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(principale : M,T, secondaires : I,C) On considère une suite de lancers d'un dé classique équilibré et à 6faces

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(1)

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Maison 9 24 mars 2015

Exercice I. (principale : M,T, secondaires : I,C)

On considère une suite de lancers d'un dé classique équilibré et à 6faces.

On noteX le nombre de lancers nécessaires jusqu'à la première obtention du numéro 5, et on pose :

∀n∈N∗, An={le ne tirage donne un 5}, et Bn=An.

1. Quel est l'ensemble des valeurs possibles pourX? On notera cet ensembleX(Ω).

2. Exprimer les évènements {X = 1},{X= 2}, puis ∀n∈N∗, {X=n} en fonction des évènements élémentaires(Ak)1≤k≤n et(Bk)1≤k≤n.

3. Montrer que ∀n∈N∗, P(X=n) = 1 6

5 6

n−1

.

4. Calculer

+∞

X

n=1

P(X=n). Que peut-on en déduire ? 5. Calculer

+∞

X

n=1

nP(X=n). Concrètement, à quoi correspond cette quantité ?

Exercice II. (principale : T) Calculer l'intégrale I =

Z −1

0

tet2dt.

Exercice III. (principale : R, secondaires : A,C)

Une fonction convexe sur un intervalleI est-elle nécessairement continue ? Et dérivable ? Trouver des exemples et/ou contre-exemples.

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