NOM :
Prénom : MATHEMATIQUES
DS 8 - Concours Blanc 2 - durée : 4 h ECE 1 18 mai 2010 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours. (sans rapport avec la suite du sujet)
1. Donner les notations pour les dérivées partielles secondes d'une fonction de deux variables.
2. Enoncer l'inégalité des accroissements nis.
Exercice I.
On considère la fonction f dénie sur R+ par f(x) = ( x2
ln(x)
si x >0
0 si x= 0 .
On donne ln(2)≈0.69, 1
√e ≈0.61 et 1
e ≈0.37 1. a. Calculer f(1).
b. Vérier que l'on peut aussi écrire f(x) =
( x2ln(x) si x≥1
−x2ln(x) si 0< x <1 . 2. a. Justier brièvement la continuité de f surR∗+.
b. Calculer lim
x→0+f(x). Que peut-on en déduire ? 3. a. Montrer que f0(x) =
( x 1 + 2 ln(x)
si x >1
−x 1 + 2 ln(x)
si 0< x <1 . b. f est-elle dérivable en0? Si oui, préciser f0(0).
c. Montrer que fg0(1) =−1 et fd0(1) = 1.
d. f est-elle dérivable en1? Justier.
e. Sur l'annexe, faire apparaître les tangentes correspondantes.
4. Etudier les variations de f.
5. f admet-elle un maximum global ? Expliquer.
6. Montrer que f admet une branche innie, et préciser de laquelle il s'agit.
7. a. Calculer f00(x), lorsque le réelx le permet.
b. Etudier le signe de f00, puis la convexité de f.
8. Tracer l'allure de Cf sur l'annexe. (on pourra placer également le point d'abscisse 2)
9. a. Justier le fait que l'équation f(x) = 1 admette exactement une solution sur R+, et la localiser.
b. Ecrire un programme Pascal permettant d'approcher la solution de l'équation f(x) = 1, avec la précision >0 rentrée par l'utilisateur.
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Exercice II.
Soit la fonctionf dénie surR par f(x) = e2x−1
e2x+ 1. On pose ∀n∈N, In= Z ln(√
3) 0
(f(x))ndx. 1. Calculer I0.
2. a. Dériver f, et en déduire son sens de variation sur R.
b. Montrer que ∀x∈[0; ln(√
3)], 0≤f(x)≤ 1 2. c. En déduire que ∀n∈N, 0≤In≤
1 2
n
ln(√ 3).
d. Montrer alors que la suite (In)n∈N converge, et déterminer sa limite.
3. a. Déterminer deux réels aetb tels que ∀u >0, u−1
u+ 1 =a+ bu u+ 1. b. En déduire la valeur deI1.
4. a. Montrer que f2+f0 est une fonction constante, et la déterminer.
b. En déduire que ∀n∈N, In−In+2= 1 (n+ 1)2n+1. 5. On pose ∀n∈N∗, Sn=
n
X
k=1
1 k2k.
a. Exprimer Sn à l'aide des intégrales précédentes, et après simplication, montrer que Sn=I0+I1−In−In+1.
b. En déduire que la série S converge, et a pour somme ln(2).
c. Trouver une variable aléatoire non bornéeY telle que E(Y) = ln(2).
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Exercice III.
On considère une suite innie de lancers d'un dé équilibré, dont les faces sont numérotées de 1à 6. On noteX le rang où apparaît pour la première fois la séquence constituée de deux6consécutifs.
Par exemple, si les premiers lancers ont donné : 2; 5; 6; 4; 3; 1; 6; 6 alors X = 8.
On note, pour n∈N∗, An={le ne lancer donne6} et Bn=An, ainsi que pn=P(X=n).
Partie A.
1. Donner l'espaceΩ sous-jacent.
2. Déterminer X(Ω).
3. Sur un lancer, quelle est la probabilité de sortie du 6?
4. Décrire par une phrase l'évènement B2, et donner sa probabilité.
Partie B.
1. Calculer p1,p2,p3 etp4.
2. Montrer que les évènements B1,A1∩B2 etA1∩A2 forment un système complet.
3. Pour n∈N∗, décomposer P(X=n+ 2), à l'aide des évènements précédents, et de la formule des probabilités totales.
4. En déduire, en expliquant précisément le raisonnement, que ∀n∈N∗, pn+2= 5
6pn+1+ 5 36pn. 5. Montrer que ∀n∈N∗, pn= 1
18√ 5
5 + 3√ 5 12
!n−1
− 5−3√ 5 12
!n−1
. Partie C.
1. a. On donne √
5≈2.2, à10−1 près. Justier la convergence de la série de terme général pn. b. Calculer
+∞
X
n=1
pn.
c. Que peut-on en déduire ?
2. a. Justier l'existence de l'espérance de X. b. CalculerE(X) (c'est un entier).
3. Calculer V(X).
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Annexe
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