MultiplicationdesmatricesInversed’unematriceSystèmeslinéairesApplicationslinéairesChangementdebases Matrices n × p MatricesDéﬁnitionsEspacevectorieldesmatrices

(1)

Matrices

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Matrices

1

Matrices

Définitions

Espace vectoriel des matrices n × p Multiplication des matrices

Inverse d’une matrice

Systèmes linéaires

Applications linéaires

Changement de bases

(2)

(3)

Soit n , p ∈ N

^∗

.

On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients réels (ou complexes),

np nombres réels (ou complexes) rangés dans un tableau à n lignes et p colonnes.

1 0 p 2 i π −3







e −6

⁷₂

p 3

−1

p2

2

0 −8

sin

¹⁵₈^π

0 0 18 1 250 e

¹⁹

−2 0







Matrices Définitions

Si n = 1 : ( 1 p

2 34 π ) matrice ligne Si p = 1 :





 e

−1

_p

2 2





 matrice colonne

Notation : M

n,p

( R ⁾

Ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients

réels

(4)

(5)

Si M ∈ M

_n,p

( R ⁾ ^, l’élément situé à l’intersection de la i -ième ligne et de la j -ième colonne, est noté : a

_ij

.







a

11

a

12

· · · a

1j

· · · a

1p

a

21

a

22

· · · a

2j

· · · a

2p

.. . .. . .. . .. . .. . .. . a

_i

1

a

_i

2

· · · a

_ij

· · · a

_ip

.. . .. . .. . .. . .. . .. . a

_n

1

a

_n

2

· · · a

_nj

· · · a

_np







= a

_ij

_1≤_i_≤_n

1≤j≤p

Matrices Définitions

Matrice diagonale

Si M est une matrice carrée ( n = p ),

les coefficients a

_ii

, 1 ≤ i ≤ n, s’appellent les coefficients diagonaux de la matrice.

Une matrice carrée telle que a

_ij

= 0, si i 6 = j , s’appelle une matrice diagonale







1 0 0 0

0 π 0 0

0 0

¹₂

0 0 0 0 0







(6)

(7)

Soit M une matrice carrée.

Si a

_ij

= 0 pour i > j , on dit que M est triangulaire supérieure







π 1 −2

0 0 0

0 0

¹₂







Si a

_ij

= 0 pour i < j , on dit que M est triangulaire inférieure −2 0

1 3

Matrices Espace vectoriel des matricesn×p

Somme des matrices

Soit M et M

⁰

deux matrices de M

_n,p

( R ⁾ : M = a

_ij

_1≤_i_≤_n

1≤j≤p

et M

⁰

= b

_ij

_1≤_i_≤_n

1≤j≤p

On définit la somme des matrices M et M

⁰

comme la matrice : M + M

⁰

= a

_ij

+ b

_ij

_1≤_i_≤_n

1≤j≤p







3 −1

2 5

0 π





 +







4 0 1 2

−1 1





 =







7 −1

3 7

−1 π + 1







(8)

(9)

Soient α ∈ R et M une matrice de M

n,p

( R ⁾ : M = a

_ij

_1≤_i_≤_n

1≤j≤p

On définit la matrice α.M comme la matrice : α.M = α. a

_ij

_1≤_i_≤_n

1≤j≤p

= αa

_ij

_1≤_i_≤_n

1≤j≤p

( −2 ) .







1 2 0

−1 3 7 0 4 −5





 =







−2 −4 0 2 −6 −14

0 −8 10







Matrices Espace vectoriel des matricesn×p

Théorème : Avec l’addition et la multiplication externe,

l’ensemble M

_n,p

des matrices à n lignes et p colonnes est un espace vectoriel de dimension np .

Le vecteur 0 de cet espace vectoriel est la matrice dont tous ~

les coefficient sont nuls.

(10)

(11)

Soit M ∈ M

n,p

( R ⁾ et M

⁰

∈ M

p,q

( R ⁾ deux matrices : M = a

_ij

_1≤_i_≤_n

1≤j≤p

et M

⁰

= b

_ij

_1≤_i_≤_p

1≤j≤q

On définit la matrice produit de M et M

⁰

, comme la matrice : MM

⁰

= c

_ij

_1≤_i_≤_n

1≤j≤q

où :

c

_ij

=

p

X

k=1

a

_ik

b

_kj

Matrices Multiplication des matrices

Produit de 2 matrices

Exemple

Soient : M =

1 −1 0 3

2 0 1 5

et M

⁰

=







3 1 1 2 0 1 0 0







MM

⁰

=

2 −1

6 3

Attention : Le produit de deux matrices M et M

⁰

n’existe que

si le nombre de colonnes de M est égal au nombre de lignes

de M

⁰

.

(12)

(13)

Une matrice est carrée si n = p :

le produit de 2 matrices carrées est toujours possible.

Attention : Le produit des matrices n’est pas commutatif, en général :

Si M

1

, M

2

∈ M

n

, M

1

M

2

6 = M

2

M

1







1 3 2 0 2 1 3 0 1













5 0 1

2 −2 0

1 0 0





=







13 −6 1 3 −4 0 16 0 3







6

=







8 15 11

2 2 6

1 3 2





=







5 0 1

2 −2 0

1 0 0













1 3 2 0 2 1 3 0 1







Matrices Multiplication des matrices

Cas des matrices carrées

Règles de calcul pour la multiplication

Si M

1

, M

2

, N

1

, N

2

∈ M

n

( M

1

+ M

2

)( N

1

+ N

2

) = M

1

N

1

+ M

1

N

2

+ M

2

N

1

+ M

2

N

2

( M

1

+ M

2

)

²

= M

²

1

+ M

1

M

2

+ M

2

M

1

+ M

²

2

D’une manière générale, la formule du binôme ne s’applique

pas aux matrices

(14)

(15)

Dans M

n

on appelle matrice identité, la matrice diagonale dont tous les éléments diagonaux sont égaux à 1.

Notation : I

_n

I

2

=

1 0 0 1

I

3

=







1 0 0 0 1 0 0 0 1





 etc.

Une matrice M ∈ M

_n

est inversible,

s’il existe une matrice N ∈ M

_n

telle que :

MN = NM = I

_n

Notation : N = M

⁻¹

Matrices Inverse d’une matrice

Matrices inversibles

Proposition : Si une matrice M ∈ M

n

est inversible : 1. Son inverse M

⁻¹

est unique.

2. M

⁻¹

= M

3. Si N ∈ M

_n

est inversible : MN )

⁻¹

= N

⁻¹

M

⁻¹

(16)

(17)

Règles élémentaires

Pour calculer l’inverse d’une matrice, on peut :

É

Permuter des lignes

É

Multiplier une ligne par un nombre non nul

É

Ajouter à une ligne une combinaison linéaire des autres

É

Ces opérations peuvent également se faire sur les colonnes

On appelle ces règles : règles élémentaires

Matrices Inverse d’une matrice

Matrices inversibles

Calcul de l’inverse

Soit à calculer l’inverse de la matrice :







1 −5 0

2 1 1

6 2 4







On écrit :







1 −5 0 1 0 0

2 1 1 0 1 0

6 2 4 0 0 1







Règle du jeu : Transformer la matrice de gauche en la matrice de droite, en n’appliquant que des règles

élémentaires.

(18)

(19)

Calcul de l’inverse







1 −5 0

2 1 1

6 2 4







−1

=







1 6

5

3

−

₁₂⁵

−

¹₆ ¹₃

−

₁₂¹

−

¹₆

−

⁸₃ ¹¹₁₂







=

¹

12







2 20 −5

−2 4 −1

−2 −32 11







Matrices Systèmes linéaires

On appelle système linéaires de n équations à p inconnues, un système du type :



 

 

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ · · · + a

1p

x

_p

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ · · · + a

2p

x

_p

= b ..

2

. .. .

a

_n

1

x

1

+ a

_n

1

x

2

+ · · · + a

_np

x

_p

= b

_n

La matrice A = aij

_1≤_i_≤_n

1≤j≤p

s’appelle la matrice du système.

Le n -uplet ( b

1

, b

2

, · · · , b

_n

) est le second membre du système.

(20)

(21)

On pose : X =





 x

1

x

2

.. . x

_p







et B =





 b

1

b

2

.. . b

_n







Le système :



 

 

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ · · · + a

1p

x

_p

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ · · · + a

2p

x

_p

= b ..

2

. .. .

a

_n

1

x

1

+ a

_n

1

x

2

+ · · · + a

_np

x

_p

= b

_n

S’écrit : A.X = B

Matrices Systèmes linéaires

Résolution d’un système linéaire : cas d’une matrice carrée

Si la matrice A du système est inversible, le système a alors une seule solution :

A.X = B ⇔ X = A

⁻¹

.B

(22)

(23)

matrice carrée

Exemple

Soit à résoudre le système :







x − y + 2 z = 5 3 x + 2 y + z = 10 2 x − 3 y − 2 z = −10 Écriture matricielle :







1 −1 2

3 2 1

2 −3 −2











 x y z





 =







5 10

−10







La solution est : ( x , y , z ) = ( 1 , 2 , 3 )

Matrices Applications linéaires

Application linéaire

Soit

É

E un espace vectoriel de dimension p et B

E

= { a ~

1

, a ~

2

, · · · , a ~

_p

} un base de E .

É

F un espace vectoriel de dimension n et B

F

= { b ~

1

, b ~

2

, · · · , b ~

_n

} un base de F .

É

x ~ ∈ E : x ~ =

p

X

i=1

x

_i

. a ~

_i

Une application f : E 7−→ F est dite linéaire si :

∀~ x ∈ E, f ( x ~ ) =

p

X

i=1

x

_i

.f ( a ~

_i

)

(24)

(25)

Exemple

Soit E = F = R

³

, B = { e ~

1

, e ~

2

, e ~

3

} la base canonique et f : R

³

7−→ R

³

, l’application :

f : R

³

7−→ R

³

( x , y , z ) 7−→ ( x + y , y + z , x − 2 z ) f est linéaire.

f(e~

1) =f(1,0,0) = (1,0,1) =e~

1+e~

3

f(e~

2) =f(0,1,0) = (1,1,0) =e~

1+e~

2

f(e~

3) =f(0,0,1) = (0,1,−2) =e~

2−2.e~

3

Soit : u~ = (x,y,z), f(u~) = (x+y).e~

1+ (y+z).e~

2+ (x−2z).e~

3

=x.(e~

1+e~

3) +y.(e~

1+e~

2) +z.(e~

2−2.e~

3)

Proposition : Si f : E 7−→ F est une application linéaire, 1. ∀~ x , y ~ ∈ E, f ( x ~ + y ~ ) = f ( x ~ ) + f ( y ~ )

2. ∀~ x ∈ E, ∀ α ∈ R ^, ^f ⁽ ^α. x ~ ) = α.f ( x ~ )

(26)

(27)

Soit

É

E un espace vectoriel de dimension p et B

E

= { a ~

1

, a ~

2

, · · · , a ~

_p

} une base de E .

É

F un espace vectoriel de dimension n et B

_F

= { b ~

1

, b ~

2

, · · · , b ~

_n

} une base de F .

É

f : E 7−→ F une application linéaire.

∀~ x ∈ E, f ( x ~ ) =

p

X

j=1

x

_j

.f ( a ~

_j

)

∀ j, ( 1 ≤ j ≤ p ) , f ( a ~

_j

) ∈ F ⇒ ∃ α

_ij

, ( 1 ≤ i ≤ n ) : f ( a ~

_j

) =

n

X

i=1

α

_ij

b ~

_i

Matrice d’une application linéaire

La matrice : α

_ij

_1≤_i_≤_n

1≤j≤p

s’appelle la matrice de l’application linéaire f .

Important : Les nombres α

_ij

dépendent :

É

de l’application linéaire f .

É

des bases choisies dans les espaces vectoriels E et F .

(28)

(29)

Calcul

Soit :

f : E 7−→ F est une application linéaire, B

E

= { a ~

1

, a ~

2

, · · · , a ~

_p

} une base de E et B

_F

= { b ~

1

, b ~

2

, · · · , b ~

_n

} une base de F .

M

₍_f_,_B

E,B_F)

=

f ( a ~

1

) f ( a ~

2

) · · · f ( a ~

_p

)

↓ ↓ ↓







α

11

α

12

· · · α

1p

α

21

α

22

· · · α

2p

.. . .. . .. . α

_n

1

α

_n

2

· · · α

_np







~ b

1

~ b

2

.. .

~ b

_n

Matrice d’une application linéaire

Soit E = F = R

³

, B = { e ~

1

, e ~

2

, e ~

3

} la base canonique et f : R

³

7−→ R

³

, l’application :

f : R

³

7−→ R

³

( x , y , z ) 7−→ ( x + y , y + z , x − 2 z )

f(e~

1) =f(1,0,0) = (1,0,1) =e~

1+e~ f(e~ 3

2) =f(0,1,0) = (1,1,0) =e~

1+e~

2

f(e~

3) =f(0,0,1) = (0,1,−2) =e~

2−2.e~

3

f(e~

1)f(e~

2)f(e~

3)

↓ ↓ ↓







1 1 0

0 1 1

1 0 −2







~ e1

~ e2

~ e3

(30)

(31)

Soit E, F, G trois espaces vectoriels de bases respectives B

_E

, B

_F

, B

_G

et f : E 7−→ F et g : F 7−→ G deux applications linéaires.

Théorème : M

₍_g

◦f,B_E,B_G)

= M

₍_g,_B

F,B_G)

M

₍_f_,_B

E,B_F)

Matrices Changement de bases

Dans R

²

, base canonique : B = {~ e

1

, e ~

2

} et x ~ = 2~ e

1

+ 3~ e

2

B

⁰

= { u ~

1

, u ~

2

} avec u ~

1

= 2~ e

1

+ e ~

2

, u ~

2

= 3 e ~

1

+ 2~ e

2

~ x = α

1

u ~

1

+ α

2

u ~

2

= α

1

( 2~ e

1

+ e ~

2

) + α

2

( 3~ e

1

+ 2~ e

2

)

= ( 2 α

1

+ 3 α

2

) e ~

1

+ ( α

1

+ 2 α

2

) e ~

2

2 α

1

+ 3 α

2

= 2

α

1

+ 2 α

2

= 3 ⇔

2 3 1 2

α

1

α

2

= 2

3 Soit E un espace vectoriel, B et B

⁰

deux bases de E

Si un vecteur x ~ ∈ E s’écrit comme le vecteur colonne X dans B et le vecteur colonne X

⁰

dans B

⁰

il existe une matrice P telle que :

X = PX

⁰

(32)

(33)

Soit E un espace vectoriel muni d’une base B = ( a ~

1

, a ~

2

, · · · , a ~

_n

) .

Soit une nouvelle base de E : B

⁰

= ( a ~

⁰

1

, a ~

⁰

2

, · · · , a ~

⁰_n

)

On appelle matrice de changement de base, de la base B à la base B

⁰

, la matrice de l’identité :

Id : ( E, B

⁰

) 7−→ ( E, B)

~ a⁰

1 a~⁰

2 · · · a~⁰_n

↓ ↓ ↓







α11 α

12 · · · α

1p

α21 α

22 · · · α

2p

... ... ...

α_n

1 α_n

2 · · · α_np







~ a1

~ a2

...

~ a_n

Matrice de passage

Exemple 1

Soit E = R

₃

^[ ^X ^] , l’espace vectoriel des polynômes de degré au plus 3 et B = {1 , X , X

²

, X

³

} sa base canonique.

Soit : P

0

= 1 − X, P

1

= 1 + X, P

2

= X

²

− X

³

, P

3

= X

²

+ 2 X

³

Exercice : B

⁰

= { P

0

, P

1

, P

2

, P

3

} est une base de E . La matrice de passage de B à B

⁰

est :







1 1 0 0

−1 1 0 0

0 0 1 1

0 0 −1 2







(34)

(35)

Remarque : Si on conserve la même base, la matrice de passage est la matrice identité.

Soit E un espace vectoriel muni d’une base B = ( a ~

1

, a ~

2

, · · · , a ~

_n

) et B

⁰

= ( a ~

⁰

1

, a ~

⁰

2

, · · · , a ~

_n⁰

) une nouvelle base de E Soit P

1

la matrice de passage de la base B à la base B

⁰

et P

2

la matrice de passage de la base B

⁰

à la base B .

É

P

1

est la matrice de l’application Id : ( E, B

⁰

) 7−→ ( E, B)

É

P

2

est la matrice de l’application Id : ( E, B) 7−→ ( E, B

⁰

) Donc P

1

P

2

est la matrice de Id : ( E, B) 7−→ ( E, B) P

1

P

2

= I

_n

Matrice de passage

Théorème : Si B = ( a ~

1

, a ~

2

, · · · , a ~

_n

) et B

⁰

= ( a ~

⁰

1

, a ~

⁰

2

, · · · , a ~

⁰_n

) sont deux bases d’un espace vectoriel E de dimension n ,

É

La matrice P , ayant pour colonne i les coordonnées du vecteur a ~

⁰_i

sur la base {~ a

_j

}

(1≤j≤n)

est inversible.

É

P = M

(id,B⁰,B)

P

⁻¹

= M

(id,B,B⁰)

É

Si X est la matrice colonne des coordonnées dans la base B d’un vecteur x ~ ∈ E et X

⁰

est la matrice colonne des

coordonnées dans la base B

⁰

du même vecteur x ~ :

X = PX

⁰

et X

⁰

= P

⁻¹

X

(36)

(37)

Exemple 2

Soit l’espace vectoriel R

³

rapporté à sa base canonique { e ~

1

, e ~

2

, e ~

3

}.

Soit les trois vecteurs :

~ e

⁰

1

= ( 2 , −1 , 1 ) e ~

⁰

2

= ( 1 , 2 , −1 ) e ~

⁰

3

= ( 1 , 1 , −3 ) . Exercice 1 : B

⁰

= { e ~

⁰

1

, e ~

⁰

2

, e ~

⁰

3

} forment une base de R

³

Exercice 2 : Trouver les coordonnées du vecteur u ~ = ( 2 , 3 , 4 ) dans la base : { e ~

⁰

1

, e ~

⁰

2

, e ~

⁰

3

}

La matrice de passage de la base canonique à la base B

⁰

est :

P =







2 1 1

−1 2 1 1 −1 −3







Matrice de passage

Exemple 2

Exercice 3 : L’inverse de la matrice P est :

P

⁻¹

= 1 13







5 −2 1

2 7 3

1 −3 −5







~

u = ( 2 , 3 , 4 ) .

Soit ( x

⁰

, y

⁰

, z

⁰

) les coordonnées de u ~ dans la base B

⁰

,





 x⁰ y⁰ z⁰







=P⁻¹





 2 3 4





= 1 13







5 −2 1

2 7 3

1 −3 −5











 2 3 4





= 1 13





 8 37

−27







(38)

(39)

Effet sur une matrice

Soit E un espace vectoriel de dimension n , muni d’une base B = ( a ~

1

, a ~

2

, · · · , a ~

_n

) et B

⁰

= ( a ~

⁰

1

, a ~

⁰

2

, · · · , a ~

⁰_n

) une nouvelle base de E

Soit M la matrice d’une application linéaire f de E dans E dans la base B

Proposition : Si P est la matrice de passage de la base B à la base B

⁰

, la matrice :

M

⁰

= P

⁻¹

MP

est la matrice de l’application f dans la base B

⁰

.

Rang d’une matrice

On appelle rang d’une matrice M :

É

Le rang du système de vecteurs colonnes de M .

É

Le rang du système de vecteurs lignes M .

Pour calculer le rang d’une matrice, on applique les règles élémentaires au système de vecteurs colonnes (ou lignes).

Une matrice carrée de dimension n est de rang n si et

seulement si elle est inversible.

(40)

(41)

Calcul de déterminants

1

Déterminants Définition

Propriétés des déterminants

Déterminant d’une matrice carrée

Calcul des déterminants

(42)

(43)

Soit : E espace vectoriel de dimension 2 et B = ( e ~

1

, e ~

2

) une base de E .

~ u = x

1

e ~

1

+ y

1

e ~

2

et v ~ = x

2

e ~

1

+ y

2

e ~

2

deux vecteurs de E .

On appelle déterminant de ( u, ~ v ~ ) dans la base B le nombre réel :

Det

B

( u, ~ v ~ ) =

x

1

x

2

y

1

y

2

= x

1

y

2

− y

1

x

2

Calcul de déterminants Définition

Proposition : Le déterminant vérifie les assertions suivantes :

1. Pour tout vecteur u ~ = x

1

e ~

1

+ y

1

e ~

2

de E , Det

B

( u, ~ u ~ ) = 0

x

1

x

1

y

1

y

1

= x

1

y

1

− y

1

x

1

= 0

(44)

(45)

2. Pour tous vecteurs u ~ = x

1

e ~

1

+ y

1

e ~

2

, v ~ = x

2

e ~

1

+ y

2

e ~

2

de E , Det

B

( u, ~ v ~ ) = −Det

B

( v, ~ u ~ )

x

2

x

1

y

2

y

1

= x

2

y

1

− y

2

x

1

= −

x

1

x

2

y

1

y

2

3. Soient :

~ u = x

1

e ~

1

+ y

1

e ~

2

, v ~ = x

2

e ~

1

+ y

2

e ~

2

et w ~ = x

3

e ~

1

+ y

3

e ~

2

∈ E , α et β ∈ R :

Det

B

( u, α ~ v ~ + β w ~ ) = α Det

B

( u, ~ v ~ ) + β Det

B

( u, ~ w ~ ) , Det

B

( α u ~ + β v, ~ w ~ ) = α Det

B

( u, ~ w ~ ) + β Det

B

( v, ~ w ~ );

x

1

αx

2

+ βx

3

y

1

αy

2

+ βy

3

= x

1

( αy

2

+ βy

3

) − y

1

( αx

2

+ βx

3

)

= α ( x

1

y

2

− y

1

x

2

) + β ( x

1

y

3

− y

1

x

3

)

= α

x

1

x

2

y

1

y

2

+ β

x

1

x

3

y

1

y

3

(46)

(47)

4. Si B

⁰

= ( e ~

⁰

1

, e ~

⁰

2

) est une autre base de E , alors : Det

B

( u, ~ v ~ ) = Det

_B⁰

( u, ~ v ~ ) Det

B

( e ~

⁰

1

, e ~

⁰

2

)

~

u = x

⁰

1

e ~

⁰

1

+ y

⁰

1

e ~

⁰

2

et v ~ = x

⁰

2

e ~

⁰

1

+ y

⁰

2

e ~

⁰

2 DetB(u,~ v~) = DetB(x⁰

1e~⁰

1+y⁰

1e~⁰

2,x⁰

2e~⁰

1+y⁰

2e~⁰

2)

= x⁰

1DetB(e~⁰

1,x⁰

2e~⁰

1+y⁰

2e~⁰

2) +y⁰

1DetB(e~⁰

2,x⁰

2e~⁰

1+y⁰

2e~⁰

2)

= x⁰

1y⁰

2DetB(e~⁰

1,e~⁰

2) +y⁰

1x⁰

2DetB(e~⁰

2,e~⁰

1)

= Det_B⁰(u,~ v~)DetB(e~⁰

1,e~⁰

2)

Corollaire : Si B = {~ e

1

, e ~

2

} est une base de E : deux vecteurs, u ~ et v ~ sont colinéaires si, et seulement si :

Det

B

( u, ~ v ~ ) = 0

(48)

(49)

Soit B = { e ~

1

, e ~

2

, e ~

3

} une base de l’espace vectoriel E . Soient u ~

1

, u ~

2

et u ~

3

des vecteurs de E . Pour i ∈ {1 , 2 , 3}, on note ( x

_i

, y

_i

, z

_i

) des coordonnées de u ~

_i

dans la base B .

On appelle déterminant de ( u ~

1

, u ~

2

, u ~

3

) dans la base B le nombre réel :

DetB(u~

1,u~

2,u~

3) =

x1 x

2 x

3

y1 y

2 y

3

z1 z

2 z

3

= x

1y

2z

3+x

2y

3z

1+x

3y

1z

2−z

1y

2x

3−z

2y

3x

1−z

3y

1x

2

= x

1

y2 y z 3

2 z

3

−y

1

x2 x z 3

2 z

3

+z

1

x2 x y 3

2 y

3

Proposition : Une base étant choisie dans E , de dimension 3, le déterminant de trois vecteurs de E vérifie :

1. Soient u~ et v~ des vecteurs de E.

DetB(u,~ u,~ v~) =DetB(u,~ ~v,u~) =DetB(u,~ v,~ v~) =0

2. Soient u~, v~ et w~ des vecteurs de E.

DetB(u,~ ~v,w~) =−DetB(v,~ u,~ w~) =DetB(v,~ w,~ u~)

3. Soient u~, v~, w~ etx~ des vecteurs de E, α et β des nombres réels : DetB(αu~+βv,~ w,~ x~) = αDetB(u,~ w,~ x~) +βDetB(v,~ w,~ x~) DetB(u, α~ v~+βw,~ x~) = αDetB(u,~ v,~ x~) +βDetB(u,~ w,~ x~) DetB(u,~ v, α~ w~ +βx~) = αDetB(u,~ v,~ w~) +βDetB(u,~ v,~ x~).

4. Si B⁰ = (e~⁰

1,e~⁰

2,e~⁰

3) est une autre base deE, pour tout (u,~ v,~ w~)de vecteurs de E,

DetB(u,~ v,~ w~) =Det_B⁰(u,~ v,~ w~)DetB(e~⁰

1,e~⁰

2,e~

3)

(50)

(51)

Corollaire : Soit B = ( e ~

1

, e ~

2

, e ~

3

) une base de E : trois vecteurs

~

u, v, ~ w ~ , sont coplanaires si, et seulement si : Det

B

( u, ~ v, ~ w ~ ) = 0

Soit B = { e ~

1

, e ~

2

, e ~

3

} une base de l’espace vectoriel E . Soient u ~

1

, u ~

2

et u ~

3

des vecteurs de E . Pour i ∈ {1 , 2 , 3}, on note ( x

_i

, y

_i

, z

_i

) des coordonnées de u ~

_i

dans la base B .

On appelle déterminant de ( u ~

1

, u ~

2

, u ~

3

) dans la base B le nombre réel :

DetB(u~

1,u~

2,u~

3) =

x1 x

2 x y 3

1 y

2 y

3

z1 z

2 z

3

= x

1y

2z

3+x

2y

3z

1+x

3y

1z

2−z

1y

2x

3−z

2y

3x

1−z

3y

1x

2

= x

1

y2 y

3

z2 z

3

−y

1

x2 x

3

z2 z

3

+z

1

x2 x

3

y2 y

3

(52)

(53)

x₁ x₂ x₃

x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ y₃

z₁ z₂ z₃

y y y

1 2 3

+ + +

−

z_{1 2}y x₃

x_{1 2}z y₃

y_{1 2}x z₃

x_{1 2}y z₃

y1 2z x

3

z_{1 2}x y₃

Soit E un espace vectoriel de dimension n , muni d’une base B = {~ e

1

, e ~

2

, . . . , e ~

_n

}.

Soit une famille de n vecteurs de E : F = {~ u

1

, u ~

2

, · · · , u ~

_n

}, On admet :

Théorème : Il existe une application φ E 7−→ R qui vérifie : 1. ∀ i ( 1 ≤ i ≤ n ) , ∀~ v ∈ E, ∀ α ∈ R

^∗

:

φ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , α. u ~

_i

+ v ~ , · · · , u ~

_n

) = αφ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , u ~

_i

, , · · · , u ~

_n

) + φ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , v ~ , · · · , u ~

_n

) 2. Si pour i 6 = j , u ~

_i

= u ~

_j

, φ ( u ~

1

, · · · , u ~

_i

, · · · , u ~

_j

, · · · , u ~

_n

) = 0 3. φ ( e ~

1

, e ~

2

, . . . , e ~

_n

) = 1 Le nombre φ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , u ~

_n

) s’appelle le déterminant de la

famille F dans la base B . Noté : det

B

F .

(54)

(55)

Soit E un espace vectoriel de dimension n , muni d’une base B = {~ e

1

, e ~

2

, . . . , e ~

_n

}.

Soit une famille de n vecteurs de E : F = {~ u

1

, u ~

2

, · · · , u ~

_n

},

1. Si on permute 2 vecteurs de la famille, le déterminant est multiplié par −1.

2. Si on multiplie un vecteur par α , le déterminant est multiplié par α .

3. Si la famille F est liée, det

B

F = 0

Si on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres, le déterminant est inchangé.

Calcul de déterminants Déterminant d’une matrice carrée

Soit M ∈ M

_n

( R ⁾ .

On appelle déterminant de la matrice M , le déterminant des vecteurs colonnes de la matrice M , dans la base canonique de R

ⁿ

.

Notation : det ( M ) Si M = a

_ij

_1≤_i_≤_n

1≤j≤n

:

det ( M ) =

a

11

a

12

· · · a

1j

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2j

· · · a

2n

.. . .. . .. . .. . .. . .. . a

_i

1

a

_i

2

· · · a

_ij

· · · a

_in

.. . .. . .. . .. . .. . .. . a

_n

1

a

_n

2

· · · a

_nj

· · · a

_nn

= a

_ij

_1≤i≤n 1≤j≤n

(56)

MultiplicationdesmatricesInversed’unematriceSystèmeslinéairesApplicationslinéairesChangementdebases Matrices n × p MatricesDéﬁnitionsEspacevectorieldesmatrices

Matrices

Matrices

Définitions

Espace vectoriel des matrices n × p Multiplication des matrices

Inverse d’une matrice

Systèmes linéaires

Applications linéaires

Changement de bases

Soit n , p ∈ N

.

On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients réels (ou complexes),

np nombres réels (ou complexes) rangés dans un tableau à n lignes et p colonnes.

1 0 p 2 i π −3













e −6

p 3

−1

0 −8

sin 

 0 0 18 1 250 e

−2 0













Si n = 1 : ( 1 p

2 34 π ) matrice ligne Si p = 1 :





 e

−1





 matrice colonne

Notation : M

( R )

Ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients

réels

Si M ∈ M

( R ) , l’élément situé à l’intersection de la i -ième ligne et de la j -ième colonne, est noté : a

.





















a

a

· · · a

· · · a

a

a

· · · a

· · · a

.. . .. . .. . .. . .. . .. . a

a

· · · a

· · · a

.. . .. . .. . .. . .. . .. . a

a

· · · a

· · · a











sin

0 0 18 1 250 e

( R ⁾

( R ⁾ ^, l’élément situé à l’intersection de la i -ième ligne et de la j -ième colonne, est noté : a

= a

( R ⁾ : M = a

= b

= a