TS spé Découverte des matrices 1/4
A LA DECOUVERTE DES MATRICES.
SYNTHESE DE COURS.
Dans tout le chapitre, n, p, q désignent des entiers naturels.
I. Définitions.
Une matrice carrée d ordre n (ou de taille n) A est un tableau de nombres réels à n lignes et n colonnes. Ces nombres sont les coefficients de la matrice A.
Le coefficient de la figne i et de la colonne j est noté aij
On note la matrice : A =
a11 aa12 … a1n
a21 a22 … a2n
… … ... … an1 an2 … an n
.
On peut généraliser cette définition à des matrices non carrées : Une matrice de format (n,p) est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes.
On retiendra les cas particuliers :
On appelle vecteur colonne ou matrice colonne une matrice à 1 colonne.
On appelle vecteur ligne ou matrice ligne une matrice à 1 ligne.
II. Opérations sur les matrices.
1. Transposée d une matrice.
On appelle matrice transposée d une matrice A de format (n,p) la matrice de format (p,n) obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A. Cette matrice est notée tA.
2. Addition de deux matrices de même format.
On appelle somme de deux matrices A et B de même format la matrice obtenue en additionnant les coefficients qui ont la même position dans les matrices A et B. On note A + B cette matrice.
Si A, B et C sont trois matrices de même format, on a : A + B = B + A (commutativité de l addition)
(A + B) + C = A + (B +C) (associativité de l addition)
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3. Produit d une matrice par un réel.
On appelle produit d une matrice A par un réel k la matrice obtenue en multipliant tous les coefficients de A par k. On note kA cette matrice.
Si A et B sont des matrices de même format et k et k deux réels, on a : (k + k )A = kA + k A. (distributivité)
k(A + B) = kA + kB (kk )A = k(k A)
4. Produit d une matrice par un vecteur colonne.
Soit A une matrice carrée d ordre n et B un vecteur colonne à n lignes.
Le produit de la matrice A par le vecteur B est le vecteur colonne A B dont le coefficient de la ligne i est la somme des coefficients de la ligne i de A par les coefficients de B :
a11 aa12 … a1n
a21 a22 … a2n
… … ... … an1 an2 … an n
b1
b2
… bn
=
a11b1 a12b2 … a1nbn
a21b1 a22b2 … a2nbn
…
an1b1 an2b2 … an nbn
Remarque : on peut multiplier une matrice de format (n,p) par un vecteur colonne à p lignes.
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5. Multiplication de deux matrices.
Soient A et B deux matrices carrées d ordre n. Le produit de la matrice A par la matrice B est la matrice carrée d ordre n, notée A B ou AB, dont les colonnes correspondent au produit de la matrice A par chaque colonne de la matrice B.
Remarque : on peut de même multiplier une matrice de format (n,p) par une matrice de format (p,q).
Si A, B et C sont trois matrices dont les formats permettent les calculs indiqués, on a : (A B) C = A (B C) = A B C
(A B) C = A C + B C A (B + C) = A B + A C (kA) B = A (kB)
6. Puissances d’une matrice.
Si A est une matrice carrée, on note An la matrice égale au produit de n facteurs égaux à A.
III. Utilisation de la calculatrice.
TI
Se placer en mode matrice : 2nde x-1 (matrice)
Pour entrer une matrice : Choisir le menu EDIT : et sélectionner l option souhaitée (par exemple 1 pour la matrice A) puis entrer.
Définir le format en entrant d abord le nombre de lignes puis le nombre de colonnes.
Entrer les valeurs des lignes les unes après les autres en appuyant sur entrer après chaque nombre.
Pour afficher une matrice : 2nde x-1 puis choisir la matrice (par exemple 1 pour la matrice A) puis entrer.
Pour effectuer des opérations sur les matrices : procéder comme avec des nombres en les remplaçant par des matrices (par exemple : 2nde x-1 1 2nde x-1 2 entrer pour calculer A B ou 2nde x-1 1 ^ 3 pour calculer A3).
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CASIO
Se placer en mode matrice : menu RUN-MAT (le même que pour les calculs avec les nombres) Pour entrer une matrice : activer l option MAT :F3
Définir le format (sélectionner F3 (DIM) puis entrer d abord le nombre de lignes puis le nombre de colonnes.
Entrer les valeurs des lignes les unes après les autres en appuyant sur EXE après chaque nombre.
Pour afficher une matrice :OPTN F2 F1 (Mat) puis choisir la matrice (par exemple ALPHA X, ,T pour la matrice A) puis EXE.
Pour effectuer des opérations sur les matrices : procéder comme avec des nombres en les remplaçant par des matrices (par exemple : OPTN F2 F1 ALPHA X, ,T OPTN F2 F1 ALPHA log EXE pour calculer A B ou OPTN F2 F1 ALPHA X, ,T ^ 3 pour calculer A3).
