Background 1.1 Éléments d’analyse matricielle 1.2 Espaces vectoriels

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(1)Recueil d’exercices corrigés et aide-mémoire. Gloria Faccanoni i http://faccanoni.univ-tln.fr/enseignements.html Année 2019 – 2020 Dernière mise-à-jour : Lundi 20 janvier 2020. Table des matières. 1ère année. Parcours Sciences et Technologies des Médias Numériques. Diplôme d’ingénieur Cnam - Spécialité Informatique. Mathématiques pour les Médias Numériques. 1. Background 1.1 Éléments d’analyse matricielle 1.2 Espaces vectoriels . . . . . . . . 1.3 Systèmes linéaires . . . . . . . . 1.4 Introduction à Octave/Matlab . 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 3 3 14 17 30 45. Interpolation 2.1 Interpolation polynomiale : base canonique, base de L AGRANGE, base de N EWTON 2.2 Splines : interpolation composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Interpolation Trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 125 125 130 130 133. 3. De l’interpolation à l’approximation d’intégrales : formules de quadrature interpolatoires 3.1 Calcul analytique de primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Calcul approché de primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155 155 159 162. 4. De l’interpolation à l’approximation d’EDO 4.1 EDO : généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Calcul analytique des solutions de quelques types d’EDO d’ordre 1 4.3 Quelques schémas numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 179 179 183 187 195. Fonctions de plusieurs variables 5.1 Dérivées partielles du premier ordre et gradient . . . . . . . 5.2 Dérivées partielles de deuxième ordre et matrice hessienne 5.3 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 223 225 227 229 231. Approximation au sens des moindres carrées : fonction de meilleur approximation (fitting) 6.1 Fitting par une relation affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Fitting polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Fitting non polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. 251 251 254 255 259 260. Méthodes de résolution numériques des systèmes linéaires 7.1 Systèmes linéaires et conditionnement . . . . . . . . . 7.2 Méthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 273 273 274 279 281. Valeurs propres et vecteurs propres 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . 8.2 Applications . . . . . . . . . . . . 8.3 Localisation des valeurs propres 8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 309 309 312 316 320. 2. 5. 6. 7. 8. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ..

(2) Ce fascicule est un support pour le cours de mathématiques de la première année du Diplôme d’ingénieur Cnam – Spécialité I NFORMATIQUE – Parcours S CIENCES ET T ECHNOLOGIES DES M ÉDIAS N UMÉRIQUES (parcours en alternance). Ce document donne une aperçue des thèmes qui constituent le socle des connaissances mathématiques indispensables pour votre parcours. L’objectif principal de ce cours est la mise en œuvre des connaissances mathématiques acquises les années précédentes dans un contexte de modélisation et initiation à l’analyse numérique pour les médias numériques. On y présente les concepts fondamentaux de la façon la plus intuitive possible avant de procéder à une mise en forme abstraite. Avec un souci de rigueur, mais sans insister sur les concepts les plus abstraits que ne rencontrera probablement pas un élève-ingénieur, on a choisi de détailler le moindre calcul et les difficultés apparaissent progressivement. Les pré-requis sont limités à ceux acquis en premier cycle. Les exercices et problèmes corrigés, classiques ou plus originaux, sont nombreux et variés. Le but du cours est une ouverture vers des techniques mathématiques appliquées à des problèmes issus des Technologies du numérique. Actuellement il est impossible d’aborder ce sujet sans faire des simulations numériques et le langage Octave/Matlab a été choisi comme langage de programmation du cours. La documentation et les sources peuvent être téléchargées à l’adresse https://www.gnu.org/software/octave/. Les notions supposées connues correspondent au programme des cours de Mathématiques (Analyse mathématique des fonctions réelles d’une ou plusieurs variables réelles et Algèbre Linéaire) et Informatiques (Initiation à l’algorithmique). L’objet de cet aide-mémoire est de proposer une explication succincte des concepts vus en cours. Ici on a cherché, compte tenu des contraintes de volume horaire, des acquis des étudiants et des exigences pour la suite du cursus, à dégager les points clés permettant de structurer le travail personnel de l’étudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Ce polycopié ne dispense pas des séances de cours-TD ni de prendre des notes complémentaires. Il est d’ailleurs important de comprendre et apprendre le cours au fur et à mesure. Ce polycopié est là pour éviter un travail de copie qui empêche parfois de se concentrer sur les explications données oralement mais ce n’est pas un livre auto-suffisant et il est loin d’être exhaustif ! De plus, ne vous étonnez pas si vous découvrez des erreurs (merci de me les communiquer).. Mathématiques pour l’Informatique CM-TD-TP 70h 20 séances de 3h30. Gloria FACCANONI IMATH Bâtiment M-117 Université de Toulon Avenue de l’université 83957 LA GARDE - FRANCE. T 0033 (0)4 83 16 66 72 B gloria.faccanoni@univ-tln.fr i http://faccanoni.univ-tln.fr.

(3) Chapitre 1 Background 1.1 Éléments d’analyse matricielle 1.1.1 Généralité On appelle MATRICE m × n (ou d’ordre m × n) à coefficients dans K tout tableau de m lignes et n colonnes d’éléments de K. L’ensemble des matrices m × n à coefficients dans K est noté Mm,n (K). On convient de noter a i j l’élément de la matrice situé sur la i -ème ligne et j -ème colonne (1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n). Une matrice A est représentée entre deux parenthèses ou deux crochets : . a 11  .  ..   A =  ai 1   ..  . a m1. ... ... ....  a 1n ..  .    ai n   ..  .  a mn. ou. A = (a i j )1≤i ≤m. ou. a1 j .. . ai j .. . am j. ... ... .... . a 11  .  ..   A =  ai 1   ..  . a m1. a1 j .. . ai j .. . am j. ... ... .... ... ... ....  a 1n ..  .    ai n   ..  .  a mn. ou encore A = [a i j ]1≤i ≤m. 1≤ j ≤n. 1≤ j ≤n. ?. Si m = n on dit qu’on a une MATRICE CARRÉE. L’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans K est noté Mn (K).. ?. Une matrice m × 1 est appelée VECTEUR - COLONNE et une matrice 1 × n est appelée VECTEUR - LIGNE.. ?. La MATRICE NULLE, notée Om,n , est la matrice dont tous les éléments sont nuls.. ?. On appelle MATRICE DIAGONALE toute matrice carrée D = (d i j )1≤i , j ≤n telle que i 6= j =⇒ d i j = 0. Si on note d i ≡ d i i , une matrice diagonale est de la forme  d1 0   . Dn =   ..  0 0. 0 d2 .. . 0 0. ... .... 0 0 .. .. ... .... d n−1 0.  0 0  ..   . .  0 dn. On la note Diag(d 1 , d 2 , . . . , d n ). ?. La MATRICE IDENTITÉ d’ordre n, notée In , est la matrice diagonale Diag(1, 1, . . . , 1). | {z }. ?. On dit qu’une matrice carrée A = (a i j )1≤i , j ≤n est. n. ? TRIANGULAIRE SUPÉRIEURE ? TRIANGULAIRE INFÉRIEURE. ?. si i > j =⇒ a i j = 0, si i < j =⇒ a i j = 0.. On appelle matrice TRANSPOSÉE de A, notée AT , la matrice A = (a j i ) 1≤ j ≤n . C’est donc une matrice de Mn,m (R) 1≤i ≤m. obtenue en échangeant lignes et colonnes de la matrice initiale. Bien évidemment (AT )T = A.. 3.

(4) Chapitre 1 Background ?. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. On appelle matrice ADJOINTE (ou CONJUGUÉE TRANSPOSÉE) de A, notée AH , la matrice A = (a j i ) 1≤ j ≤n . C’est donc 1≤i ≤m. une matrice de Mn,m (C) obtenue en échangeant lignes et colonnes de la matrice initiale et en prenant le nombre complexe conjugué. Bien évidemment (AH )H = A. ?. Une matrice A est dite SYMÉTRIQUE si AT = A, i.e. si a i j = a j i pour tout i 6= j .. ?. Une matrice A est dite HERMITIENNE ou AUTOADJOINTE si AH = A, i.e. si a i j = a j i pour tout i 6= j .. ?. Si A est une matrice carrée d’ordre n, on définit la TRACE de A comme la somme des éléments de la diagonale P principale : tr(A) ≡ ni=1 a i i . Par conséquent tr(AT ) = tr(A).. On remarque qu’une matrice DIAGONALE est triangulaire supérieure et inférieure (i.e. i 6= j =⇒ a i j = 0). E XEMPLE ³ −1 4 2 ´ ? La matrice A = 0 1 −3 est carrée et d’ordre 3 à coefficients dans Z. 4 1 5 µ1 2 3 4 ¶ 56 7 ? La matrice U = 0 0 0 2 −1 est une matrice triangulaire supérieure. 0 0 0 −5 ¶ 0 0 0 4 0 0 0 ? La matrice L = 5 −1 2 0 est une matrice triangulaire inférieure. 7 9 15 4 µ1 0 0 0¶ −8 0 0 ? La matrice D = 0 0 0 7 0 est une matrice diagonale. 0 0 00 µ1 0 0 0¶ 100 ? La matrice I4 = 0 0 0 1 0 est la matrice identité d’ordre 4. 0001. µ1. ? ? ? ? ?. La matrice B = ( 7 0 8 2 ) est une matrice ligne (= vecteur ligne) d’ordre 4. ³7´ La matrice C = 0 est une matrice colonne (= vecteur colonne) d’ordre 3. 9 ³ 1 5 −9 ´ La matrice A = 5 4 0 est symétrique. −9 0 7 ³ 1 3´ ¡ ¢ 5 alors AT = −1 0 . Si A = 13 −1 0 7 5 7 ³1 2 0 ´ La trace de la matrice A = 0 2 3 est tr(A) = a 11 + a 22 + a 33 = 1 + 2 + (−2) = 1. 0 −1 −2. 1.1.2 Calcul matriciel élémentaire Addition de matrices Si A = (a i j )1≤i ≤m et B = (b i j )1≤i ≤m sont deux matrices m × n, on définit l’ADDITION des matrices par 1≤ j ≤n. 1≤ j ≤n. A + B = (a i j + b i j )1≤i ≤m . 1≤ j ≤n. La MATRICE OPPOSÉE D ’ UNE MATRICE A est notée −A. Si A = (a i j )1≤i ≤m alors −A = (−a i j )1≤i ≤m . 1≤ j ≤n. 1≤ j ≤n. E XEMPLE Soient les matrices 2 × 3 suivantes : A=. µ. 3 1. 4 3. La somme de A et B est la matrice 2 × 3 suivante : µ 3+6 A+B = 1+2. ¶ 2 , 5. 4+1 3+0. B=. µ 6 2. 1 0. ¶ µ 2+9 9 = 5+3 3. ¶ 9 . 3. 5 3. ¶ 11 . 8. ATTENTION La somme de deux matrices d’ordres différents n’est pas définie. Si A, B et C sont des matrices de même ordre, alors nous avons. 4. ?. A + B = B + A (commutativité),. ?. A + (B + C) = (A + B) + C (associativité),. ?. (A + B)T = AT + BT. © 2019-2020 G. Faccanoni.

(5) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. ?. (A + B)H = AH + BH. ?. tr(A + B) = tr(A) + tr(B).. E XEMPLE Soient les matrices 2 × 2 suivantes : A=. µ 1 3. ¶ −1 , 0. B=. µ 6 2. ¶ −5 , 1. C=. µ 0 2. ¶ 2 . 4. On a alors µ 1+6 A+B = 3+2. ¶ µ −1 − 5 7 = 0+1 5. ¶ −6 , 1. µ 6+1 B+A = 2+3. ¶ µ −5 − 1 7 = 1+0 5. ¶ −6 , 1. µ 6+0 B+C = 2+2. ¶ µ −5 + 2 6 = 1+4 4. ¶ −3 . 5. De plus, (A + B) + C =. µ 7 7. ¶ −4 , 5. A + (B + C) =. µ 7 7. ¶ −4 . 5. Produit d’une matrice par un scalaire Si A = (a i j )1≤i ≤m est une matrice m × n et si α ∈ K, on définit le PRODUIT D ’ UNE MATRICE PAR UN SCALAIRE comme la matrice. 1≤ j ≤n. α · A = (α · a i j )1≤i ≤m 1≤ j ≤n. Si A et B sont deux matrices de même ordre et α ∈ K un scalaire, alors α · (A + B) = α · A + α · B (distributivité). De plus, (αA)T = αAT et (αA)H = αAH .. E XEMPLE µ 3 Si α = 21 et A = 1. 4 3. ¶ µ3 2 /2 alors α · A = 1 5 /2. 2 3 /2. ¶ 1 . 5 /2. Produit de matrices Si A = (a i k )1≤i ≤m est une matrice m × n et B = (b k j )1≤k≤n une matrice n × p, on définit le PRODUIT DES MATRICES par 1≤k≤n. 1≤ j ≤p. Ã AB =. n X k=1. ! ai k bk j. 1≤i ≤m 1≤ j ≤p. C’est une matrice m × p dont l’élément (AB)i j est le produit scalaire de la ligne i de A et de la colonne j de B.. © 2019-2020 G. Faccanoni. 5.

(6) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. B : n lignes p colonnes . a. i1. ×. b. 1j.                       . .. + .+ k. bk. j. .+. ai                       . a 11. .... a 1k. .... a 1n. .. .. ... .. .. .. .. .. .. ai 1. .... ai k. .... ai n. .. .. .. .. .. .. ... .. .. a m1. .... a mk. .... .. b 11. .... b1 j. .... b 1p. .. .. ... .. .. .. .. .. .. b k1. .... bk j. .... b kp. .. .. .. .. .. .. ... .. .. b n1. .... bn j. .... .. .. b np.                       . .. +. ai. ×. . .. a mn. p. ×. bp. j. . .                      .                      .  c 11. .... c1 j. .... c 1p. .. .. ... .. .. .. .. .. .. ci 1. .... ci j. .... ci p. .. .. .. .. .. .. ... .. .. c m1. .... c mk. .... .. .. c mp.                      . C = AB : m lignes p colonnes. A : m lignes n colonnes E XEMPLE Soient les deux matrices A=. µ. 1 −1. ¶ 0 2. 3 1. . et. 1 B = 0 0. 2 2 −1.  0 3 . −2. La matrice A est d’ordre 2 × 3, la matrice B est d’ordre 3 × 3, donc la matrice produit AB est une matrice d’ordre 2 × 3 : AB =. µ. 1×1+3×0+0×0 −1 × 1 + 1 × 0 + 2 × 0. ¶ µ 1 × 0 + 3 × 3 + 0 × (−2) 1 = −1 × 0 + 1 × 3 + 2 × (−2) −1. 1 × 2 + 3 × 2 + 0 × (−1) −1 × 2 + 1 × 2 + 2 × (−1). 8 −2. ¶ 9 . −1. E XEMPLE Une société commerciale possède deux magasins dont l’aménagement du parc informatique est le suivant : ? Magasin 1 : 12 PC, 5 tablettes et 10 smartphones, ? Magasin 2 : 17 PC, 6 tablettes et 14 smartphones. ¡ 5 10 ¢ On peut associer à cet équipement la matrice M = 12 17 6 14 . La société souhaite améliorer son équipement de la manière suivante : ? Magasin 1 : +3 PC, +2 tablettes et +2 smartphones, ? Magasin 2 : +5 PC, +3 tablettes et +4 smartphones. ¡ ¢ Ce nouvel équipement peut être associé à la matrice N = 35 23 24 . Le répartition du nouvel aménagement du parc informatique des deux magasins sera donc M+N =. µ 12 17. 5 6. ¶ µ 10 3 + 14 5. 2 3. ¶ µ 2 15 = 4 22. 7 9. 12 18. ¶. Pour acheter le nouvel équipement, la société commerciale a le choix entre deux fournisseurs :. 6. © 2019-2020 G. Faccanoni.

(7) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. ? ?. Fournisseur 1 : 600 ¤ le PC, 180 ¤ la tablette et 60 ¤ le smartphone, Fournisseur 2 : 550 ¤ le PC, 200 ¤ la³tablette´ et 50 ¤ le smartphone.. On peut associer ces prix à la matrice P =. 600 550 180 200 60 50. .. On obtient les prix du nouvel aménagement selon les magasins et selon les fournisseurs en calculant µ 3 NP = 5. 2 3.  ¶ 600 2  180 4 60.  µ 550 3 × 600 + 2 × 180 + 2 × 60  200 = 5 × 600 + 3 × 180 + 4 × 60 50. ¶ µ 3 × 550 + 2 × 200 + 2 × 50 2280 = 5 × 550 + 3 × 200 + 4 × 50 3780. 2150 3550. ¶. Par exemple, le prix de l’investissement pour le magasin 1 est de 2280 ¤ avec le fournisseur 1 et de 2150 ¤ avec le fournisseur 2. ATTENTION AB 6= BA en général (non commutativité). Prenons le cas général avec A d’ordre m × p et B d’ordre p × n. Le produit AB est défini, c’est une matrice d’ordre m × n. Qu’en est-il du produit BA ? Il faut distinguer trois cas : ?. si m 6= n le produit BA n’est pas défini ;. ?. si m = n mais p 6= n, le produit AB est défini et c’est une matrice d’ordre m × n tandis que le produit BA est défini mais c’est une matrice d’ordre p × p donc AB 6= BA ;. ?. si m = n = p, A et B sont deux matrices carrées d’ordre m. Les produits AB et BA sont aussi carrés et d’ordre m mais là encore, en général, AB 6= BA ;. E XEMPLE Soient les matrices µ 1 A= 3. ¶ −1 , 0. µ. ¶. µ 6 B= 2. ¶ −5 . 1. On obtient AB =. 4 18. −6 −15. et. BA =. µ −9 5. ¶ −6 . −2. Si les dimensions sont compatibles, on a les propriétés suivantes : 1. A(BC) = (AB)C (associativité). 2. A(B + C) = AB + AC (distributivité). 3. AIn = In A = A. 4. (AB)T = BT AT. 5. (AB)H = BH AH. 6. tr(AB) = tr(BA). q. Si A est une matrice carrée, on note A (pour q ≥ 2) la matrice définie par Aq ≡ A | ×A× {z· · · × A} . q fois. Si la matrice est diagonale, i.e. si Ai j = 0 pour i 6= j , alors (Aq )i j = (Ai j )q .. Inverse d’une matrice carrée Une matrice carrée A ∈ Mn (K) est dite INVERSIBLE (ou régulière) s’il existe une matrice B ∈ Mn (K) telle que AB = BA = In . Si une telle matrice existe, alors elle est unique, on la note A−1 et on l’appelle matrice INVERSE de A. ?. Si une matrice est non inversible (i.e. il n’existe pas A−1 ), on dit qu’elle est SINGULIÈRE.. ?. Une matrice carrée A est dite ORTHOGONALE si elle est inversible et AT A = AAT = In , i.e. si AT = A−1 .. ?. Une matrice carrée A est dite UNITAIRE si elle est inversible et A A = AA = In , i.e. si AH = A−1 .. H. H. Soit A et B deux matrices inversibles, alors ¡ ¢−1 ? A−1 l’est aussi et A−1 = A, ¡ T ¢−1 ¡ −1 ¢T T ? A l’est aussi et A = A , ?. AB l’est aussi et (AB)−1 = B−1 A−1 .. © 2019-2020 G. Faccanoni. 7.

(8) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. E XEMPLE Considérons les matrices µ 1 A= 2. 1 4. ¶. − 21. µ. 2 B= −1. ¶. 1 2. .. On a AB =. µ 1 2. 1 4. ¶µ. 2 −1. − 21 1 2. ¶ =. µ 1 0. 0 1. ¶. BA =. µ. 2 −1. − 21 1 2. ¶µ. 1 2. ¶ µ 1 1 = 4 0. 0 1. ¶. On dit que B est la matrice inverse de A et réciproquement.. 1.1.3 Définition et calcul pratique d’un déterminant Définition 1.1 (D ÉTERMINANT d’une matrice d’ordre n (règle de L APLACE)) Soit A une matrice carrée d’ordre n. Étant donné un couple (i , j ) d’entiers, 1 ≤ i , j ≤ n, on note Ai j la matrice carrée d’ordre n − 1 obtenue en supprimant la i -ème ligne et la j -ème colonne de A. Le DÉTERMINANT de A, noté det(A) ou |A|, est défini par récurrence sur l’ordre de la matrice A : ?. si n = 1 : le déterminant de A est le nombre det(A) ≡ a 11 ,. ?. si n > 1 : le déterminant de A est le nombre det(A) ≡. n X. (−1)i + j a i j det(Ai j ). quelque soit la ligne i , 1 ≤ i ≤ n,. j =1. ou, de manière équivalente, le nombre det(A) ≡. n X. (−1)i + j a i j det(Ai j ). quelque soit la colonne j , 1 ≤ j ≤ n.. i =1. Astuce Pour se souvenir des signes de ces deux formules, on peut remarquer que la distribution des signes + et − avec la formule (−1)i + j est analogue à la distribution des cases noirs et blanches sur un damier : ¯ ¯ ¯+ − + − . . . ¯ ¯ ¯ ¯− + − + . . . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯+ − + − . . . ¯ ¯ ¯ . . . . ¯. .. .. .. . . . ¯¯ ¯. E XEMPLE Soit la matrice µ. a 11 A= a 21. a 12 a 22. ¶. alors det(A11 ) = a 22 ,. det(A12 ) = a 21 ,. det(A21 ) = a 12 ,. det(A22 ) = a 11 ,. donc on peut calculer det(A) par l’une des formules suivantes : ?. a 11 det(A11 ) − a 12 det(A12 ) = a 11 a 22 − a 12 a 21 (développement suivant la ligne i = 1). ?. −a 21 det(A21 ) + a 22 det(A22 ) = −a 21 a 12 + a 22 a 11 (développement suivant la ligne i = 2). ?. a 11 det(A11 ) − a 21 det(A21 ) = a 11 a 22 − a 21 a 12 (développement suivant la colonne j = 1). ?. −a 12 det(A12 ) + a 22 det(A22 ) = −a 12 a 21 + a 22 a 11 (développement suivant la colonne j = 2). Ces formules donnent bien le même résultat.. 8. © 2019-2020 G. Faccanoni.

(9) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. Déterminant d’une matrice d’ordre 2 — méthode pratique Soit A une matrice carrée d’ordre n = 2. µ. a 11 det(A) = det a 21. ¶ a 12 = a 11 a 22 − a 12 a 21 . a 22 −. + a 11. a 12. a 21. a 22. E XEMPLE det. µ 5 4. ¶ 7 = 5 × 3 − 7 × 4 = 15 − 28 = −13. 3. E XEMPLE Soit la matrice . a 11 A = a 21 a 31. a 12 a 22 a 32.  a 13 a 23  a 33. alors µ det(A11 ) = det µ det(A13 ) = det µ det(A22 ) = det µ det(A31 ) = det µ det(A33 ) = det. a 22 a 32 a 21 a 31 a 11 a 31 a 12 a 22 a 11 a 21. ¶ a 23 = a 22 a 33 − a 23 a 32 , a 33 ¶ a 22 = a 21 a 32 − a 22 a 31 , a 32 ¶ a 13 = a 11 a 33 − a 13 a 31 , a 33 ¶ a 13 = a 12 a 23 − a 13 a 22 , a 23 ¶ a 12 = a 11 a 22 − a 12 a 21 , a 22. µ. a 21 a 31. µ. a 12 a 32. µ. a 11 a 31. µ. a 11 a 21. det(A12 ) = det det(A21 ) = det det(A23 ) = det det(A32 ) = det. ¶ a 23 = a 21 a 33 − a 23 a 31 , a 33 ¶ a 13 = a 12 a 33 − a 13 a 32 , a 33 ¶ a 12 = a 11 a 32 − a 12 a 31 , a 32 ¶ a 13 = a 11 a 23 − a 13 a 21 , a 23. donc on peut calculer det(A) par l’une des formules suivantes : ?. a 11 det(A11 ) − a 12 det(A12 ) + a 13 det(A13 ) (développement suivant la ligne i = 1). ?. −a 21 det(A21 ) + a 22 det(A22 ) − a 23 det(A23 ) (développement suivant la ligne i = 2). ?. a 31 det(A31 ) − a 32 det(A32 ) + a 33 det(A33 ) (développement suivant la ligne i = 3). ?. −a 11 det(A11 ) + a 21 det(A21 ) − a 31 det(A31 ) (développement suivant la colonne j = 1). ?. a 12 det(A12 ) − a 22 det(A22 ) + a 32 det(A32 ) (développement suivant la colonne j = 2). ?. −a 13 det(A13 ) + a 23 det(A23 ) − a 33 det(A33 ) (développement suivant la colonne j = 3). Quelques calculs montrent que ces formules donnent bien le même résultat.. Propriété 1.2 1. Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux. 2. Le déterminant d’une matrice orthogonale est égal à 1. Astuce Il convient d’utiliser la définition de déterminant après avoir fait apparaître sur une même rangée le plus possible de zéro sachant que ?. si deux colonnes (resp. deux lignes) sont identiques ou proportionnelles, alors det(A) = 0 ;. ?. si on multiplie une colonne (resp. une ligne) par un scalaire α 6= 0, alors le déterminant est multiplié par α ;. © 2019-2020 G. Faccanoni. 9.

(10) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. ?. si on échange deux colonnes (resp. deux lignes), alors le déterminant est changé en son opposé (i.e., le déterminant change de signe) ;. ?. on ne change pas un déterminant si on ajoute à une colonne (resp. une ligne) une combinaison linéaire des autres colonnes (resp. lignes), i.e. C i ← C i + αC j ,. L i ← L i + αL j ,. avec j 6= i et α 6= 0. E XEMPLE Soit la matrice  1 A = 0 0.  1 0 5. 0 2 3. alors µ 2 det(A11 ) = det 3 µ 0 det(A21 ) = det 3 µ 0 det(A31 ) = det 2. ¶ 0 = 10, 5 ¶ 1 = −3, 5 ¶ 1 = −2, 0. µ 0 det(A12 ) = det 0 µ 1 det(A22 ) = det 0 µ 1 det(A32 ) = det 0. ¶ 0 = 0, 5 ¶ 1 = 5, 5 ¶ 1 = 0, 0. µ 0 det(A13 ) = det 0 µ 1 det(A23 ) = det 0 µ 1 det(A33 ) = det 0. ¶ 2 = 0, 3 ¶ 0 = 3, 3 ¶ 0 = 2, 2. donc on peut calculer det(A) par l’une des formules suivantes : ?. 1 det(A11 ) + 0 det(A12 ) + 1 det(A13 ) = 10 + 0 + 0 = 10. ?. 0 det(A21 ) + 2 det(A22 ) + 0 det(A23 ) = 0 + 2 × 5 + 0 = 10 L99 formule pratique car il n’y a qu’un déterminant à calculer. ?. 0 det(A31 ) + 3 det(A32 ) + 5 det(A33 ) = 0 + 0 + 5 × 2 = 10. ?. 1 det(A11 ) + 0 det(A21 ) + 0 det(A31 ) = 10 + 0 + 0 = 10 L99 formule pratique car il n’y a qu’un déterminant à calculer. ?. 0 det(A12 ) + 2 det(A22 ) + 3 det(A32 ) = 0 + 2 × 5 + 0 = 10. ?. 1 det(A13 ) + 0 det(A23 ) + 5 det(A33 ) = 0 + 0 + 5 × 2 = 10. On peut sinon faire apparaître encore plus de zéros dans la matrice jusqu’à obtenir une matrice triangulaire :  1 det(A) = det 0 0. 0 2 3.   1 1 L 3 ←L 3 − 23 L 2 0 = det 0 0 5. 0 2 0.  1 0 = 10. 5. Déterminant d’une matrice d’ordre 3 — méthode pratique (règle de S ARRUS) Soit A une matrice carrée d’ordre n = 3. Alors   a 11 a 12 a 13 ¡ ¢ ¡ ¢ det(A) = det a 21 a 22 a 23  = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 a 31 a 32 a 33 +. +. −. +. −. −. a 11. a 12. a 13. a 11. a 12. a 21. a 22. a 23. a 21. a 22. a 31. a 32. a 33. a 31. a 32. E XEMPLE Soit la matrice . 1 A = 0 0. 0 2 3.  1 0 5. alors avec la règle de S ARRUS. 10. © 2019-2020 G. Faccanoni.

(11) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. +. −. +. +. −. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 2. 0. 0. 2. 0. 3. 5. 0. 3. −. det(A) = (1 × 2 × 5 + 0 × 0 × 0 + 1 × 0 × 3) − (1 × 2 × 0 + 1 × 0 × 3 + 0 × 0 × 5) = 10. Si on utilise la définition (règle de L APLACE), en développant selon la première colonne on obtient det(A) = 1 × det. µ 2 3. ¶ 0 = 2 × 5 − 0 × 3 = 10. 5. E XEMPLE Soit la matrice . 5 A = 4 2.  1 2 6. 7 3 1. alors +. −. +. +. −. 5. 7. 1. 5. 7. 4. 3. 2. 4. 3. 2. 1. 6. 2. 1. −. det(A) = (5 × 3 × 6 + 7 × 2 × 2 + 1 × 4 × 1) − (1 × 3 × 2 + 5 × 2 × 1 + 7 × 4 × 6) = −62.. ATTENTION La règle de S ARRUS ne s’applique qu’à des matrices d’ordre 3.. E XEMPLE Soit la matrice d’ordre 4 suivante :  1 2 A= 1 1. 0 0 2 2. 0 1 0 3.  1 0  4 0. Alors  0 det(A) = det(A11 ) − det(A14 ) = det 2 2. 1 0 3.   0 2 4 − det 1 0 1. 0 2 2.  µ 1 2 0 = − det 2 3. ¶ ¢ 4 ¡ − 12 + 0 + 2 − 2 − 0 − 0 = −(−8) − 12 = −4. 0. Si on essaye de «généraliser» la règle de S ARRUS on n’obtient pas le bon résultat : ³ ´ ³ ´ 1 × 0 × 0 × 0 + 0 × 1 × 4 × 1 + 0 × 0 × 1 × 2 + 1 × 2 × 2 × 3 − 1 × 1 × 2 × 1 + 1 × 0 × 0 × 2 + 0 × 2 × 4 × 3 + 0 × 0 × 1 × 0 = 10.. Théorème 1.3 A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.. Propriété 1.4 ? det(AT ) = det(A), det(AH ) = det(A), 1 ? det(A−1 ) = , det(A) ?. © 2019-2020 G. Faccanoni. 11.

(12) Chapitre 1 Background ?. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. det(AB) = det(A) · det(B).. Définition 1.5 (Rang) Le RANG d’une matrice quelconque A ∈ Mm,n , noté rg(A), est égal au plus grand entier s tel que l’on puisse extraire de A une matrice carrée d’ordre s inversible, c’est-à-dire de déterminant non nul. Il représente le nombre maximum de vecteurs colonnes de A linéairement indépendants (ou, ce qui est équivalent, le nombre maximum de vecteurs lignes linéairement indépendants). Remarque Soit une matrice A ∈ Mm,n . Alors 0 ≤ rg(A) ≤ min(m, n) et rg(A) = 0 si et seulement si tous les éléments de A sont nuls. E XEMPLE Soit A la matrice suivante A=. µ 1 1. 3 3. ¶ 2 . 1. Le rang de A est 2 car ? A est d’ordre 2 × 3 donc s ≤ min{2, 3} donc s = 0, 1 ou 2 ; ? il existe au moins un élément de A différent de zéro, donc s 6= 0 ; ? comme le déterminant de la sous-matrice composée de la première et de la deuxième colonne est nul, on ne peut pas conclure ; ? comme le déterminant de la sous-matrice composée de la première et de la troisième colonne est non nul, alors s = 2. E XEMPLE Soit A la matrice suivante . 1 A= 0 −1. 0 5 0.  1 −1 . −1. Le rang de A est 2 car ? A est d’ordre 3 × 3 donc s ≤ 3, i.e. s = 0, 1, 2 ou 3 ; ? il existe au moins un élément de A différent de zéro, donc s 6= 0 ; ? le déterminant de A est 0 donc s 6= ³3 ; ´ 0 ? le déterminant de la sous-matrice 1 0 5 est non nul, donc s = 2.. Opérations élémentaires sur les matrices Définition 1.6 (Opérations élémentaires sur les lignes d’une matrices) Les opérations (ou manipulations) élémentaires sur les lignes d’une matrices M ∈ Mm,n sont ?. la multiplication d’une ligne L i par un scalaire non nul α : L i ← αL i ;. ?. l’addition d’un multiple d’une ligne αL j à une autre ligne L i : L i ← L i + αL j ;. ?. l’échange de deux lignes : Li ↔ L j .. Ces transformations sont équivalentes à la multiplication à gauche (pré-multiplication) de la matrice M ∈ Mm,n par la matrice inversible obtenue en appliquant à la matrice identité Im la transformation correspondante. Par exemple, la transformation qui échange les premières deux lignes de la matrice M ∈ M4,3 suivante a d  g p . 12. b e h q.   c d a f L ↔L 1 2  −−−−−→  g i r p. e b h q.  f c  i r. © 2019-2020 G. Faccanoni.

(13) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. équivaut à multiplier M à gauche par la matrice obtenue en échangeant les premières deux lignes de la matrice identité I4 : 0 1  0 0 . 1 0 0 0. 0 0 1 0.  0 a  0  d 0  g 1 p. b e h q.   c d a f = i  g r. e b h q. p.  f c  i r. Définition 1.7 (Opérations élémentaires sur les colonnes d’une matrices) Les opérations élémentaires sur les colonnes d’une matrice M ∈ Mm,n sont ?. la multiplication d’une colonne C i par un scalaire α non nul : C i ← αC i ;. ?. l’addition d’un multiple d’une colonne αC j à une autre colonne C i : C i ← C i + αC j ;. ?. l’échange de deux colonnes : Ci ↔ C j .. Ces transformations sont équivalentes à la multiplication à droite (post-multiplication) de la matrice M ∈ Mm,n par la matrice inversible obtenue en appliquant à la matrice identité In la transformation correspondante. Par exemple la transformation qui échange les deux premières colonnes de la matrice M précédente s’obtient comme suit : a d  g p. b e h q. .  c  0 f  1 i 0 r. 1 0 0.   b 0 e 0 =  h 1 q. a d g p.  c f  i r. Définition 1.8 (Matrices ÉQUIVALENTES) Deux matrices sont dites ÉQUIVALENTES si on peut passer de l’une à l’autre par des opérations élémentaires.. Théorème 1.9 Deux matrices équivalentes ont le même rang.. 1.1.4 Produits scalaires et vectoriels et normes On a très souvent besoin, pour quantifier des erreurs ou mesurer des distances, de calculer la “grandeur” d’un vecteur ou d’une matrice. Nous introduisons pour cela la notion de norme vectorielle et celle de norme matricielle. Définition 1.10 (p-norme ou norme de H ÖLDER) On définit la p-norme (ou norme de H ÖLDER) par Ã def. kxkp =. n X. !1/p |x i |. p. ,. pour 1 ≤ p < +∞. i =1. où les x i sont les composantes du vecteur x. Quand on prend p = 2 on retrouve la définition classique de la norme euclidienne. Définition 1.11 (Norme infinie ou norme du maximum) On définit la norme infinie (ou norme du maximum) par def. kxk∞ = max |x i |. 1≤i ≤n. où les x i sont les composantes du vecteur x.. © 2019-2020 G. Faccanoni. 13.

(14) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. 1.2 Espaces vectoriels Dans cette section, nous rappelons les notions élémentaires d’algèbre linéaire que nous utiliserons dans le reste du polycopié. Définition 1.12 (Espace vectoriel) Un ESPACE VECTORIELsur un corps K (K = C ou K = R) est un ensemble E contenant au moins un élément, noté 0E , ou simplement 0, muni d’une loi interne notée +, appelée addition, et d’une loi externe notée ·, appelée multiplication par un scalaire, qui possède les propriétés suivantes : pour tout u, v, w ∈ E et pour tout α, β ∈ K,. À u + (v + w) = (u + v) + w. (associativité). Á u+v = v+u. (commutativité). Â u + 0E = 0E + u = u. (existence d’un élément neutre pour l’addition). Ã u + (−u) = (−u) + u = 0E en notant −u = (−1K ) · u. (existence d’un élément opposé). Ä (α + β) · u = α · u + β · u. (compatibilité avec la somme des scalaires). Å α · (u + v) = α · u + α · v. (compatibilité avec la somme des vecteurs). Æ α · (β · u) = (αβ) · u. (compatibilité avec le produit des scalaires). Ç 1K · u = u. (compatibilité avec l’unité). Les éléments de K sont appelés SCALAIRES, ceux de E sont appelés VECTEURS. L’élément unité de K est noté 1K , l’élément neutre de l’addition 0E est appelé VECTEUR NUL, le symétrique d’un vecteur u pour l’addition est appelé VECTEUR OPPOSÉ DE u et est noté −u. E XEMPLE 1. L’ensemble Rn = { (x 1 , x 2 , . . . , x n ) | x i ∈ R }, n ≥ 1, est un espace vectoriel pour les opérations somme (x 1 , x 2 , . . . , x n ) + (y 1 , y 2 , . . . , y n ) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , . . . , x n + y n ) et multiplication α · (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (αx 1 , αx 2 , . . . , αx n ). ¯ © ª P i −1 ¯ 2. L’ensemble Rn [x] = p(x) = n+1 αi ∈ R ou C des polynômes de degré inférieur ou égal à n, n ≥ 0, à coi =1 αi x P i −1 efficients réels ou complexes, est un espace vectoriel pour les opérations somme p n (x) + q n (x) = n+1 + i =1 αi x Pn+1 Pn+1 Pn+1 i −1 i −1 i −1 β x = (α + β )x et multiplication λp = (λα )x . n i i i i =1 i i =1 i =1 Définition 1.13 (Sous-espace vectoriel) Soit E un espace vectoriel. On dit que F est un SOUS - ESPACE VECTORIEL de E si et seulement si F est un espace vectoriel et F ⊂ E. E XEMPLE ? L’ensemble { 0E } constitué de l’unique élément nul est un sous-espace vectoriel de E , à ne pas confondre avec l’ensemble vide ; qui n’est pas un sous-espace vectoriel de E (il ne contient pas le vecteur nul). ?. L’ensemble E est un sous-espace vectoriel de E .. Définition 1.14 (Combinaison linéaire) Soient u1 , u2 , . . . , up des éléments de l’espace vectoriel E et α1 , α2 , . . . , αp des éléments de K. Le vecteur p X. αi · ui. i =1. est appelé COMBINAISON LINÉAIRE des vecteurs u1 , u2 , . . . , up . E XEMPLE Considérons les trois vecteurs .  −1 u1 = −2 , −3. .  0 u2 =  2  , −1.   −1 u3 =  0  . −4. Montrons que u3 est combinaison linéaire des vecteurs u1 et u2 . Pour prouver qu’un vecteur v est une combinaison linéaire des vecteurs u1 , u2 , . . . , up il faut montrer qu’il existe p constantes α1 , α2 , . . . , αp telles que v = α1 u1 + α2 u2 + · · · + αp up .. 14. © 2019-2020 G. Faccanoni.

(15) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. On cherche alors a et b réels tels que u3 = au1 + bu2 , ce qui donne   −1 = −a, 0 = −2a + 2b,   −4 = −3a − b,. a = b = 1.. ⇐⇒. Par conséquent u3 est combinaison linéaire des vecteurs u1 et u2 car u3 = u1 + u2 . E XEMPLE Considérons les trois polynômes q 2 (x) = x + x 2 ,. q 1 (x) = 1 + x,. q 3 (x) = 1 − x 2 .. Montrons que q 3 est combinaison linéaire des polynômes q 1 et q 2 . Pour prouver qu’un polynôme v est une combinaison linéaire des polynômes q 1 , q 2 , . . . , q p il faut montrer qu’il existe p constantes α1 , α2 , . . . , αp telles que v(x) = α1 q 1 (x) + α2 q 2 (x) + · · · + αp q p (x). ∀x ∈ R.. On cherche alors a et b réels tels que ∀x ∈ R. q 3 (x) = aq 1 (x) + bq 2 (x), ce qui donne 1 − x 2 = a(1 + x) + b(x + x 2 ). ∀x ∈ R. soit encore (a − 1) + (a + b)x + (1 + b)x 2 = 0. ∀x ∈ R.. On cherche a et b réels tels que   a − 1 = 0, a + b = 0,   1 + b = 0,. ⇐⇒. a = −b = 1.. Par conséquent q 3 est combinaison linéaire des polynômes q 1 et q 2 car q 3 (x) = q 1 (x) − q 2 (x) pour tout x ∈ R. Définition 1.15 (Espace engendré) Soient u1 , u2 , . . . , up des éléments de l’espace vectoriel E . L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ces © p vecteurs ª fixés est un sous-espace vectoriel de E appelé SOUS - ESPACE VECTORIEL ENGENDRÉ par u1 , u2 , . . . , up et noté Vect u1 , . . . , up : ( ©. ª. Vect u1 , . . . , up =. ¯ ) p ¯ X ¯ u ∈ E ¯ ∃α1 , . . . , αp ∈ R, u = αi · ui . ¯ i =1. © ª Notons que le vecteur 0E et les vecteurs u1 , u2 , . . . , up appartiennent à Vect u1 , . . . , up car pour tout j = 1, 2, . . . , p 0E =. p X i =1. E XEMPLE ? Vect { 0E } = { 0E } ½µ ¶ µ 1 0 0 ? Vect , 0 1 1. 1 0. ¶¾. ½ µ 1 = a 0. ¶ µ 0 0 +b 1 1. 0 · ui. et. uj =. p X. 0 · ui + 1 · u j .. i =1 i 6= j. ¶¯ ¾ ½µ 1 ¯¯ a a, b ∈ R = 0 ¯ b. ¶¯ ¾ b ¯¯ a, b ∈ R . a ¯. Définition 1.16 (Famille libre, famille©génératrice, ª base) Soit p ∈ N∗ , E un espace vectoriel et F = u1 , . . . , up une famille de vecteurs de E . On dit que la famille F est. . .. .... GÉNÉRATRICE DE. E si et seulement si tout vecteur de E est combinaison linéaire des éléments de F : pour tout u ∈ E il existe α1 , . . . , αp ∈ R tel que u =. p X. αi · ui ;. i =1. © 2019-2020 G. Faccanoni. 15.

(16) Chapitre 1 Background. .... LIBRE. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. si et seulement si les p vecteurs u1 , . . . , up sont linéairement indépendants, c’est-dire si p X. αi · ui = 0E. =⇒. αi = 0 ∀i .. i =1. Dans le cas contraire la famille est dite liée. Pour montrer qu’une famille de plus de deux vecteurs est libre, on sera amené à résoudre le système linéaire correspondant, qui est un système homogène : la famille est libre si et seulement si le système admet uniquement la solution nulle. E si elle est libre et génératrice de E . Dans ce cas, les réels α1 , . . . , αp sont appelées COORDONNÉES ou du vecteur u dans la base F , on écrit coord(u, F ) = (α1 , . . . , αp ) et on dit que E est de DIMENSION p. Dans un espace vectoriel E de dimension finie, toutes les bases ont le même nombre d’éléments. Ce nombre, noté dim(E ), est appelé la DIMENSION de E . Attention à ne pas confondre DIMENSION et CARDINAL : dans un espace vectoriel de dimension n, toutes les bases ont le même cardinal ( i.e. même nombre d’éléments), mais il ne faut pas parler de cardinal d’un espace vectoriel, ni de dimension d’une base.. .... BASE DE. COMPOSANTES. E XEMPLE ? La famille { u = (1, 0), v = (0, 1), w = u + v } de vecteurs de R2 n’est pas libre : par exemple le vecteur (2, −1) peut s’écrire comme 2u − v, comme 2w − 3v etc. ?. La famille { u = (1, 0, −1), v = (2, 3, 5), w = (−1, 0, 1) } de vecteurs de R3 n’est pas libre car w = −u.. ?. La famille { u = (1, 1, −1), v = (2, −1, 2), w = (3, 0, 1) } de vecteurs de R3 n’est pas libre car w = u + v.. Théorème 1.17 Dans un espace vectoriel E de dimension n, une FAMILLE GÉNÉRATRICE a au moins n éléments. Si elle a plus de n éléments, alors elle n’est pas libre mais on peut en extraire une sous-famille libre de cardinal n qui est alors une base de E . Si elle a exactement n éléments, c’est une base de E . Théorème 1.18 (de la base incomplète) Dans un espace vectoriel E de dimension n, une FAMILLE LIBRE a au plus n éléments. Si elle a moins de n éléments, alors elle n’est pas une base de E mais on peut la compléter de façon à obtenir une base. Si elle a exactement n éléments, c’est une base de E . Théorème 1.19 (de la dimension) Soit F une famille d’éléments de E de dimension finie n. Les propriétés suivantes sont équivalentes :. ¶ F est une base de E · F est libre et contient n éléments ¸ F est génératrice de E et contient n éléments ¹ F est libre et génératrice de E ATTENTION On utilise ce théorème principalement pour montrer qu’une famille F est une base de E . On utilisera surtout les implications suivantes (avec E de dimension n) : ?. si F est libre et de cardinal n alors F est une base de E. ?. si F est libre et génératrice de E alors F est une base de E. E XEMPLE (B ASE CANONIQUE DE Rn ) Avec n ∈ N, l’espace vectoriel Rn est de dimension n. La famille B = { (1, 0, . . . , 0); (0, 1, . . . , 0); . . . ; (0, 0, . . . , 1) } est une base, appelée BASE CANONIQUE de Rn , car pour tout vecteur u ∈ Rn , u = (u 1 , u 2 , . . . , u n ) = u 1 · (1, 0, . . . , 0) + u 2 · (0, 1, . . . , 0) + · · · + u n · (0, 0, . . . , 1) de façon unique. E XEMPLE (B ASE CANONIQUE DE Rn [x]) © ª Avec n ∈ N, l’espace vectoriel Rn [x] des polynômes de degré ≤ n est de dimension n + 1. La base C = 1, x, x 2 , . . . , x n est appelée BASE CANONIQUE de Rn [x] car, pour tout polynôme p ∈ Rn [x], p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n de façon unique.. 16. © 2019-2020 G. Faccanoni.

(17) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. ATTENTION Ne pas confondre le vecteur u ∈ E (qui peut être un polynôme, une fonction, une matrice. . .) avec la matrice colonne de ses coordonnées dans la base B de E (qu’on peut noter coord(u, B)). E XEMPLE © ª Le polynôme p(x) = a + bx + c x 2 a pour coordonnées (a, b, c) dans la base canonique C = 1, x, x 2 de R2 [x] mais n’est pas égale au vecteur (a, b, c) de R3 . Tous ce qu’on peut dire est que le polynôme p(x) = a + bx + c x 2 de R2 [x] et le vecteur (a, b, c) de R3 ont les mêmes coordonnées dans les bases canoniques respectives. Astuce © ª Si F = e1 , . . . , ep est une famille génératrice d’un espace vectoriel E et si un des vecteurs de F (par exemple e1 ) est une combinaison linéaire des autres vecteurs de F , alors F \ { e1 } est encore une famille génératrice de E . Ce résultat permet en particulier de construire une base d’un espace vectoriel connaissant une famille génératrice de cet espace. Astuce © ª Pour déterminer le rang d’une famille de vecteurs F = e1 , . . . , ep d’un espace vectoriel E on cherche d’éventuelles relations entre les vecteurs e1 , . . . , ep : ?. si la famille est libre, on en déduit que rg(F ) = p. ?. sinon, on cherche à exprimer un vecteur ei comme combinaison linéaire des autres vecteurs et on «élimine» ce vecteur de la famille ; on procède ainsi jusqu’à obtenir une famille libre contenue dans F .. Avant de commencer une recherche précise, on peut encadrer rg(F ). Ainsi © ª ? rg(F ) ≤ min p, dim(E ) si E est de dimension finie ; ?. si F contient au moins deux vecteurs non colinéaires alors rg(F ) ≥ 2 ;. ?. si F contient une famille libre de q vecteurs, alors rg(F ) ≥ q.. Définition 1.20 (Rang d’une famille de vecteurs) Soit E un espace vectoriel et F = { e1 , e2 , . . . , en } une famille d’éléments de E . On appelle RANG DE F , et on note rg(F ), la dimension du sous-espace vectoriel de E engendré par F : rg(F ) = dim(Vect { e1 , e2 , . . . , en }). ATTENTION Le rang d’une matrice A est le rang des vecteurs colonnes de A, c’est-à-dire la dimension du sous-espace vectoriel qu’ils engendrent. Donc rg(F ) = rg([e1 , e2 , . . . , en ]), où [e1 , e2 , . . . , en ] est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs de la famille F .. 1.3 Systèmes linéaires Soit n, p ≥ 1 des entiers. Un SYSTÈME LINÉAIRE n × p est un ensemble de n équations linéaires à p inconnues de la forme. (S).  a x   11 1 .. .   a n1 x 1. +. .... +. +. .... +. a 1p x p .. . a np x p. = =. b1 , .. . bn .. ?. Les COEFFICIENTS a i j et les SECONDES MEMBRES b i sont des éléments donnés de K.. ?. Les INCONNUES x 1 , x 2 , . . . , x p sont à chercher dans K.. ?. Une SOLUTION de (S) est un p-uplet (x 1 , x 2 , . . . , x p ) qui vérifie simultanément les n équations de (S). Résoudre (S) signifie chercher toutes les solutions.. ?. Un système est IMPOSSIBLE, ou incompatible, s’il n’admet pas de solution. Un système est POSSIBLE, ou compatible, s’il admet une ou plusieurs solutions.. ?. Deux systèmes sont ÉQUIVALENTS s’ils admettent les mêmes solutions.. © 2019-2020 G. Faccanoni. 17.

(18) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. ?. Le SYSTÈME HOMOGÈNE associé à (S) est le système obtenu en remplaçant les b i par 0.. ?. Un système est CARRÉ si n = p.. Si on note  x1  .  x =  ..  xp.  b1  .  b =  ..  bn. . a 11  .. A= . a n1. . . ... ....  a 1p ..  .  a np. le système (S) est équivalent à l’écriture matricielle Ax = b. Si on ajoute le vecteur-colonne des seconds membres b à la matrice des coefficients A, on obtient ce qu’on appelle la matrice augmentée que l’on note [A|b].. Système linéaire carrée et matrice inverse Tout système linéaire de n équations à n inconnues peut s’écrire sous la forme matricielle Ax = b ; A est une matrice carrée de dimension n et x et b sont des vecteurs colonnes de dimension n, où x est l’inconnue et b un vecteur donné. Si A est inversible alors ce système possède une unique solution x donnée par x = A−1 b. E XEMPLE Considérons le système linéaire ( 2x + 3y = 15 3x + 4y = 12 Si on pose A =. ¡2 3¢ 34. ,x=. ¡x¢ y. et b =. ¡ 15 ¢ 12. , alors µ 2 Ax = 3. 3 4. ¶µ ¶ µ ¶ x 2x + 3y = y 3x + 4y. ainsi le système peut s’écrire Ax = b. On cherche donc à calculer A−1 , i.e. on cherche a, b, c, d tels que µ. a c. b d. ¶µ. 2 3. ¶ µ 3 2 = 4 3. 3 4. ¶µ. a c. ¶ µ b 1 = d 0. ¶ 0 . 1. On a µ. a c. µ 2 3. ¶µ ¶ µ b 2 3 2a + 3b = d 3 4 2c + 3d ¶µ ¶ µ 3 a b 2a + 3c = 4 c d 3a + 4c. ¶ µ 3a + 4b 1 = 3c + 4d 0 ¶ µ 2b + 3d 1 = 3b + 4d 0. ¶ 0 1 ¶ 0 1. si et seulement si a = −4, b = c = 3 et d = −2 ainsi x = A−1 b =. µ −4 3. 3 −2. ¶µ. ¶ µ ¶ 15 −24 = 12 21. Système échelonné Un système (S) est EN ESCALIER, ou ÉCHELONNÉ, si le nombre de premiers coefficients nuls successifs de chaque équation est strictement croissant. Autrement dit, un système est échelonné si les coefficients non nuls des équations se présentent avec une sorte d’escalier à marches de longueurs variables marquant la séparation entre une zone composée uniquement de zéros et une zone où les lignes situées à droite de l’escalier commencent par des termes non nuls, comme dans l’exemple suivant de 5 équations à 6 inconnues :    5x 1 −x 2 −x 3 +2x 4 +x 6 = b 1      3x −x +2x = b2  3 4 5  −x 5 +x 6 = b 3     5x 6 = b 4      0 = b5. 18. © 2019-2020 G. Faccanoni.

(19) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. La résolution d’un système linéaire Ax = b échelonné est simple car, la matrice lui associée étant triangulaire supérieure, on utilise la relation de récurrence (dite par remontée)   x n =. bn a nn ,.  x i = x i =. Ã 1 ai i. bi −. !. n P j =i +1. a i j x j , pour i = n − 1, n − 2 . . . , 1.  E XEMPLE x 1 +x 2 +x 3 = 6, x 2 +x 3 = 5, Résolution du système triangulaire supérieur :  x 3 = 3.    x 3 =. b3 a 33. = 31 ,. x2 = xi =   x = x = 1 i. 1 a 22 1 a 11. (b 2 − a 23 x 3 ) = 11 (5 − x 3 ) = 2 (b 1 − a 12 x 2 − a 13 x 3 ) = 11 (6 − x 2 − x 3 ) = 1.. Quand un système contient une équation du type 0x 1 + · · · + 0x p = b, ?. si b 6= 0 le système est impossible, si b = 0, on peut supprimer cette équation, ce qui conduit à un système équivalent à (S) dit SYSTÈME RÉDUIT. Par conséquent, un système échelonné permet d’établir si le système est possible ou impossible comme dans l’exemple suivant. ?. E XEMPLE Établir si les trois systèmes linéaires suivantes sont impossibles ou possibles et, dans ce cas, calculer la/les solution(s).  x+y+z= 6, y+z= 5, (2)  0= 0..  x+y+z= 6, y+z= 5, (1)  z= 3..  x+y+z= 6, y+z= 5, (3)  0= 3.. (1) Ce système est possible et admet une et une seule solution : en partant de la dernière ligne et en remontant, on obtient z = 3, y = 5 − z = 5 − 3 = 2, x = 6 − y − z = 6 − 2 − 3 = 1. (2) Ce système est possible et admet une infinité de solutions : en partant de la dernière ligne et en remontant, on obtient z = κ ∈ R, y = 5 − κ, x = 6 − y − z = 1. (3) Le système n’a pas de solution car aucune valeur de z permet de résoudre 0z = 3.. Systèmes équivalents Deux systèmes sont ÉQUIVALENTS s’ils ont les mêmes solutions. Les opérations suivantes donnent des systèmes équivalents : ?. remplacer une ligne par elle même ± un multiple d’une autre ligne, comme par exemple   x+y+ z= 6, x+y+z= 6, L 3 ←L 3 −L 2 y+ z= 5, −−−−−−−→ y+z= 5,   y + 2z= 8, z= 3.. ?. échanger deux lignes, comme par exemple   x+y+z= 6, x+y+z= 6, L 2 ↔L 3 z= 3, −−−−−→ y+z= 5,   y+z= 5, z= 3.. © 2019-2020 G. Faccanoni. 19.

(20) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. La méthode de G AUSS transforme un système linéaire en un système échelonné équivalent.. Méthode de Gauss La méthode de G AUSS transforme un système linéaire quelconque en un système échelonné équivalent : soit A = (a i j ) 1≤i ≤n. 1≤ j ≤p. la matrice des coefficients du système (S) et [A|b] la matrice augmentée. La méthode de G AUSS comporte n − 1 étapes : à chaque étape j on fait apparaître des 0 sur la colonne j pour les lignes i > j par des opérations élémentaires sur les lignes. Étape j : en permutant éventuellement deux lignes de la matrice augmentée (i.e. deux équations du système linéaire), on peut supposer a j j 6= 0 (appelé pivot de l’étape j ). On transforme alors toutes les lignes L i avec i > j selon la règle : Li ← Li −. ai j aj j. Lj,. ainsi on fait apparaître des 0 sur la colonne j pour les lignes i > j (i.e. on élimine l’inconnue x j dans chaque lignes L i du système linéaire). En réitérant le procédé pour i de 1 à n − 1, on aboutit à un système échelonné. E XEMPLE Soit le système linéaire  x 1 +2x 2 +3x 3 +4x 4 = 1,    2x 1 +3x 2 +4x 3 +x 4 = 2, 3x 1 +4x 2 +x 3 +2x 4 = 3,   4x 1 +x 2 +2x 3 +3x 4 = 4. 1. Résolution par la méthode du pivot de G AUSS :   x 1 +2x 2 +3x 3 +4x 4 = 1 L 2 ←L 2 −2L 1  x 1 +2x 2 +3x 3 +4x 4 = 1   L 3 ←L 3 −3L 1    2x 1 +3x 2 +4x 3 +x 4 = 2 L 4 ←L 4 −4L 1 −x 2 −2x 3 −7x 4 = 0 −−−−−−−−→   3x +4x +x +2x = 3 −2x 2 3 4 2 −8x 3 −10x 4 = 0 Étape 1    1  4x 1 +x 2 +2x 3 +3x 4 = 4 −7x 2 −10x 3 −13x 4 = 0   x 1 +2x 2 +3x 3 +4x 4 = 1 x 1 +2x 2 +3x 3 +4x 4 = 1    L 3 ←L 3 −2L 2    −x 2 −2x 3 −7x 4 = 0 L 4 ←L 4 +L 3 −x 2 −2x 3 −7x 4 = 0 L 4 ←L 4 −7L 2 −−−−−−−−→ −−−−−−−→   −4x +4x = 0 −4x 3 +4x 4 = 0 3 4 Étape 2 Étape 3     4x 3 +36x 4 = 0 40x 4 = 0 donc, en résolvant le système triangulaire supérieur obtenu, on obtient x 4 = 0,. x 3 = 0,. x 2 = 0,. x 1 = 1.. 2. Résolution par la méthode du pivot de G AUSS en écriture matricielle : 1  2 [A|b] =   3 4 . 2 3 4 1. 3 4 1 2. 4 1 2 3.  L ←L −2L  2 2 1 1 L 3 ←L 3 −3L 1  2  L ←L −4L 4 4 1   −−−−−−−−→   3 Étape 1 4. 1 0 0 0. 2 −1 −2 −7. 3 −2 −8 −10. 1  0 −−−−−−−−→   0 Étape 2 0 . L 3 ←L 3 −2L 2 L 4 ←L 4 −7L 2. 4 −7 −10 −13. 2 −1 0 0. 3 −2 −4 4.  1 0   0  0 4 −7 4 36.   1 0  ←L 4 +L 3   −L−4− −−−−→    0 Étape 3 0. 1 0 0 0. 2 −1 0 0. 3 −2 −4 0. 4 −7 4 40.  1 0   0  0. donc x 4 = 0,. x 3 = 0,. x 2 = 0,. x 1 = 1.. E XEMPLE (S YSTÈME AVEC DES PARAMÈTRES ) Pour quelles valeurs de a et c le système linéaire suivant admet aucune, une seule ou une infinité de solutions ?  x +5y +z= 0, x +6y −z= 2,  2x+a y+z= c.. 20. © 2019-2020 G. Faccanoni.

(21) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. Nous avons 3 équations donc il faut effectuer 2 étapes de la méthode de G AUSS :  x +5y +z= 0 x +6y −z= 2  2x+a y+z= c. L 2 ←L 2 −L 1 L 3 ←L 3 −2L 1. −−−−−−−−→ Étape j =1.  +z = 0 x+5y y −2z= 2  (a − 10)y−z = c. L 3 ←L 3 −(a−10)L 2. −−−−−−−−−−−−→ Étape j =2.  =0 x+5y+z y −2z =2  (2a − 21)z= c − 2(a − 10). Étudions la dernière équation : ¡ ¢ ¡ ¢ 2a − 21 z = c − 2a + 20 ?. Si a 6=. ?. si a =. 21 2 21 2. alors z =. c−2a+20 2a−21. et on trouve y puis x en remontant : il existe une et une seule solution ;. alors. ?. si c − 2a + 20 = 0 (i.e. c = 1), alors z = κ ∈ R et on trouve y puis x en remontant : il existe une infinité de solutions ;. ?. si c − 2a + 20 6= 0 (i.e. c 6= 1), alors il n’y a aucune solution.. Méthode de Gauss-Jordan Soit A = (a i j ) 1≤i ≤n la matrice des coefficients du système (S) et [A|b] la matrice augmentée. 1≤ j ≤p. Dans cette variante de la méthode du pivot de G AUSS, à chaque étape on fait apparaître des zéros à la fois au-dessus et en-dessous du pivot. Étape j : en permutant éventuellement deux lignes de la matrice augmentée, on peut supposer a j j 6= 0. On transforme alors toutes les lignes L i avec i 6= j selon la règle ai j Lj Li ← Li − aj j ainsi on élimine l’inconnue x j dans toutes les lignes L i . En réitérant le procédé pour i de 1 à n, on aboutit à un système diagonal. E XEMPLE Résoudre le système linéaire  1 2  3 4. 2 3 4 1. 3 4 1 2.     1 4 x1     1  x 2  = 2 2 x 3  3 3. x4. 4. par la méthode de G AUSS -J ORDAN. 1  2 [A|b] =   3 4 . 2 3 4 1. 3 4 1 2. 4 1 2 3.  L ←L −2L  2 2 1 1 L 3 ←L 3 −3L 1  2  L ←L −4L 4 4 1   −−−−−−−−→   3 Étape 1 4. 1 0 0 0. 2 −1 −2 −7. 3 4 −2 −7 −8 −10 −10 −13  L 1 ←L 1 −L 3 /4 1 0 L 2 ←L 2 −L 3 /2  0 −1 L 4 ←L 4 +L 3 −−−−−−−−−→   0 0 Étape 3 0 0.  L ←L +2L  1 1 2 1 1 0 −1 −10 L 3 ←L 3 −2L 2  0 −1 −2 −7 0  L ←L −7L 4 4 2  −−−−−−−−→  0  Étape 2  0 0 −4 4 0 0 0 4 36  L ←L +11L /40  1 1 4 1 0 0 4 1 L 2 ←L 2 +9L 4 /40  0 −1 0 −7 0  L ←L +4L /40 3 3 4  −−−−−−−−−−−→   0 0 −4 4 0  Étape 4 0 40 0 0 0.  1 0   0  0 0 0 −4 0. 0 0 0 40.  1 0   0  0. donc x 1 = 1,. x 2 = 0,. x 3 = 0,. x 4 = 0.. Rang d’un système linéaire Le nombre d’équations non triviales du système réduit en escalier obtenu par la méthode de G AUSS est le RANG r DE LA MATRICE A, OU DU SYSTÈME (S). Théorème 1.21 Un système carré Ax = b de n équations à n inconnues est compatible si et seulement si rg(A) = rg([A|b]). 1. Si rg(A) = n (i.e. si det(A) 6= 0) alors rg(A) = rg([A|b]) et la solution est unique. 2. Si rg(A) = rg([A|b]) < n il y a une infinité de solutions.. © 2019-2020 G. Faccanoni. 21.

(22) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. 3. Si rg(A) 6= rg([A|b]) il n’y a pas de solution. E XEMPLE On veut résoudre les systèmes linéaires suivants de 2 équations et 2 inconnues : (. ¬. (. x+y =1. . x−y =1. (. x+y =1. ®. 2x + 2y = 2. x+y =1. 2x + 2y = 1. Les matrices augmentées associées à chaque système sont ·. ¬ [A|b] =. 1 1. 1 −1. 1 1. ¸. ·. [A|b] =. 1 2. 1 2. 1 2. ¸. ·. ® [A|b] =. 1 2. 1 2. 1 1. ¸. et on a. ¬ rg(A) = rg([A|b]) = 2 donc il existe une et une seule solution. En effet, (. x+y =1. L 2 ←L 2 −L 1. (. −−−−−−−→. x−y =1. x+y =1. −2y = 0. ainsi la solution est y = 0 et x = 1 ;. rg(A) = rg([A|b]) = 1 donc il existe une infinité de solutions. En effet, (. x+y =1. L 2 ←L 2 −2L 1. 2x + 2y = 2. (. −−−−−−−−→. x+y =1. 0=0. ainsi la solution est y = κ et x = 1 − κ pour tout κ ∈ R ;. ® rg(A) = 1 et rg([A|b]) = 2 donc il n’y a pas de solution. En effet (. x+y =1. L 2 ←L 2 −2L 1. 2x + 2y = 1. (. −−−−−−−−→. x+y =1. 0 = −1. et la dernière équation est impossible.. Système de Cramer et méthode de Cramer Un SYSTÈME est dit DE C RAMER s’il a une solution, et une seule. Propriété 1.22 Considérons un système carré d’ordre n à coefficients réels. Le système est de C RAMER si une des conditions équivalentes suivantes est remplie : 1. A est inversible ; 2. rg(A) = n ; 3. le système homogène Ax = 0 admet seulement la solution nulle. Méthode de C RAMER : la solution d’un système de C RAMER d’écriture matricielle Ax = b est donnée par xj =. det(A j ) det(A). ,. 1≤ j ≤n. où A j est la matrice obtenue à partir de A en remplaçant la j -ème colonne par la colonne des seconds membres b. Cette formule est cependant d’une utilité pratique limitée à cause du calcul des déterminants qui est très coûteux. E XEMPLE (S YSTÈME D ’ ORDRE 2) On veut résoudre le système linéaire µ. a 11 a 21. a 12 a 22. ¶µ. ¶ µ ¶ x1 b1 = x2 b2. par la méthode de C RAMER. On a A=. 22. µ. a 11 a 21. ¶ a 12 , a 22. det(A) = a 11 a 22 − a 12 a 21 ,. © 2019-2020 G. Faccanoni.

(23) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. µ ¶ b 1 a 12 , b 2 a 22 µ ¶ a 11 b 1 A2 = , a 21 b 2 A1 =. det(A1 ) = b 1 a 22 − a 12 b 2 , det(A2 ) = a 11 b 2 − b 1 a 21 ,. donc x1 =. b 1 a 22 − a 12 b 2 , a 11 a 22 − a 12 a 21. x2 =. a 11 b 2 − b 1 a 21 . a 11 a 22 − a 12 a 21. E XEMPLE On veut résoudre le système linéaire  1 2 3.     2 x 2 0  y  = −1 0 z 1. −1 1 2. par la méthode de C RAMER. On a . 1 A = 2 3  2 A1 = −1 1  1 A2 = 2 3  1 A3 = 2 3.  2 0 , 0  −1 2 1 0 , 2 0  2 2 −1 0 , 1 0  −1 2 1 −1 , 2 1. −1 1 2. det(A) = 2,. det(A1 ) = −6,. det(A2 ) = 10,. det(A3 ) = 10,. donc x=. −6 = −3, 2. y=. 10 = 5, 2. z=. 10 = 5. 2. Définition 1.23 (Cofacteur & comatrice) Soit A une matrice carrée d’ordre n. Étant donné un couple (i , j ) d’entiers, 1 ≤ i , j ≤ n, on note Ai j la matrice carrée d’ordre n − 1 obtenue en supprimant la i -ème ligne et la j -ème colonne de A. On appelle COFACTEUR de l’élément a i j le nombre (−1)i + j det(Ai j ). On appelle COMATRICE de A la matrice constituée des cofacteurs de A.. µ ¶ µ E XEMPLE a b d Soit A = . Alors la matrice des cofacteurs de A est la matrice c d −b. ¶ −c . a. 1.3.1 Calcul de la matrice inverse A étant inversible, pour obtenir A−1 il suffit de résoudre le système Ax = b qui admet pour solution x = A−1 b. On peut alors calculer A−1 en résolvant n systèmes linéaires de termes sources (1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1). Les méthodes suivantes résolvent ces n systèmes linéaires simultanément.. Première méthode. 1. On calcul la matrice des cofacteurs des éléments de A, appelée comatrice de A ; 2. on transpose la comatrice de A ; 3. on divise par det(A). Cette méthode est quasi-impraticable dès que n > 3.. © 2019-2020 G. Faccanoni. 23.

(24) Chapitre 1 Background. Mis à jour le Lundi 20 janvier 2020. Deuxième méthode. La matrice A est inversible si et seulement si on obtient par opérations élémentaires sur les lignes de A une matrice triangulaire sans zéros sur la diagonale ; non inversible si et seulement si on obtient une matrice triangulaire avec un zéro sur la diagonale. Si A est inversible, on effectue les mêmes opérations sur la matrice [A|In ] jusqu’à obtenir [In |A−1 ] : Opérations élémentaires. [A|In ] −−−−−−−−−−−−−−−−→ [In |A−1 ]. µ ¶ E XEMPLE 2 0 Soit A = . Comme det(A) = 4 6= 0 la matrice est inversible. 2 2. Première méthode : on a déjà calculé le déterminant de cette matrice ainsi que la matrice des cofacteurs, il suffit alors de calculer la transposée et on obtient A−1 =. ¶ µ 1 0 = 21 2 −2. µ 1 2 4 −2. 0. ¶ .. 1 2. Deuxième méthode : on parvient au même résultat par transformations élémentaires : µ. 2 2. [A|I2 ] =. 0 2. 1 0. ¶. 0 1. L 2 ←L 2 −L 1. µ. 2 0. −−−−−−−→. 0 2. L 1 ← 12 L 1. L 2 ← 12 L 2. µ. 1 0. −−−−−−→. 1 −1 1 2 − 12. 0 1. ¶. 0 1 0. ¶. 1 2. µ ¶ E XEMPLE 2 1 Soit A = . Comme det(A) = 2 6= 0 la matrice est inversible. 2 2. Première méthode : on a déjà calculé le déterminant de cette matrice ainsi que la matrice des cofacteurs, il suffit alors de calculer la transposée et on obtient −1. A. µ 1 2 = 2 −2. ¶ µ −1 1 = 2 −1. ¶ − 21 . 1. Deuxième méthode : on parvient au même résultat par transformations élémentaires : µ. 2 2. [A|I2 ] =. 1 2. 1 0. 0 1. ¶. ¶. L 2 ←L 2 −L 1. µ. 2 0. 1 1. 1 −1. 0 1. L 1 ←L 1 −L 2. µ. 2 0. 0 1. 2 −1. L 1 ← 12 L 1. 1 0. −1 1 1 ¶. −−−−−−−→ −−−−−−−→ µ. −−−−−−→. 0 1. 1 −1. ¶. −2 1. µ ¶ E XEMPLE a b Soit A = avec det(A) = ad − bc 6= 0. c d. Première méthode : on a déjà calculé le déterminant de cette matrice ainsi que la matrice des cofacteurs, il suffit alors de calculer la transposée et on obtient A−1 =. µ 1 d ad − bc −c. ¶ −b . a. Deuxième méthode : on parvient au même résultat par transformations élémentaires : µ [A|I2 ] =. a c. b d. 1 0. 0 1. ¶. L 2 ←L 2 − ac L 1. µ. −−−−−−−−−→ b cb d− a ab L 2 =L 1 − ad −bc L 2. a 0. b d − ac b. 1 − ac. 0 1. ¶. L 1 ←L 1 −. −−−−−−−−−−−→. µ. a 0. 0 d − ac b. 1 + adbc −bc − ac. − adab −bc 1. ¶. L 1 ← a1 L 1 L2 ←. 1 a c b L 2 = ad −cb L 2 d− a. −−−−−−−−−−−−−−−−→. 24. µ. 1 0. 0 1. 1 a. + a(adbc−bc) c − ad −cb. − adab −bc a ad −cb. ¶. µ =. 1 0. 0 1. d ad −bc c − ad −cb. − ad b−bc. ¶. a ad −cb. © 2019-2020 G. Faccanoni.

Background 1.1 &Eacute;l&eacute;ments d&rsquo;analyse matricielle 1.2 Espaces vectoriels

Background 1.1 Éléments d’analyse matricielle 1.2 Espaces vectoriels