient :

u₁(t)u₂(t) =Um1Um2expj(2ωt+ϕ) Si l’on tente de revenir en r´eels :

ℜ(u₁(t)u₂(t)) =Um1Um2cos(2ωt+ϕ)

`a comparer `au₁(t)u2(t) = U1mU2m

2 [cos(2ωt+ϕ) + cosϕ].

CONCLUSION : ATTENTION `A L’UTILISATION DES COMPLEXES POUR LES MULTIPLICATIONS

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

On a repr´esent´eu₁(t) =Umcosωt,u₃(t) =Umsinωt de p´eriodeT = 2π/ω ainsi que u₂(t) =Umcos(ωt+ϕ) :

t u(t)

bbb

Um

−Um

b b

b

2π ω π

ω

4π ω

0

Leurs moyennes sont nulles : hcosωti=hsinωti= 0. . .

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

Moyenne d’une fonctionu(t) quelconque entre les dates ti =t0

ettf =t₀+ ∆t avec ∆t >0 :

hu(t)i=u(t) = 1 tf −ti

Z tf

ti

u(t)dt= 1

∆t

Z t₀+∆t t₀

u(t)dt Pour une fonction p´eriodique, sur ungrand intervalle de temps

∆t =nT+τ avec n∈N etτ <T et doncnT ≫τ, le calcul revient `a celui effectu´e sur une p´eriodeT compl´et´e par une modeste contribution li´ee `aτ :

hu(t)i ≃ 1 T

Z t₀+T t₀

u(t)dt+ 1 nT

Z τ

0

u(t)dt

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

On sera souvent amen´es `a calculer des moyennes de termes comme f(t) =Um² cos²ωt etg(t) =Um² sin²ωt. f(t) etg(t) sont positifs et compris entre 0 etUm².

t f(t),g(t)

bbb

Um²/2 Um²

b b

b

2π ω π

ω

4π ω

0

hcos²ωti=hsin²ωti= 1 2

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

Moyenne du produith(t) =Um² cos(ωt+ϕ) cosωt :

t h(t)

bbb b bb

2π ω π

ω

4π ω

0

hh(t)i= Um²

2 cosϕ

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

ϕ = 0

t h(t)

bb b bb

2π ω π

ω

4π ω

0 Um²

hh(t)i= U_m² 2

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

ϕ = π/4

t h(t)

b b bb

2π ω π

ω

4π ω

0

hh(t)i= Um²

√2

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Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

ϕ = π/2

t h(t)

b b bb

2π ω π

ω

4π ω

0

hh(t)i= 0

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Repr´esentation r´eelle Vecteur de Fresnel Repr´esentation complexe Multiplication Moyennes

Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

ϕ = 3π/4

t h(t)

b b bb

2π ω π

ω

4π ω

0

hh(t)i=−Um²

√2

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Repr´esentation r´eelle Vecteur de Fresnel Repr´esentation complexe Multiplication Moyennes

Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

ϕ = π

t h(t)

bb b bb

2π ω π

ω

4π ω

0

−Um²

hh(t)i=−U_m² 2

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Repr´esentation r´eelle Vecteur de Fresnel Repr´esentation complexe Multiplication Moyennes

Moyenne d’une fonction p´eriodique Moyenne du carr´e d’une fonction sinuso¨ıdale Moyenne d’un produit

Moyenne en utilisant les complexes

f(t) =F₀cosωt etG(t) =G₀cos(ωt+ϕ) hf(t)g(t)i= 1

2F0G0cosϕ

f(t) =F0expjωt et g(t) =G0expj(ωt+ϕ) avec g^∗(t) =G0exp−j(ωt+ϕ)

hf(t)g(t)i= 1 2ℜ

f(t)g^∗(t) hf(t)g(t)i= 1

2ℜ[F0G₀exp−jϕ] = 1

2F₀G₀cosϕ