Systèmes linéaires
Cours de É. Bouchet ECS1 14 janvier 2021
Table des matières
1 Système linéaire 2
1.1 Dénitions . . . 2 1.2 Écriture matricielle d'un système linéaire . . . 3
2 Système de Cramer 3
2.1 Dénition . . . 3 2.2 Système de deux équations à deux inconnues . . . 4 2.3 Exemples . . . 4
3 Résolution par la méthode du Pivot de Gauss 5
3.1 Rappels : opérations élémentaires sur les lignes . . . 5 3.2 Principe de la méthode . . . 5 3.3 Exemples . . . 5
Dans tout le chapitre,K désigneraR ou C.
1 Système linéaire
1.1 Dénitions
Soit p∈N∗. Une équation linéaire à p inconnues x1,x2, . . ., xp est une équation pouvant s'écrire sous la forme
α1x1+α2x2+· · ·+αpxp =β, où α1,α2, . . ., αp etβ sont p+ 1scalaires, éléments deK.
Un p-uplet(c1, c2, . . . , cp)d'éléments de K est solution de cette équation linéaire si l'égalité α1c1+α2c2+· · ·+αpcp =β
est vériée.
Dénition (Équation linéaire).
Soitp etndeux entiers naturels non nuls. On appelle système linéaire denéquations àp inconnuesx1, x2, . . ., xp tout système (S) pouvant s'écrire sous la forme :
a11x1 + a12x2 + . . . + a1pxp = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2pxp = b2
... ... ... ... ...
an1x1 + an2x2 + . . . + anpxp = bn où (aij)16i6n,16j6p et(bk)16k6n sont des scalaires xés éléments deK.
La i-ième équation du système(S)qui s'écrit
ai1x1+ai2x2+· · ·+aipxp =bi
avec i∈[[1, n]] est appelée i-ième ligne du système (S) et notéeLi. Dénition (Système linéaire).
Un p-uplet de scalaires(c1, c2, . . . , cp)est solution du système(S)s'il est solution, pour tout i∈[[1, n]], de l'équationLi du système (S).
Résoudre le système(S)c'est déterminer l'ensemble des solutions de (S). Un système n'ayant aucune solution est dit impossible.
Un système est dit compatible s'il existe au moins unp-uplet(c1, c2, . . . , cp)solution.
Deux systèmes sont équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions.
Dénition (Solution d'un système linéaire).
On appelle système homogène un système dont tous les seconds membres sont nuls :
∀i∈[[1, n]], bi= 0.
On appelle système homogène associé à un système (S) le système homogène(S0) obtenu en prenant dans(S) tous les seconds membresbi égaux à0.
Dénition (Système homogène).
Exemple 1. On considère le système linéaire
2x1 + 3x2 = 5
4x1 + 3x2 = 0 . Son système homogène associé est : 2x1 + 3x2 = 0
4x1 + 3x2 = 0 .
Remarque. Un système homogène a toujours au moins une solution :x1 =x2=· · ·=xp= 0. 1.2 Écriture matricielle d'un système linéaire
La matrice A= (aij)16i6n,16j6p ∈ Mn,p(K) est la matrice associée au système (S). Dénition (Matrice associée).
Si l'on pose B =
b1 b2
...
bn
, résoudre le système (S) revient à chercher l'ensemble des vecteurs colonnes X =
x1 x2
...
xp
tels queAX=B.
Exemple 2. On considère le système linéaire
2x1 + 3x2 = 5
4x1 + 3x2 = 0 . Sa matrice associée est
2 3 4 3
et résoudre le système revient à chercher les réelsx1,x2 tels que
2 3 4 3
x1 x2
= 5
0
Remarque. Si la matriceAest inversible, le système (S) possède un uniquep-uplet solution obtenu viaX=A−1B.
2 Système de Cramer
2.1 Dénition
Soit n∈N∗. On appelle système de Cramer tout système linéaire (S) de néquations à n inconnues dont la matrice associée est inversible.
Dénition (Système de Cramer).
Remarque. Cette dénition est indépendante du second membre de(S).
Soitn∈N∗, et(S)un système denéquations àninconnues.(S)est un système de Cramer si et seulement si il admet un uniquen-uplet solution.
Proposition (Solution d'un système de Cramer).
2.2 Système de deux équations à deux inconnues Dans K2, le système
ax + by = c
a0x + b0y = c0 d'inconnues (x, y) est de Cramer ssi ab0 −a0b 6= 0 (quand la matrice associée est inversible).
On a alors :
x y
=
a b a0 b0
−1 c c0
= 1
ab0−ba0 ·
b0 −b
−a0 a
c c0
L'unique solution est donc :
x= b0c−bc0
ab0−a0b et y= ac0−a0c ab0−a0b.
2.3 Exemples
Les systèmes suivants sont-ils de Cramer ?
(S1)
x − 2y + z − t = 1
2x − 4y − z − 3t = 3 5x − 10y − z − 7t = 5
x − 2y + 4z = 0
La matrice associée au système est :
1 −2 1 −1
2 −4 −1 −3 5 −10 −1 −7
1 −2 4 0
.
On utilise les opérations du pivot de Gauss pour inverser la matrice :
L2 ←−L2−2L1, L3 ←−L3−5L1, L4 ←−L4−L1 produisent la matrice :
1 −2 1 −1 0 0 −3 −1 0 0 −6 −2
0 0 3 1
.
La réduite de Gauss, quelle qu'elle soit, aura donc au minimum un zéro sur la diagonale (dans la deuxième colonne), la matrice n'est donc pas inversible. Cela signie que le système n'est pas de Cramer.
(S2)
x + 12y + 13z + 14t = 1
1
2y + 13z + 14t = 3
1
3z + 14t = 7
1
4t = −1
La matrice associée au système est :
1 12 13 14 0 12 13 14 0 0 13 14 0 0 0 14
.
Elle est inversible car triangulaire sans0 sur la diagonale. Donc(S2) est un système de Cramer.
3 Résolution par la méthode du Pivot de Gauss
3.1 Rappels : opérations élémentaires sur les lignes
On appelle opérations élémentaires sur les lignes d'un système linéaire (S) une opération de l'un des trois types suivants :
1. échange de deux lignesLi etLj avec i6=j, codiée : Li←→Lj.
2. multiplication de la ligneLi par un scalaire non nul α, codiée :Li←−αLi.
3. addition de la ligneLi et d'un multiple deLj avec i6=j, codiée : Li←−Li+βLj.
On obtient un système linéaire équivalent à(S) en eectuant des opérations élémentaires sur les lignes de (S). 3.2 Principe de la méthode
En eectuant des opérations élémentaires sur les lignes d'un système linéaire(S), on transforme le système linéaire (S) en un système linéaire(S0) qui lui est équivalent et qui est échelonné, c'est-à-dire de la forme (sir 6netr6p) :
(S0)
a11x1 + a12x2 + . . . + a1rxr + . . . + a1pxp = b1 a22x2 + . . . + a2rxr + . . . + a2pxp = b2
...
arrxr + . . . + arpxp = br 0 = br+1
...
0 = bn
.
Pour que (S0) soit compatible, il faut que les n−r dernières équations soient vériées. Les inconnues xr+1, . . ., xp peuvent prendre des valeurs arbitraires. Une fois xées elles déterminent de manière unique les valeurs dex1,x2, . . ., xr.
3.3 Exemples
Résoudre les systèmes suivants par la méthode du Pivot de Gauss :
1. (S1)
x − 2y + z − t = 1
2x − 4y − z − 3t = 3 5x − 10y − z − 7t = 5
x − 2y + 4z = 0
2. (S2)
x − 2y + z − t = 1
2x − 4y − z − 3t = 3 5x − 10y − z − 7t = 7
x − 2y + 4z = 0
2a − b + 5d = 0
4. (S4)
2a + 3b − c − d = 0 4a + 7b + 2c + 4d = 0 2a + 6b + 3c + 2d = 0
a + b + d = 0
1.
Soit X=
x y z t
, (S1)⇐⇒
1 −2 1 −1
2 −4 −1 −3 5 −10 −1 −7
1 −2 4 0
X=
1 3 5 0
⇐⇒
L2←L2−2L1 L3←L3−5L1
L4←L4−L1
1 −2 1 −1 0 0 −3 −1 0 0 −6 −2
0 0 3 1
X =
1 1 0
−1
⇐⇒
L3 ←L3−2L2
L4←L4+L3
1 −2 1 −1 0 0 −3 −1
0 0 0 0
0 0 0 0
X=
1 1
−2 0
La troisième ligne est impossible : le système (S1) n'a pas de solution.
2.
Soit X=
x y z t
, (S2)⇐⇒
1 −2 1 −1
2 −4 −1 −3 5 −10 −1 −7
1 −2 4 0
X=
1 3 7 0
⇐⇒
L2←L2−2L1 L3←L3−5L1
L4 ←L4−L1
1 −2 1 −1 0 0 −3 −1 0 0 −6 −2
0 0 3 1
X =
1 1 2
−1
⇐⇒
L3←L3−2L2
L4←L4+L3
1 −2 1 −1 0 0 −3 −1
0 0 0 0
0 0 0 0
X=
1 1 0 0
⇐⇒
x − 2y + z − t = 1
− 3z − t = −1
On poset=λ, alorsz=−1+λ3 , on posey=µ, alors x= 43+4λ3 + 2µ. Le système(S2) admet donc une innité de solutions : les quadruplets sous la forme (43 +4λ3 + 2µ, µ,1+λ3 , λ) avec λetµdeux réels.
3.
Soit X=
a b c d
, (S3)⇐⇒
2 −1 0 5
−3 1 −1 −8
1 0 1 3
X=
0 0 0
⇐⇒L1 ↔L3
1 0 1 3
−3 1 −1 −8
2 −1 0 5
X =
0 0 0
⇐⇒
L2←L2+ 3L1 L3←L3−2L1
1 0 1 3
0 1 2 1
0 −1 −2 −1
X =
0 0 0
⇐⇒L3 ←L3+L2
1 0 1 3 0 1 2 1 0 0 0 0
X=
0 0 0
⇐⇒
a + c + 3d = 0 b + 2c + d = 0
On pose d = λ, c = µ et on a b = −λ−2µ et a = −3λ−µ. Le système (S3) admet donc une innité de solutions : les quadruplets sous la forme (−3λ−µ,−λ−2µ, µ, λ) avec λetµdeux réels.
4.
Soit X=
a b c d
, (S4)⇐⇒
2 3 −1 −1
4 7 2 4
2 6 3 2
1 1 0 1
X =
0 0 0 0
⇐⇒L1 ↔L4
1 1 0 1
4 7 2 4
2 6 3 2
2 3 −1 −1
X =
0 0 0 0
⇐⇒
L2 ←L2−4L1 L3 ←L3−2L1
L4 ←L4−2L1
1 1 0 1
0 3 2 0
0 4 3 0
0 1 −1 −3
X=
0 0 0 0
⇐⇒L2 ↔L4
1 1 0 1
0 1 −1 −3
0 4 3 0
0 3 2 0
X =
0 0 0 0
⇐⇒
L3 ←L3−4L2 L4 ←L4−3L2
1 1 0 1
0 1 −1 −3 0 0 7 12
0 0 5 9
X=
0 0 0 0
⇐⇒
L3 ← 17L3 L4 ←L4−L3
1 1 0 1
0 1 −1 −3 0 0 1 127 0 0 0 37
X=
0 0 0 0
La réduite de Gauss n'a pas de zéro sur la diagonale, le système est donc de Cramer. Comme il est également
