Chapitre II : Matrices et systèmes

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – Chapitre 2 Page 1

Chapitre II : Matrices et systèmes

I- Notion de matrice

Définition 1 : et désignent deux entiers naturels non nuls.

On appelle matrice de format (, ) tout tableau de nombres réels à lignes et colonnes.

Les nombres réels du tableau sont appelés coefficients de la matrice et sont notés où désigne le numéro de la ligne et celui de la colonne.

Notation générale : =

…

…

⋮ ⋮

⋱ ⋮

…

!"#

"

$

lignes

Cas particuliers :

• Lorsque = 1, on dit que est une matrice colonne.

• Lorsque = 1, on dit que est une matrice ligne.

• Lorsque = , on dit que est une matrice carrée d’ordre . Dans ce cas, les coefficients s’appellent les coefficients de la diagonale ou coefficients diagonaux.

Exemple 1 :

1) , = -−2 35 12 : on a donc = ; = ; = et = .

2) La matrice identité d’ordre est la matrice carrée d’ordre dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale qui sont égaux à 1. On la note 3.

Par exemple, 3₅ = 61 0 0 0 1 0 0 0 18.

Définition 2 : Dire que deux matrices sont égales signifie qu’elles ont le même format et que les nombres qui occupent la même position sont égaux.

Exemple 2 : On donne les matrices , et 9 suivantes : , = 6 2:

: 9

7 48 et 9 = 63 − 2 4 4 2 + 5 7 + :8

Déterminer les valeurs de et : pour que les matrices , et 9 soient égales.

Définition 3 : On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les coefficients non diagonaux sont tous nuls.

Exemple 3 : 6−1 0 0 0 0 0

0 0 78 est une matrice diagonale ; 3₅ = 61 0 0

0 1 0

0 0 18 est une matrice diagonale ;

La matrice nulle d’ordre 2, -0 00 02, est elle aussi diagonale.

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – Chapitre 2 Page 2 II- Opérations sur les matrices

1) Addition et soustraction de deux matrices

Définition 4 : Soient , et 9 deux matrices carrées de même taille (ou deux matrices colonne de même taille). La somme (respectivement la différence) des matrices , et 9, notée , + 9 (respectivement , − 9) est la matrice obtenue en additionnant (soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent la même position.

Exemple 4 : Soit , = 6 1 1 −1

−2 4 0

3 0 −18 et 9 = 6 3 −1 1

−2 1 −3 1 −1 1 8.

Alors , + 9 = 6 8 et , − 9 = 6 8

2) Multiplication d’une matrice par un nombre réel

Définition 5 : Soient , une matrice carrée (ou colonne) et ? un nombre réel. Le produit de la matrice , par le nombre réel ? est la matrice notée ?, obtenue en multipliant chaque coefficient de , par ?.

Exemple 5 : Soit , = 6 1 −1 −1

3 4 1

−1 2 −58 et 9 = 6 4 −6 10

−2 2 −2 18 −6 128.

Alors 2, = 6 8 et −9 = 6 8

3) Multiplication d’une matrice par une matrice colonne

Définition 6 : Soient , une matrice carrée de taille et 9 une matrice colonne à lignes.

, =

…

…

⋮ ⋮

⋱ ⋮

…

et 9 = : : :⋮

Le produit de la matrice , par la matrice 9 est la matrice colonne à B lignes notée ,9 dont le coefficient de la i^ème ligne est donné par : × :+ × :+ ⋯ + × :.

Exemple 6 : Soit , = 6 1 2 −2 2 3 1

−2 0 −28 et 9 = 6−2

−11 8

alors ,9 = 6 8 = 6 8

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – Chapitre 2 Page 3 4) Multiplication de deux matrices carrées

Définition 7 : Soit un entier naturel non nul et soient , et 9 deux matrices carrées de taille . Le produit de la matrice , par la matrice 9, noté ,9, est la matrice carrée de taille B dont les colonnes correspondent au produit de la matrice A par les colonnes de la matrice B.

Exemple 7 : Soit , = 6 1 1 −1

−1 0 2

−2 −1 0 8 et 9 = 65 0 1 6 1 −3 0 0 1 8.

E F

6 8 6 8

Alors ,9 = 6 8

5) Propriétés du calcul matriciel

Soient A, B et C trois matrices carrées de même taille.

Soient ? et ?’ deux réels.

a) Addition de matrices Propriété 1 :

Commutativité : , + 9 = 9 + ,

Associativité : (, + 9) + G = , + (9 + G) = , + 9 + G b) Multiplication d’une matrice par un nombre réel Propriété 2 :

(? + ?′), = ?, + ?′,

?(, + 9) = ?, + ?9 H??^′I, = ?(?^′,)

(?,)9 = ?(,9) = ,(?9)

c) Multiplication de matrices Propriété 3 :

Associativité : (, × 9) × G = , × (9 × G) = , × 9 × G = ,9G

Distributivité : , × (9 + G) = , × 9 + , × G et (, + 9) × G = , × G + 9 × G

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – Chapitre 2 Page 4



Exemple 8 : , = -1 00 02 et 9 = -0 01 02

, × 9 = et 9 × , =

Remarque : Dans le cas particulier où , × 9 = 9 × , on dit que les matrices , et 9 commutent.

d) Propriétés de la matrice identité

Propriété 4 :

Pour toute matrice carrée A d’ordre , on a : , × 3 = 3× , = ,

6) Puissances des matrices carrées

Définition 8 : Soit , une matrice carrée d’ordre n et p un entier naturel non nul.

On note : ,²= , × , ,⁵ = , × , × ,

et plus généralement , = , × , × … × ,

JK

Par convention : Pour toute matrice carrée de taille , on a ,^L = 3.

Exemple 9 : On considère les matrices , et 9 suivantes : , = -2 10 −12 et 9 = -3 −22 3 2. 1) a) Calculer ,, ,9 et 9.

b) En déduire ,+ 2,9 + 9. 2) a) Calculer , + 9.

b) En déduire (, + 9).

3) Obtient-on le même résultat aux questions 1.b) et 2.b) ? Comment l’expliquer ?

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – Chapitre 2 Page 5 III- Matrice inverse d’une matrice carrée

Définition 9 : Soit , une matrice carrée de taille .

On dit que , est inversible si et seulement s’il existe une matrice carrée 9 de taille telle que : , × 9 = 9 × , = 3.

La matrice 9 ainsi définie est unique.

On dit alors que la matrice 9 est la matrice inverse de , et on note : 9 = ,^M. Remarques :

1) Il suffit en fait de montrer que , × 9 = 3 ou 9 × , = 3 pour prouver que , est inversible de matrice inverse 9 (résultat admis).

2) Si l’une des conditions précédentes est vérifiée, on dit que , et 9 sont inversibles et inverses l’une de l’autre.

3) Tout nombre non nul admet un inverse noté ^M mais toute matrice non nulle n’admet pas forcément une matrice inverse…

Exemple 10 :

1) 3× 3 = 3 : donc 3 est inversible et égale à son inverse.

2) Pour , = -1 11 22 et 9 = - 2 −1−1 1 2 : , × 9 = -1 11 22 - 2 −1

−1 1 2 = -2 − 1 −1 + 1

2 − 2 −1 + 22 = -1 0

0 12 = 3donc , est inversible et 9 = ,^M.

De même 9 est inversible et , = 9^M.

Remarques : Certains calculs matriciels permettent de déterminer l’inverse d’une matrice, en voici quelques illustrations dans l’exemple suivant :

Exemple 11 :

1) Soit les matrices , = -1 32 52 et 9 = -10 −6−4 2 2

Calculer le produit matriciel ,9. Que peut-on en déduire pour , et 9 ?

2) Soit la matrice = 6 0 1 −1

−3 4 −3

−1 1 0 8. a) Calculer puis − 3 + 3₅.

b) Isoler la matrice 3₅ dans l’égalité précédente puis factoriser par . c) En déduire que est inversible et déterminer son inverse.

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – Chapitre 2 Page 6 IV – Déterminant d’une matrice carrée

Définition 10 : Toute matrice carrée , admet un déterminant noté det(,) ou plus simplement |,|. Son calcul est assez complexe pour les matrices carrées de taille supérieur à 3.

Cas particuliers :

Si = - :S T2, alors det() = U :S TU = T − :S. Si = 6 : S

T V W

X h 8, alors det() = Y : S T V W

X h Y = UV Wℎ U − : [T W

X [ + S [T V X ℎ[

Remarques :

a) Y : S T V W

X h Y = Y : S T V W

X h Y − : Y : S T V W

X h Y + S Y : S T V W X h Y

= UV Wℎ U − : [T W

X [ + S [T V X ℎ[

b) Il existe une autre formule pour calculer un déterminant d’autre 3, la règle de Sarrus : Pour calculer Y : S

T V W

X h Y, on écrit les coefficients sous cette forme :

\\

T V W : S X h T V W : S

\\

On effectue alors la somme des produits « descendants » moins la somme des produits « montants » : Y : S

T V W

X h Y = (V + TℎS + X:W) − (XVS + ℎW + T:) Exemple 12 :

Calculer les déterminants des matrices suivantes : -1 32 52, -10 −6−4 2 2, -1 00 02, -1 11 22, -1 12 22

61 1 5 0 2 4

0 0 38 , 60 1 0 3 4 3

1 1 08 , 6 0 1 −1

−3 4 −3

−1 1 0 8 , 61 1 2 3 4 1

2 1 08 , 61 1 0 5 4 1 2 1 18

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – Chapitre 2 Page 7 Propriété 5 :

Une matrice carrée , est inversible si et seulement si det(,) ≠ 0. Exemple 13 :

U1 20 1U = 1 × 1 − 0 × 2 = 1 ≠ 0 donc la matrice = -1 20 12 est inversible.

Pour déterminer son inverse, on cherche une matrice - :S T2 telle que -1 20 12 - :

S T2 = -1 0 0 12 -1 20 12 - :

S T2 = -1 0

0 12 se traduit par - + 2S : + 2TS T 2 = -1 0 0 12 On obtient ainsi : ^

+ 2S = 1 : + 2T = 0

S = 0 T = 1

et donc, après simplifications ^

: = −2 = 1 S = 0 T = 1

Ainsi, l’inverse de est la matrice ^M= -1 −20 1 2

Propriété 6 : Cas particulier des matrices carrées d’ordre 2 Soit = - :S T2

1) Si det() = T − :S ≠ 0, alors est inversible et ^M= _{_`Mab} - T −:−S 2. 2) Si det() = T − :S = 0, alors n’est pas inversible.

Remarques :

i) C’est un cas particulier de la propriété 5

ii) La formule pour les matrices carrées d’ordre 3 est bien plus complexe et n’est pas précisée ici.

Exemple 14 :

En cas d’existence, déterminer les inverses des matrices suivantes : -1 32 52, -10 −6−4 2 2, -1 00 02, -1 11 22, -1 12 22

Propriété 7 : Soient ,, , c des matrices carrées de taille et d la matrice nulle de taille . On suppose de plus que e est inversible :

1) Si , × = d, alors = d 2) Si , × = , × c, alors = c 3) Si , × = c, alors = ,^M× c Exemple 15 :

Résoudre l’équation : -1 32 52 -f

g2 = -2 32

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – Chapitre 2 Page 8 V- Application aux systèmes linéaires

Exemple 16 :

On considère le système (S) suivant : h2f − 3g = 15f − 7g = 3 On pose , = -2 −35 −72, i = -f

g2 et j = -132 La matrice colonne ,i est égale à : k2f − 3g5f − 7gl

Le système (S) est donc équivalent à l’égalité matricielle : ,i = j Propriété 8 : Soit ,i = j l’écriture matricielle d’un système linéaire.

Si la matrice carrée , est inversible, alors le système admet une unique solution égale à la matrice colonne ,^M× j.

Exemple 17 :

Résolution du système (S) h2f − 3g = 15f − 7g = 3 : h2f − 3g = 15f − 7g = 3 ⇔ -2 −3

5 −72 -f

g2 = -1

32 ⇔ ,i = j ⇔ i = ,^Mj ⇔ -f

g2 = -−7 3

−5 22 -1

32 = -212 Propriété 9 : Méthode de Cramer sur les déterminants

1) Le système - 2 -f

g2 = -

:2 a pour solutions : f = U: U

U

U , g = U :U U U 2) Le système 6 ₅

₅

_{5 5 55}8 nf

gop = n

:Sp a pour solutions :

f =

Y ₅

: ₅ S _{5 55}Y Y ₅

₅

_{5 5 55}Y

, g =

Y ₅

: _{5 5} S ₅₅Y Y ₅

₅

_{5 5 55}Y , o =

Y

:

_{5 5} SY Y ₅

₅

_{5 5 55}Y

Remarque : Le déterminant du numérateur correspond au déterminant de la matrice du système dans lequel on a remplacé la colonne associée à l’inconnue par le second membre du système.

Exemple 18 : Résoudre les systèmes suivants à l’aide de la méthode de Cramer : (q) h f − 2g = 34f + 3g = 1 (q) r f − g + 3o = 6

−2f + g + o = −4 3f + g + 2o = 7