Chapitre 10 : Nombres réels et suites numériques

Chapitre 10 : Nombres réels et suites numériques

I Ensembles usuels de nombres

1.1 Définitions

• On appelle ensemble des entiers naturels, l’ensembleN={0, 1, 2, ...}

• On appelle ensemble des entiers relatifs l’ensembleZconstitué des entiers naturels et de leurs opposés : Z=N∪{−n,n∈N^∗}.

• On appelle nombre décimal tout nombre ayant une écriture décimale finie. On noteDl’ensemble des nombres décimaux :

D={ p

10ⁿ,p∈Z,n∈N}.

• On appelle nombre rationnel tout quotient d’entiers relatifs. On noteQl’ensemble des nombres ration- nels :

Q={p

q,p∈Z,q∈N^∗}.

• On noteRl’ensemble des nombres réels.

Définition 1

1.2 Relation d’ordre sur R

SoitAune partie deR. On dit que :

• M∈Rest un majorant deAssi :∀x∈A,x≤M.

• m∈Run minorant deAssi :∀x∈A,x≥m.

• Aest majorée ssiAadmet un majorant, c’est-à-dire :

∃M∈R,∀x∈A,x≤M

• Aest minorée ssiAadmet un minorant, c’est-à-dire :

∃m∈R,∀x∈A,x≥m Définition 2

SoitAune partie deR. On dit que :

• SoitM∈R. On dit queMest le maximum deAou le plus grand élément deAssi : M∈Aet∀x∈A,x≤M.

Un tel élément est unique, et est notéM=max(A).

• Soitm∈R. On dit quemest le minimum deAou le plus petit élément deAssi : m∈Aet∀x∈A,x≥m.

Un tel élément est unique, et est notém=min(A).

Définition 3

SoitAune partie deR.

• Si Aest majorée, soitF l’ensemble des majorants deA. SiFadmet un minimum, alors ce minimum est appeléborne supérieure deAet est noté sup(A).

• SiAest minorée, soitGl’ensemble des majorants deA. SiGadmet un maximum, alors ce maximum est appeléborne inférieure deAet est noté inf(A).

Définition 4

SoitAune partie deR.

• SiAadmet un maximum, alorsAadmet une borne supérieure et on a : max(A)=sup(A).

• SiAadmet un minimum, alorsAadmet une borne inférieure et on a : min(A)=inf(A).

Proposition 1

Toute partie non vide et majorée deRadmet une borne supérieure.

Toute partie non vide et minorée deRadmet une borne inférieure.

Théorème 1

1.3 Partie entière

Soitx∈ROn appelle partie entière dex, et on notebxc, le plus grand entier relatif inférieur ou égal àx: bxc =max{n∈Z,n≤x}.

Définition 5

Soitx∈R, soitn∈R.

n= bxc ⇐⇒ n∈Zetn≤x<n+1.

On a donc :

bxc ≤x< bxc +1.

Proposition 2

Soitx∈R,

• x= bxc ⇐⇒x∈Z.

• ∀n∈Z,bx+nc = bxc +n.

Proposition 3

La fonction définie surRquix7→ bxcest croissante, c’est-à-dire :

∀x,y∈R,x≤y⇐⇒ bxc ≤ byc. Proposition 4

1.4 Approximation décimale

Soientx∈Retn∈N. Il existey∈Dtel que :

y≤x<y+10⁻ⁿ.

Le nombre décimalyest appeléapproximation décimale par défaut dexà la précision10⁻ⁿ. Le nombrey+10⁻ⁿest appelé approximation décimale par excès dexà la précision 10⁻ⁿ.

Proposition 5

1.5 Intervalles

On appelle intervalle deRtoute partie deRayant l’une des formes suivantes :

[a,b], ]a,b[, [a,b[, ]a,b], [a,+∞[, ]a,+∞[, ]− ∞,b], ]− ∞,b[, {a},R,; aveca,b∈R,a<b.

Définition 6 : Intervalles deR

Soienta<b, on a :

[a,b]={t a+(1−t)b,t∈[0, 1]}.

Proposition 6

SoitIune partie deR. Alors :

Iest un intervalle si et seulement si :

∀x,y∈I, [x,y]⊂I.

Proposition 7

Toute intersection d’intervalles est un intervalle.

Corollaire 1

II Généralités sur les suites

2.1 Mode de définition d’une suite

Une suite réelleuest une application deNdansR:u: N → R n 7→ u(n)

Pour toutn∈N,u(n) est généralement notéu_net est appelé terme d’indicen. La suiteuest alors notée (u_n)_n∈N ou (u_n).

L’ensemble des suites réelles est notéR^N. Définition 7

2.2 Opérations

Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles etλ∈R. On définit la suite

• somme (u_n)_n∈N+(v_n)_n∈N=(s_n)_n∈Npar :

∀n∈N,s_n=u_n+v_n.

• produit (u_n)_n∈N×(v_n)_n∈N=(p_n)_n∈Npar :

∀n∈N,pn=un×vn

• λ×(un)n∈N=(cn)n∈Npar :

∀n∈N,c_n=λ×u_n Définition 8

2.3 Monotonie

On dit qu’une suite (u_n)_n∈Nest :

• constante si et seulement si :∀n∈N,u_n+1=u_n si et seulement si :∃c∈R,∀n∈N,un=c.

• croissante si et seulement si :∀n∈N,un≤un+1.

• strictement croissante si et seulement si :∀n∈N,un<un+1.

• décroissante si et seulement si :∀n∈N,un≥un+1.

• strictement décroissante si et seulement si :∀n∈N,un>un+1.

• monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante.

• strictement monotone si et seulement si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Définition 9

2.4 Suites minorées, majorées, bornées

On dit qu’une suite (u_n)_n∈Nest :

• majorée si et seulement si :∃M∈R,∀n∈N,u_n≤M.

• minorée si et seulement si :∃m∈R,∀n∈N,m≤u_n.

• bornée si elle est majorée et minorée :

∃m,M∈R,∀n∈N,m≤u_n≤M.

Définition 10

(un)n∈Nest bornée si et seulement si (|un|)n∈Nest majorée :

∃M∈N,∀n∈N,|u_n| ≤M.

Proposition 8

2.5 Suites stationnaires

On dit qu’une suite est stationnaire si et seulement si elle est constante à partir d’un certain rang si et seulement si :∃N∈N,∀n≥N,u_n+1=u_n

si et seulement si :∃c∈R,∃N∈N,∀n≥N,un=c.

Définition 11

2.6 Suites arithmétiques, suites géométriques

On dit qu’une suite (u_n)_n∈Nest :

• arithmétique si et seulement si il exister∈Rtel que :∀n∈N,u_n+1=u_n+r.

rest appelé raison de la suite.

• géométrique si seulement si il existeq∈Rtel que :∀n∈N,u_n+1=qu_n. qest appelé raison de la suite.

Définition 12

Soitn₀∈N.

• Si (u_n)_n≥n0est arithmétique de raisonr∈Ralors :∀n≥n₀,u_n=u_n0+(n−n₀)r.

• En particulier, si (u_n)_n∈Nest arithmétique de raisonr∈Ralors :∀n∈N,u_n=u₀+nr.

• Si (u_n)_n≥n0est géométrique de raisonq∈Ralors :∀n≥n₀,u_n=qⁿ⁻ⁿ⁰u_n0.

• En particulier, si (u_n)_n∈Nest géométrique de raisonq∈Ralors :∀n∈N,u_n=qⁿu₀. Proposition 9

Une suite (u_n) est dite arithmético-géométrique si et seulement si il existe (a,b)∈R²tels que :∀n∈N,u_n+1= au_n+baveca6=1 etb6=0.

• On chercheltel quel=al+b.

• On a alors :∀n∈N,u_n+1−l=a(u_n−l).

Donc en posant :∀n∈N,v_n=u_n−l, la suite (v_n) est géométrique de raisona.

Méthode 1 : Suites arithmético-géométriques

2.7 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2

Soit (u_n) une suite réelle. On dit que (u_n) est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 à coefficients constants ssi il existea,b∈R,b6=0 tels que :

∀n∈N,un+2=aun+1+bun.

L’équationr²−ar−b=0 est appelée équation caractéristique associée à (un).

Définition 13

Soienta,b∈R,b6=0. Soit (u_n)_n∈Ntelle que :

∀n∈N,u_n+2=au_n+1+bu_n.

• Si l’équation caractéristique admet deux solutions distinctesr₁,r₂∈K(avecK=RouC), alors :

∃λ,µ∈K,∀n∈N,un=λr₁ⁿ+µr₂ⁿ.

• Si l’équation caractéristique admet une solution doubler∈R, alors :

∃λ,µ∈R,∀n∈N,u_n=(λ+µn)rⁿ. Proposition 10

2.8 Suites récurrentes d’ordre 1

SoitIun intervalle deR, soitf :I→R. On dit queIest un intervalle stable parf ssif(I)⊂I, c’est-à-dire :

∀x∈I,f(x)∈I. Définition 14

SoitIun intervalle deR, soitf :I→R. On suppose queIest stable parf. Alors la suite : u₀∈I,∀n∈N,u_n+1=f(u_n)

est bien définie et on a :

∀n∈N,u_n∈I. Proposition 11

SoitIun intervalle deR, soitf :I→R. On suppose queIest stable parf et quef estcroissante. On considère la suite définie par :

u₀∈I,∀n∈N,u_n+1=f(u_n).

On peut montrer par récurrence que (u_n) estmonotone. De plus :

• Siu₀≤u₁, alors (u_n) est croissante,

• Siu₀≥u₁, alors (u_n) est décroissante.

Méthode 2

III Limite d’une suite réelle

3.1 Limite finie

• On dit qu’une suite (un)n∈Nconverge versl∈Rou tend versl, et on noteun_n−→

→+∞l, si et seulement si

∀ε>0 ,∃N∈N,∀n∈N, n≥N =⇒ |u_n−l| ≤ε.

• On dit qu’une suite (u_n)_n∈Nconverge s’il existel∈Rtel que (u_n)_n∈Nconverge versl.

• On dit que (u_n)_n∈Ndiverge sinon.

Définition 15

Si la limite d’une suite (un) existe alors elle est unique. On la note lim

n→+∞unou limun. Proposition 12

Soient (un) une suite etl∈R.

S’il existe une suite (vn) qui converge vers 0 et tel que :∀n∈N,|un−l| ≤ |vn|alors (un) converge et lim

n→+∞un=l. Proposition 13

3.2 Limite infinie

• On dit que (un)n∈Ndiverge vers+∞ou tend vers+∞, et on note lim

n→+∞un= +∞ou limun= +∞, si

∀A∈R,∃N∈N,∀n∈N, n≥N =⇒ u_n≥A.

• On dit que (u_n)_n∈Ndiverge−∞ou tend vers−∞, et on note lim

n→+∞u_n= −∞ou limu_n= −∞„ si

∀A∈R,∃N∈N,∀n∈N, n≥N =⇒ u_n≤A.

Définition 16

3.3 Propriétés des suites convergentes

Soient (u_n) une suite réelle etl∈R.

Si (u_n)_n∈Nconverge verslalors (|u_n|)_n∈Nconverge vers|l|. Proposition 14

Toute suite réelle convergente est bornée.

Proposition 15

Soient (u_n) une suite réelle el∈R∪{±∞}. Si (u_n) admet une limitelalors :

• Pour toutM>l, il existeN∈Ntel que :

∀n≥N,u_n≤M.

• Pour toutm<l, il existeN∈Ntel que :

∀n≥N,u_n≥m.

Proposition 16

3.4 Opérations sur les limites

Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites qui convergent respectivement versl,l⁰∈R.

• Alors (u_n+v_n)n∈Nconverge versl+l⁰.

• Pour toutλ∈R, (λu_n)_n∈Nconverge versλl.

• (u_nv_n)_n∈Nconverge versl l⁰.

• Si (un) converge versl∈R^∗, µ 1

un

¶

est définie à partir d’un certain rang et converge vers1 l. Proposition 17

Soient (un)n∈Nune suite qui converge vers 0 et (vn)n∈Nune suite bornée. Alors (unvn)n∈Nconverge vers 0 Proposition 18

• Si (u_n)n∈Nest une suite minorée et si limv_n= +∞, alors lim(u_n+v_n)= +∞.

• Si (u_n)_n∈Nest une suite majorée et si limv_n= −∞, alors lim(u_n+v_n)= −∞.

• Si limu_n= +∞et si limv_n= +∞, alors lim(u_n+v_n)= +∞.

• Si limu_n= −∞et si limv_n= −∞, alors lim(u_n+v_n)= −∞. Proposition 19

• Si limu_n=l∈R^+∗et si limv_n= +∞, alors lim(u_n.v_n)= +∞.

• Si limu_n=l∈R^−∗et si limv_n= +∞, alors lim(u_n.v_n)= −∞.

• Si limu_n=l∈R^+∗et si limv_n= −∞, alors lim(u_n.v_n)= −∞.

• Si limu_n=l∈R^−∗et si limv_n= −∞, alors lim(u_n.v_n)= +∞. Proposition 20

• Si limun= +∞et si limvn= +∞, alors lim(un.vn)= +∞.

• Si limu_n= +∞et si limv_n= −∞, alors lim(u_n.v_n)= −∞.

• Si limu_n= −∞et si limv_n= −∞, alors lim(u_n.v_n)= +∞. Proposition 21

• Si limu_n= +∞, alors lim_u¹

n =0.

• Si limu_n= −∞, alors lim_u¹

n =0.

• Si limu_n=0 et si :∃N∈N,∀n≥N,u_n>0, alors lim_u¹

n = +∞.

• Si limun=0 et si :∃N∈N,∀n≥N,un<0, alors lim_u¹

n = −∞. Proposition 22

3.5 Passage à la limite dans les inégalités

Soient (u_n)_n∈Net (v_n)_n∈Ndeux suites convergentes, versletl⁰. On a : (∀n∈N,u_n≤v_n)=⇒l≤l⁰. Proposition 23

SoitAune partie non vide majorée (resp. minorée) deR. Soita∈R.

a=sup(A)( resp.a=inf(A))⇐⇒ ∀x∈A,x≤a(resp.x≥a) et il existe une suite (u_n) deAtelle quea=limu_n. Proposition 24 : Caractérisation séquentielle de la borne supérieure et de la borne inférieure

IV Théorèmes d’existence de limites

4.1 Existence et inégalité

Soient (un)n∈N, (vn)n∈Net (wn)n∈Ntrois suites vérifiant :

• ∀n∈N,un≤vn≤wn

• Les suites (u_n)n∈Net (w_n)n∈Nconvergent vers la même limitel∈R. Alors (v_n)n∈Nconverge et lim

n→+∞v_n=l.

Théorème 2 : Théorème d’encadrement

Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles.

1. Si

( ∀n∈N,u_n≤v_n

n→+∞lim u_n= +∞ , alors lim

n→+∞v_n= +∞. 2. Si

( ∀n∈N,un≤vn

n→+∞lim vn= −∞ , alors lim

n→+∞u_n= −∞. Théorème 3

4.2 Théorème de la limite monotone

• Toute suite croissante et majorée de réels converge.

• Toute suite décroissante et minorée de réels converge.

Théorème 4 : Théorème de la limite monotone

• Toute suite croissante non majorée de réels diverge vers+∞.

• Toute suite décroissante et non minorée de réels diverge vers−∞. Proposition 25

SoitIun intervalle deR, soitf :I→R. On suppose queIest stable parf et quef estcroissante. On considère la suite définie par :

u₀∈I,∀n∈N,u_n+1=f(u_n).

Alors (u_n) estmonotone. De plus siIest borné, alors (u_n) est bornée. Donc (u_n) converge versl. Sif est continue et sil∈I, alors, on a :f(l)=l.

On détermine donc les valeurs possibles de la limite en étudiant les points fixes def. Méthode 3

4.3 Théorème des suites adjacentes

On dit que deux suites (u_n)_n∈Net (v_n)_n∈Nsont adjacentes si :

• (u_n)_n∈Ncroissante

• (v_n)_n∈Ndécroissante

• (v_n−u_n)_n∈Nconverge vers 0.

Définition 17

Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndes suites adjacentes avec (un)n∈Ncroissante et (vn)n∈Ndécroissante. Alors :

∀n,p∈N,u_n≤v_p. Proposition 26

Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.

Théorème 5

V Suites extraites

5.1 Définition

On appelle suite extraite de (un)n∈N( ou encore sous-suite de (un)n∈N) toute suite de la forme (u_ϕ(n))n∈Navec ϕ:N→Nstrictement croissante.

Définition 18

5.2 Limite

Si une suite (u_n)_n∈Npossède une limitel(finie ou infinie), alors toutes ses suites extraites convergent la même limitel.

Théorème 6

Soit (un) une suite de nombres réels.

• Si (un) admet une suite extraite divergente, alors (un) diverge.

• Si (u_n) admet deux suites extraites convergeant vers des limites distinctes, alors (u_n) n’a pas de limite.

Corollaire 2

Soit (u_n) une suite de nombres réels. Si les suites extraites (u_2n) et (u_2n+1) possède une même limitel(finie ou infinie) alors (u_n) converge versl.

Proposition 27

VI Brève extension aux suites complexes

6.1 Convergence

Soit (zn) une suite complexe

• La partie réelle de la suite (z_n) est la suite réelle (x_n) définie par :

∀n∈N,x_n=Re (z_n).

• La partie imaginaire de la suite (z_n) est la suite réelle (y_n) définie par :

∀n∈N,y_n=Im (z_n).

Définition 19

• On dit que (u_n)_n∈N∈C^Nconverge versl∈Cssi :

∀ε>0 ,∃N∈N,∀n∈N, n≥N =⇒ |u_n−l| ≤ε.

• On dit qu’une suite (un)n∈N∈C^Nconverge ssi il existe un réell∈Ctel que (un)n∈Nconverge versl. Définition 20

Soit (u_n)_n∈N∈C^Netl∈C.

(un)n∈Nconverge verslsi et seulement si (Re (un))n∈Net (Im (un))n∈Nconvergent respectivement vers Re (l) et Im (l).

Proposition 28

Soitq∈C, posons :∀n∈N,u_n=qⁿ.

• Si|q| <1, alors limu_n=0.

• Siq=1, alors limu_n=1.

• Siq∈Retq>1, alors limu_n= +∞.

• Sinon, (u_n) n’a pas de limite.

Proposition 29

6.2 Suites bornées

On dit que (u_n)_n∈N∈C^Nest bornée ssi :

∃M∈R,∀n∈N,|u_n| ≤M.

Définition 21

Toute suite complexe convergente est bornée.

Proposition 30

6.3 Opérations sur les suites complexes

Soient (u_n)_n∈Net (v_n)_n∈Ndeux suites complexes qui convergent respectivement versl∈Cetl⁰∈C.

• Pour tout (λ,µ)∈C², (λu_n+µv_n)_n∈Nconverge versλl+µl⁰.

• (u_nv_n)_n∈Nconverge versl l⁰.

• Si (u_n) converge versl∈Cet (v_n) converge versl⁰∈C^∗, µu_n

vn

¶

n∈Nest définie à partir d’un certain rang et converge vers l

l⁰. Proposition 31

En résumé :

Ce qui reste valable : Ce qui n’est plus valable :

Résultats sur les suites arithmétiques/géométriques/arithmético-géométriques Monotonie Résultats sur les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 Majorant/minorant

Unicité de la limite Limites infinies

Une suite convergente est bornée Passage à la limite dans les inégalités larges

Opérations sur les limites Théorème de convergence par encadrement

Résultats sur les suites extraites Théorèmes de divergence par minoration/majoration Théorème de la limite monotone

Suites adjacentes