I Généralités sur les matrices

(1)

Chapitre 14 : Matrices.

Dans tout le chapitreKdésignera indifféremment RouC. Les éléments deKseront appelés des scalaires.

I Généralités sur les matrices

A Définitions de base

Soit pn, pq P pN^˚q². On appelle matrice de taille nˆp un tableauA d’éléments de Kà n lignes et pcolonnes.

On notera A“ pAi,jq_1ďiďn

1ďjďp

ouA“ pAi,jq_pi,jqPJ_1,n_KˆJ_1,p

K

. On écrit la matriceAsous la forme suivante

A“

¨

˚

˝

A1,1 A1,2 ¨ ¨ ¨ A1,p

A2,1 A2,2 ¨ ¨ ¨ A2,p

... ... ... An,1 An,2 ¨ ¨ ¨ An,p

˛

‹

‚

Remarque1. On écrit alors simplement M_npKqau lien de Mn,npKql’ensemble des matrices carrées

On note Mn,ppKq (resp. Mn,ppRq, Mn,ppCq) l’ensemble des matrices de taille nˆp à coefficients dansK(resp.R,C).

Si n“1 on parle de matrice ligne, sip“1 on parle de matrice colonne.

Si n“pon parle de matrice carrée Définition 1

Exemple 1. — A“ ˆ1 2

3 4

˙

PM2pRq

— B“

ˆ 5 0 i 21`2i 8 eⁱ^π³

˙

PM2,3pCq

Soit A PMn,ppKq et B P Mn,ppKqdeux matrices . On dit que A et B sont égales et on note A“B si

@pi, jq PJ1, nKˆJ1, pK, Ai,j “Bi,j

Définition 2

Exemple 2. Soit A“

ˆ1 ´1

0 2

˙ B “

ˆcosp0q e^iπ tanp0q 2

˙

et C“

¨

˝ 1 ´1

0 2

0 0

˛

‚

On a alorsA“B maisA‰C etB‰C.

SoitAPM_n,ppKq. Pourpi, jq PJ1, nKˆJ1, pKon définit les matrices suivantes

— La i-ème ligne deAest la matrice ligne L_i“`

Ai,1 Ai,2 ¨ ¨ ¨ Ai,p

˘

— La j-ème colonne deAest la matrice colonne

Cj “

¨

˚

˝ A1,j

A2,j

... An,j

˛

‹

‚ Définition 3

(2)

B Matrices particulières

— On appelle matrice nulle de taillenˆpla matrice notée 0nˆp dont tous les coefficients sont nuls.

— On appelle matrice identité de taillenla matrice carrée notéeIn définie par

In“

¨

˚

˝

1 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 0 0 1 0 ¨ ¨ ¨ 0 0 ... . .. ... ... . .. ... ... . .. ... 0 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 1

˛

‹

— Une matrice A carrée de taille n est dite diagonale si tous ses coefficients sont nuls sauf éventuellement ceux de sa diagonale.

Remarque2. Inest en particulier une matrice diagonale de taillen

On a donc

@pi, jq PJ1, nK, i‰j ñ Ai,j “0

— Soitpλ₁,¨ ¨ ¨λ_nq PKⁿ, on noteDiagpλ₁,¨ ¨ ¨λ_nqla matrice diagonale de taillendéfinie par

Diagpλ₁,¨ ¨ ¨λ_nq “

¨

˚

˝

λ₁ 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 0 0 λ₂ 0 ¨ ¨ ¨ 0 0

... . .. ...

0 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 λ_n

˛

‹

‚

Remarque3. On définit de manière similaire les matrices triangulaires inférieure comme les matrices dont les coefficients au dessus de la diagonale sont nuls

— Un matrice carréeB de taillenest dite triangulaire supérieure si tous ses coefficients sous la diagonale sont nuls, c’est-à-dire

@pi, jq PJ1, nK, iąj ñ B_i,j “0 On a donc

B “

¨

˚

˝

B1,1 B1,2 B1,3 ¨ ¨ ¨ B1,n´1 B1,n

0 B2,2 B2,3 ¨ ¨ ¨ B2,n´1 B2,n

... . .. ...

0 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 B_n,n

˛

‹

‚

Remarque4. Les matrices triangulaires supérieures sont les matrices échelonnées carrées.

— Une matriceM de taillenˆpest dit échelonnée si

@pi, jq PJ1, nK, iąj ñ M_i,j“0 Définition 5

(3)

II Opération sur les matrices

A Addition, multiplication par un scalaire

SoitpA, Bq PM_n,ppKq²

On définit la matriceA`B par

A`B“ pAi,j`Bi,jq_pi,jqPJ_1,n_KˆJ_1,p

K

Il s’agit donc de la matrice obtenue en additionnant les coefficients de Aet ceux deB.

Définition 6

SoitpA, B, Cq PMn,ppKq³, on a alors

— pA`Bq `C“A` pB`Cq

Remarque5. On écrira alorsA`B`C

— A`B “B`A

— A`0_n,p“A Proposition 1

Démonstration. Il s’agit de simples conséquences de la définition.

SoitAPMn,ppKqetλPK. On définit le produit deA parλnotéλ¨Apar

Remarque6. On n’écrit jamaisA¨λ

λ¨A“ pλA_i,jq_pi,jqP

J1,nKˆJ1,pK

On multiplie donc chaque coefficient deAparλ Définition 7

Remarque7. Si le contexte est clair et qu’aucune confusion n’est possible, en particulier avec le produit matriciel défini ci-après, alors on pourra se passer du¨et écrire simplementλA

Remarque8. On n’écrira par contre jamaisAλ

SoitpA, Bq PMn,ppKq² etpλ, µq PK², on a alors

— λ¨ pµ¨Aq “ pλµq ¨A

— 1¨A“Aet 0¨A“0_n,p

— pλ`µq Ä“λÄ`µÄ

— λ¨ pA`Bq “λ¨A`µ¨B Proposition 2

Démonstration. Il s’agit de simples conséquences de la définition.

(4)

B Produit matriciel

SoitAPMn,ppKqet BPMp,qpKq.

Remarque9. Faire EXTRÊMEMENT attention aux dimensions deAetB

On définit le produit AˆB comme la matrice de taille nˆqdéfinie par

@pi, jq PJ1, nKˆJ1, qK pAˆBqi,j“

p

ÿ

k“1

Ai,kˆBk,j

On a le schéma suivant : Définition 8

Remarque 10. — Pour pouvoir définir le produitAˆBil faut que le nombre de colonnes deAsoit égal au nombre de lignes deB.

Schématiquementpnˆpqmultiplié parppˆqqdonnepnˆqq.

Remarque11. En particulier si

pA, Bq PMnpKq²alors AˆBPMnK

— Si le contexte est clair et qu’aucune confusion est possible on écrira ABplutôt queAˆB

SoitAPMn,ppKq, on a

— AIp“A,InA“A

— A0p,q“0n,q, 0r,nA“0r,p

Proposition 3

Démonstration. Soitpi, jq PJ1, nKˆJ1, qK, on a alors pAI_pqi,j“ ÿ

k“1^p

A_i,kpI_pqk,j

“Ai,jˆ1 ppIpqk,j “0 sik‰jq

“Ai,j

On prouve de même queInA“A.

Il est clair queA0p,q“0n,q et 0r,nA“0r,p

SoitA, B etC trois matrices etλPK. Lorsque les opération effectuées sont licites, on a

— Aˆ pBˆCq “ pAˆBq ˆC

Remarque12. On écrira alorsAˆBˆC

— pA`Bq ˆC“AˆC`BˆC

— Aˆ pB`Cq “AˆB`AˆC

— Aˆ pλ¨Bq “ pλ¨Aq ˆB“λ¨ pAˆCq

Remarque13. On écrit alorsλAB

Proposition 4

Démonstration. Il suffit de calculer les coefficients pour vérifier les égalités.

SoitAPMn,ppKq,BPMp,qpKqetCPMq,rpKq. Soitpi, jq PJ1, nKˆJ1, rK.

(5)

On a

pAˆ pBˆCqq_i,j“

p

ÿ

k“1

A_i,kpBˆCq_k,j

“

p

ÿ

k“1

Ai,k q

ÿ

`“1

Bk,`C`,j

“

p

ÿ

k“1 q

ÿ

`“1

Ai,kBk,`C`,j

“

q

ÿ

`“1 p

ÿ

k“1

A_i,kB_k,`C_`,j

“

q

ÿ

`“1

C`,j p

ÿ

k“1

Ai,kBk,`

“

q

ÿ

`“1

C`,jpAˆBqi,`

“

q

ÿ

`“1

pAˆBq_i,`C_`,j

“ ppAˆBq ˆCqi,j

Les autres résultats se prouvent de manière similaire.

Remarque 14. Le produit matriciel ne se comporte pas toujours comme le produit usuel surRouC. Énumérons certaines erreurs

— Soit APMn,ppKqetB PMp,npKq. En général on a AˆB‰BˆA

Par exemple soit

A“ ˆ1 1

0 0

˙

B “ ˆ3 4

1 2

˙

On a alors

AB“ ˆ4 6

0 0

˙

et BA“

ˆ3 3 1 1

˙

Autant que possible on précisera alors si on multiplieA parB à droite (c’est-à-dire le produit AB) ou à gauche (le produitBA).

— Comme le produit n’est pas commutatif, de nombreuses manipulations usuelles sur les scalaires sont fausses sur les matrices. Par exemple les identités remarquables ne sont plus vraies. On a

— pA`Bq²“A²`AB`BA`B², en généralpA`Bq²‰A²`2AB`B²

— pA´BqpA`Bq “A²`AB´BA´B², en généralpA´BqpA`Bq ‰A²´B² De même la formule du binôme de Newton ne sera pas vraie en général.

— Soit C P Mn,ppKq et D P Mp,qpKq, alors CˆD “ 0n,q n’implique pas que C “ 0n,p ou D“0p,q.

Par exemple soit

C“

ˆ3 2 ´1

2 4 4

˙

D“

¨

˝

´2 4

5 ´10

4 ´8

˛

‚

On a alors

CˆD“ ˆ0 0

0 0

˙

et DˆC“

¨

˝

2 12 ´6

´5 ´30 35

´4 ´24 28

˛

‚

— Une conséquence importante est qu’il n’est pas possible de « simplifier »par une matrice A , même siA‰0.

AB“AC n’implique pasqueB“C.

— Last but not least, une des pires erreurs que vous puissiez faire serait de diviser par une matrice.

En aucun cas, dans aucune situation, on ne peux diviser par une matrice. Le faire vous voudra l’ire éternelle du correcteur et de votre professeur.

(6)

Soitpλ1,¨ ¨ ¨, λn, µ1,¨ ¨ ¨µnq PK²ⁿ.

— Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale. En particulier on a Diagpλ1,¨ ¨ ¨λnq ˆDiagpµ1,¨ ¨ ¨µnq “Diagpλ1µ1,¨ ¨ ¨λnµnq

— Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaire inférieure.

Proposition 5

Démonstration. Il suffit de calculer les coefficients

SoitAPMnpKq. On définit par récurrence les puissances successives deApar

#A⁰“I_n

@pPN, A^p`1“AˆA^p “A^pˆA

Remarque15. SiA n’est pas une matrice carrée on ne peut pas définirA^p.

On a ainsi

A^p“AˆAˆ ¨ ¨ ¨ ˆA looooooooomooooooooon

pfois

Définition 9

SoitAPMnpKqetpp, qq PN², on a

— A^pˆA^q “A^p`q

— pA^pq^q“A^pq Proposition 6

Démonstration. Simple conséquence de la définition

Remarque 16. Si pA, Bq P MnpKq² et p P N en général on n’a pas pABq^p “ A^pB^p. On a en effet pABqⁿ “ABAB¨ ¨ ¨AB, ce qui, en général, est différent deAⁿBⁿ.

SoitpA, Bq PM_npKq². On dit queAet B commutent siAB“BA.

Définition 10

SoitpA, Bq PM_npKq² deux matrices qui commutent etnPN. On a alors

— pA`Bq²“A²`2AB`B²

— pA´BqpA`Bq “ pA`BqpA´Bq “A²´B²

— pABqⁿ“AⁿBⁿ

— pA`Bqⁿ“řn k“0

`_n

k

˘A^kB^n´k“řn k“0

`_n

k

˘A^n´kB^k Proposition 7

C Transposition

SoitAPM_n,ppKq, on définit la matrice transposée deA, notée^tAPM_p,npKqpar

Remarque17. On trouve parfois la notationA^T tAi,j“Aj,i

Moralement on obtient ^tA en faisant une symétrie des coefficients de A par rapport à sa diagonale.

Définition 11

(7)

SoitpA, Bq PMn,ppKq²,CPMp,qpKqet λPK, on a

— ^tp^tAq “A

— ^tpA`Bq “^tA`^tB

— ^tpAˆCq “^tCˆ^tA

— ^tpλAq “λ^tA Proposition 8

Démonstration. Seule la troisième propriété ne découle pas immédiatement de la définition.

Soitpi, jq PJ1, qKˆJ1, nK, on a

SoitAPM_npKq.

— On dit que Aest symétrique si^tA“A, c’est-à-dire

@pi, jq PJ1, nK

2, A_i,j“A_j,i

— On dit que Aest antisymétrique si^tA“ ´A, c’est-à-dire

Remarque18. Ceci implique en particulier que les coefficients diagonaux deAsont nuls

@pi, jq PJ1, nK

2, A_i,j“ ´A_j,i Définition 12

III Écriture matricielle d’un système linéaire

Considérons le système linéaire

pSq:

$

’’

’&

’’

’%

a1,1x1 ` a1,2x2 ` ¨ ¨ ¨ ` a1,pxp “ b1

a_2,1x₁ ` a_2,2x₂ ` ¨ ¨ ¨ ` a_2,px_p “ b₂

... ... ... ...

an,1x1 ` an,2x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,pxp “ bn

où

@iPJ1, nK, @kPJ1, pK, ai,kPK, biPK Notons alors

A“

¨

˚

˝

a1,1 a1,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ a1,p

a2,1 a2,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ a2,p

... ... ...

an,1 an,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an,p

˛

‹

‚

X “

¨

˚

˝ x₁ x₂ ... ... xp

˛

‹

‚

B “

¨

˚

˝ b₁ b₂ ... bn

˛

‹

‚

Soit px1, x2,¨ ¨ ¨, xpq P K^p. px1, x2,¨ ¨ ¨, xpq est solution de pSqsi et seulement si AX “ B avec les notations introduites plus haut.

On appelle l’écriture AX“B la formulation matricielle du systèmepSq.

Proposition 9

Pour résoudre un système linéaire on va utiliser la même méthode que précédemment en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes sauf qu’au lieu de faire les opérations sur le système on va les faire sur les matricesA etB.

Cela a plusieurs intérêts, tout d’abord c’est moins lourd à écrire mais surtout cette méthode va nous permettre d’utiliser l’ordinateur ou la calculatrice pour faire les calculs.

On va introduire une nouvelle notation pour simplifier encore les écritures.

(8)

SoitAPMn,ppKqetBPMn,1pKq. On introduit la matrice augmentéepA|Bq

Remarque19. pA|Bq n’est pas vraiment une matrice, c’est juste une écriture condensée pratique pour les calculs

¨

˚

˝

a_1,1 a_1,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ a_1,p b₁ a_2,1 a_2,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ a_2,p b₂ ... ... ... ... a_n,1 a_n,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ a_n,p b_n

˛

‹

On fera alors nos opérations élémentaires sur les lignes depA|Bq.

Exemple 3. Soit

S:

$

&

%

x ´ y ` 2z “ 5

3x ` 2y ` z “ 10

2x ´ 3y ´ 2y “ ´10

On considère la matrice augmentée

¨

˝

1 ´1 2 5

3 2 1 10

2 ´3 ´2 ´10

˛

‚

L2ÐL2´3L1

L3ÐL3´2L1

¨

˝

1 ´1 2 5

0 5 ´5 ´5

0 ´1 ´6 ´20

˛

‚

L2Ð ¹₅L2

L₃Ð ´L₃

¨

˝

1 ´1 2 5

0 1 ´1 ´1

0 1 6 20

˛

‚

L3ÐL3´L2

¨

˝

1 ´1 2 5

0 1 ´1 ´1

0 0 7 21

˛

‚

L3Ð ¹₇L3

¨

˝

1 ´1 2 5

0 1 ´1 ´1

0 0 1 3

˛

‚

On peut s’arrêter ici, on a alors S ô

$

&

%

x ´ y ` 2z “ 5 y ´ z “ ´1

z “ 3

On « remonte »ensuite le système par substitutions successives pour le résoudre.

On peut aussi continuer à travailler sur la matrice augmentée L2ÐL2`L3

L1ÐL1´2L3

¨

˝

1 ´1 0 ´1

0 1 0 2

0 0 1 3

˛

‚

L₁ÐL₁`L₂

¨

˝

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

˛

‚

On aboutit ainsi à la solution : L’ensemble des solutions deS esttp1,2,3qu.

(9)

SoitAPMn,ppKq. Par des opérations élémentaires sur les lignes on peut transformerAen une matrice échelonnée ˜A

Remarque20. A‰A,˜ on dit queAest équivalente à ˜A

.

On définit le rang deA, notée rgpAqou RangpAqcomme étant le nombre de lignes non-nulles de ˜A.

Le rang de A est également le rang des systèmes linéaires AX “ B avec B P M_n,1pKq quelconque

Définition 14

Exemple 4. SoitA“

¨

˝

3 2 1 1 1 0 2 1 1

˛

‚. Déterminons RangpAq.

L₂ØL₁

¨

˝

1 1 0 3 2 1 2 1 1

˛

‚

L₂ÐL₂´3L₁ L3ÐL3´2L1

¨

˝

1 1 0

0 ´1 1 0 ´1 1

˛

‚

L3ÐL3´L2

¨

˝

1 1 0

0 ´1 1

0 0 0

˛

‚

AinsiAest équivalente à une matrice de rang 2.Aest donc de rang 2.

SoitAPM_n,ppKq. On a

RangpAq “Rang`_t A˘ Théorème 10

Démonstration. Résultat admis

IV Inversion de matrice

A Définition

On a vu que la multiplication matricielle nous réserve certaines surprises, en particulier la simplification est impossible. Mais qu’entendait-on par simplification ?

Soitpa, bq P pRq² etcPR^˚, on suppose que l’on a ca“cb

et on souhaite prouver quea“b.

Rigoureusement on ne barre pas simplement les c. On sait qu’il existedPRtel quecd“dc“1 (on notera alorsd“ ¹_c). On peut alors multiplier de part et d’autre de l’égalité pard, on a donc

dca“dcb

C’est-à-dire

1a“1b et donca“b.

Peut-on obtenir quelque chose de similaire sur les matrices ? En général non comme on l’a vu plus haut mais, dans certains cas, c’est possible

(10)

Une matrice carrée APMnpKq

Remarque21. Il est important queAsoit carrée

est dite inversible s’il existeBPMnpKqtelle que AB“BA“In

La matriceB est alors unique, on l’appelle l’inverse deAet on la noteA^´1

Remarque22. Écrire

1

A est une horreur absolue et vous vaudra mon inimitié éternelle

On note GLnpKql’ensemble des matrices inversibles de taillen.

Définition 15

Démonstration. Il nous faut prouver l’unicité deB.

Supposons qu’il existeB₁et B₂ telles que

AB₁“B₁A“I_n et AB₂“B₂A“I_n On a alors , d’un part

B1AB2“B1In“B1

et d’autre part

B1AB2“InB2“B2

D’oùB1“B2

La définition mentionne qu’il faut avoirAB“BA“In, en pratique c’est un peu plus simple

SoitpA, Bq PMnpKq², On a l’équivalence

AB“In ôBA“In

Théorème 11

Démonstration. Résultat admis

SoitpA, Bq PMnpKq², siAB“In ouBA“In alorsB“A^´1 Corolaire 12

Exemple 5. — In est inversible etI_n^´1“In.

— Soit

A“

ˆ2 i

´i 1

˙

B “

ˆ1 ´i i 2

˙

Aest inversible etB“A^´1. En effet on a AB“

ˆ2`i² ´2i`2i

íì píq²`2

˙

“ ˆ1 0

0 1

˙

“I2

Savoir si une matrice est inversible est un problème compliqué mais dans certains cas c’est très simple.

Soitpλ1,¨ ¨ ¨, λnq PKⁿ et soitM “Diagpλ1,¨ ¨ ¨, λnq.

M est inversible si et seulement si

@iPJ1, nK, λi‰0 Et dans ce cas on a

M^´1“Diag ˆ 1

λ1

,¨ ¨ ¨, 1 λn

˙ Proposition 13

Démonstration. Il suffit de faire les calculs.

(11)

SoitpA, Bq PGLnpKq². Alors

— A^´1 est inversible et` A^´1˘´1

“A

— ABest inversible etpABq^´1“B^´1A^´1

Remarque23. A`B n’est elle, en général, pas inversible

— ^tAest inversible etp^tAq^´1“^t` A^´1˘ Théorème 14

Démonstration. — On aAA^´1“In, ainsi A^´1 est inversible d’inverseA.

— On apABqpB^´1A^´1q “ABB^´1A^´1“AInA^´1“AA^´1“In. AinsiABest inversible d’inverse B^´1A^´1.

— On a^tA^t` A^´1˘

“^t` A^´1A˘

“^tIn“In. Ainsi^tAest inversible d’inverse ^t` A^´1˘

B Détermination de A

^´1

SoitAPMnpKqon cherche comment déterminer siA est inversible et, le cas-échéant, déterminer A^´1.

1 Via le système linéaire associé

On rappelle que si

A“

¨

˚

˝

a_1,1 a_1,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ a_1,n a2,1 a2,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ a2,n

... ... ...

a_n,1 a_n,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ a_n,n

˛

‹

‚

X “

¨

˚

˝ x₁ x2

... ... xn

˛

‹

‚

B“

¨

˚

˝ b1

b2

... bn

˛

‹

‚

Alors le système

pSq:

$

’’

’&

’’

’%

a1,1x1 ` a1,2x2 ` ¨ ¨ ¨ ` a1,nxn “ b1

a2,1x1 ` a2,2x2 ` ¨ ¨ ¨ ` a2,nxn “ b2

... ... ... ...

an,1x1 ` an,2x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,nxn “ bn

est équivalent àAX“B.

Soit A P MnpKq. A est inversible si et seulement si, pour tout B P Mn,1pKq, le système AX“B est de Cramer.

Théorème 15

Démonstration. — Supposons dans un premier temps queAest inversible, on a alors AX“BôA^´1AX“A^´1BôX “A^´1B

Le systèmeAX“B admet donc une unique solution il est de Cramer.

— Supposons maintenant que, pour toutBPMn,1pKq, le systèmeAX“B est de Cramer.

PourjPJ1, nKon définitej“

¨

˚

˝ 0

... 0 1 0 ... 0

˛

‹

‚

(le 1 se trouve sur laj-ème ligne)

(12)

Soitfj“

¨

˚

˝ α1

... α_n

˛

‹

‚l’unique solution deAX“ej.

On définit alorsM la matrice carrée de taillendont, pour toutjPJ1, nK, laj-ème colonne est fj, i.e.

M “

¨

˚

˝

α1,1 α1,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ α1,n

α_2,1 α_2,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ α_2,n

... ... ...

αn,1 αn,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ αn,n

˛

‹

‚

On a alorsAM“In, en effet laj-ème colonne deAM est le produit deAet de laj-ème colonne deM c’est-à-direAfj“ej.

Aest ainsi inversible d’inverseM

On a vu dans le chapitre « Systèmes linéaires »un critère reliant le rang du système à son nombre de solutions. On peut le réinterpréter ici via le prisme de l’inversibilité.

SoitAPMnpKq.Aest inversible si et seulement si RangpAq “n.

Théorème 16

Démonstration. On sait queS est de Cramer si et seulement si RangpSq “n, d’oùAest inversible si et seulement si RangpAq “n.

Avec ce critère on va pouvoir statuer sur l’inversibilité des matrices. Pour cela on utilise des opérations élémentaires sur les lignes pour mettre la matrice sous forme échelonnée et ainsi déterminer son rang.

Soit T PMnpKqune matrice triangulaire (inférieure ou supérieure). T est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non-nuls.

Proposition 17

Démonstration. Le système associé est de Cramer si et seulement si il anpivots non-nuls, c’est-à-dire si et seulement si lesncoefficients diagonaux sont non-nuls.

Dans le cas oùAest inversible comment faire pour déterminerA^´1?

On sait qu’alorsAX “B est équivalent à X “A^´1B. Pour calculerA^´1 on va alors résoudre le systèmeAX“B pour B“

¨

˚

˝ b1

... b_n

˛

‹

‚quelconque.

Remarque24. Si, en résolvant, on obtient plusieurs solutions c’est que, soitAn’est pas inversible, soit on s’est trompé dans le calcul des solutions

Une foisA^´1 trouvée il est bon de vérifier que l’on a bienAA^´1“I_npour être sur de ne pas avoir fait d’erreurs de calcul lors de la résolution deAX“B.

Exemple 6. SoitA“

¨

˝

2 7 3 3 9 4 1 5 3

˛

‚. On va montrer queAest inversible et déterminerA^´1. Pour cela on poseB“

¨

˝ b₁ b2

b3

˛

‚et on résout le systèmeAX“B.

Considérons la matrice augmentée

¨

˝

2 7 3 b₁ 3 9 4 b₂ 1 5 3 b₃

˛

‚

L3ØL1

¨

˝

1 5 3 b₃ 3 9 4 b2

2 7 3 b1

˛

‚

L2ÐL2´3L1

(13)

L₃ÐL₃´2L₁

¨

˝

1 5 3 b₃

0 ´6 ´5 b₂´3b₃ 0 ´3 ´3 b₁´2b₃

˛

‚

L2Ð ´¹₆L2

¨

˝

1 5 3 b3

0 1 ⁵₆ ^´1₆ b₂`¹₂b₃ 0 ´3 ´3 b₁´2b₃

˛

‚

L₃ÐL₃`3L₂

¨

˝

1 5 3 b₃

0 1 ⁵₆ ^´1₆ b2`¹₂b3

0 0 ´¹₂ b1´¹₂b2´¹₂b3

˛

‚

Notre système est de rang 3, ainsiAest bien inversible.

L3Ð ´2L3

¨

˝

1 5 3 b3

0 1 ⁵₆ ^´1₆ b₂`¹₂b₃ 0 0 1 ´2b1`b2`b3

˛

‚

L₂ÐL₂´⁵₆L₃ L1ÐL1´3L3

¨

˝

1 5 0 6b1´3b2´2b3

0 1 0 ´⁵₃b1`b2´¹₃b3

0 0 1 ´2b1`b2`b3

˛

‚

L1ÐL1´5L2

¨

˝

1 0 0 ´⁷₃b₁`2b₂´¹₃b₃ 0 1 0 ´⁵₃b₁`b₂´¹₃b₃ 0 0 1 ´2b₁`b₂`b₃

˛

‚

Ainsi

A^´1B “

¨

˝

´⁷₃b1`2b2´¹₃b3

´⁵₃b1`b2´¹₃b3

´2b1`b2`b3

˛

‚“

¨

˝

´⁷₃ 2 ´¹₃

5

3 ´1 ´¹₃

´2 1 1

˛

‚

¨

˝ b₁ b₂ b₃

˛

‚

On a alors

@BPMnpKq, A^´1B “

¨

˝

´⁷₃ 2 ´¹₃

5

3 ´1 ´¹₃

´2 1 1

˛

‚B

D’où

Remarque25.

Réconciliez vous avec les fractions car, sauf dans certains exercices soigneusement calibrés, elles sont inévitables dans le calcul des inverses

A^´1“

¨

˝

´⁷₃ 2 ´¹₃

5

3 ´1 ´¹₃

´2 1 1

˛

‚

Cette méthode est efficace mais il peut être lourd de se trainer les coefficients pbkqkPJ1,nK. On va donc améliorer la méthode.

2 Par la méthode de Gauss-Jordan

La méthode de Gauss-Jordan reprend le principe du pivot de Gauss mais on va utiliser une matrice supplémentaire pour garder la mémoire des opérations que l’on fait.

Le principe est le suivant : On applique des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice Aà inverser jusqu’à arriver à l’identité In. On applique ensuite les mêmes opérations dans le même ordre àIn, le résultat seraA^´1.

Pour faire cela on va encore utiliser l’intermédiaire de calcul que sont les matrices augmentées.

(14)

Plus précisément, soitA“

¨

˚

˝

a1,1 a1,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ a1,n

a_2,1 a_2,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ a_2,n

... ... ...

an,1 an,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an,n

˛

‹

‚

on considère la matrice augmentée ob-

tenue en rajoutantIn à droite deA

¨

˚

˝

a1,1 a1,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ a1,n 1 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 a2,1 a2,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ a2,n 0 1 0 ¨ ¨ ¨ 0

... ... ... ... . ..

an,1 an,2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an,n 0 0 0 ¨ ¨ ¨ 1

˛

‹

‚

On va appliquer des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée jusqu’à ce que la partie gauche soitIn et alors la partie de droite seraA^´1.

Exemple 7. — SoitM “

¨

˝

1 1 0 1 1 1 0 1 1

˛

‚

Déterminons siM est inversible et, si c’est le cas, déterminonsM^´1. On considère la matrice augmentée

¨

˝

1 1 0 1 0 0

1 1 1 0 1 0

0 1 1 0 0 1

˛

‚

L2ÐL2´L1

¨

˝

1 1 0 1 0 0

0 0 1 ´1 1 0

0 1 1 0 0 1

˛

‚

L2ÐL3

¨

˝

1 1 0 1 0 0

0 1 1 0 0 1

0 0 1 ´1 1 0

˛

‚

On lit le rang deM sur la partie de gauche.M est de rang 3 et est donc inversible.

L₂ÐL₂´L₃

¨

˝

1 1 0 1 0 0

0 1 0 1 ´1 1

0 0 1 ´1 1 0

˛

‚

L₁ÐL₁´L₂

¨

˝

1 0 0 0 1 ´1

0 1 0 1 ´1 1

0 0 1 ´1 1 0

˛

‚

On a donc

M^´1“

¨

˝

0 1 ´1

1 ´1 1

´1 1 0

˛

‚

— Reprenons notre exemple précédent, inversonsA“

¨

˝

2 7 3 3 9 4 1 5 3

˛

‚ On considère la matrice augmentée

¨

˝

2 7 3 1 0 0

3 9 4 0 1 0

1 5 3 0 0 1

˛

‚

L₃ØL₁

(15)

¨

˝

1 5 3 0 0 1

3 9 4 0 1 0

2 7 3 1 0 0

˛

‚

L2ÐL2´3L1

L₃ÐL₃´2L₁

¨

˝

1 5 3 0 0 1

0 ´6 ´5 0 1 ´3

0 ´3 ´3 1 0 ´2

˛

‚

L₂ØL₃

¨

˝

1 5 3 0 0 1

0 ´3 ´3 1 0 ´2

0 ´6 ´5 0 1 ´3

˛

‚

L₃ÐL₃´2L₂

¨

˝

1 5 3 0 0 1

0 ´3 ´3 1 0 ´2

0 0 1 ´2 1 1

˛

‚

L2ÐL2`3L3

L1ÐL1´3L3

¨

˝

1 5 0 6 ´3 ´2

0 ´3 0 ´5 3 1

0 0 1 ´2 1 1

˛

‚

L₂Ð ´¹₃L₂

¨

˝

1 5 0 6 ´3 ´2

0 1 0 ⁵₃ ´1 ´¹₃

0 0 1 ´2 1 1

˛

‚

L₁ÐL₁´5L₂

¨

˝

1 0 0 ´⁷₃ 2 ´¹₃ 0 1 0 ⁵₃ ´1 ´¹₃

0 0 1 ´2 1 1

˛

‚

Ainsi

A^´1“

¨

˝

´⁷₃ 2 ´¹₃

5

3 ´1 ´¹₃

´2 1 1

˛

‚

V Le cas particulier des matrices 2 ˆ 2

SoitA“ ˆa b

c d

˙

PM2pKq. On définit le déterminant deA, noté detpAqpar detpAq “ad´bc

Remarque26. On retrouve le

déterminant de deux vecteurs~uet~ven faisant le déterminant de la matrice de leurs coordonnées écrites en colonnes

On note parfois detpAq “

a b c d

Définition 16

(16)

SoitAPM2pKq. Aest inversible si et seulement si detpAq ‰0. Dans ce cas on a A^´1“ 1

detpAq

ˆd ´b

´c a

˙ Théorème 18

Démonstration. SoitA“ ˆa b

c d

˙

et B“

ˆd ´b

´c a

˙ . On a AB“

ˆa b c d

˙ ˆ

ˆd ´b

´c a

˙

“

ˆad´bc 0 0 ad´bc

˙

“detpAqI2

— Supposons detpAq ‰0, alorsAˆ´

1 detpAqB¯

“I₂.Aest donc inversible etA^´1“ _detpAq¹

ˆd ´b

´c a

˙

— Supposons que detpAq “0. Supposons de plus par l’absurde queAest inversible.

On a alorsAB“02,2, d’oùA^´1AB“02,2, c’est-à-direB“02,2 ce qui est clairement absurde.

AinsiAn’est pas inversible.