Les suites - Corrigé

(1)

Exercice 1 : 1) = −1

3 × 3 − 5 = −6 et = −1

3 × −6) − 5 = −3 2) Pour tout entier naturel , notons ) la propriété :

=27 4 −1

3

−15 Initialisation : 4

= 3 et 27 4 −1

3

−15 4 = 27

4 −15 4 = 12

4 = 3 donc 0) est vraie.

Hérédité :

Supposons que, pour un certain ∈ ℕ, ) est vraie et montrons que + 1) est vraie.

On suppose donc que, pour un certain ∈ ℕ : =27

4 −1 3

−15 Et on montre que : 4

_' =27 4 −1

3

'−15 On part de la relation de récurrence liant _' à . 4

_' = −1

3 − 5 = −1 3 (27

4 −1 3

−15

4 ) − 5 =27

4 × −1

3 × −1 3

+5

4 − 5 =27 4 −1

3

'−15 4 Conclusion :

) est vraie pour tout ∈ ℕ. 3) Comme −1 < −₊< 1, alors :

→'/lim −1 3

= 0 ainsi lim_→'/ = −15 4

Exercice 2 :

1)a) Pour tout entier naturel , notons 0) la propriété : > 1 Initialisation : = 5 > 1 donc 00) est vraie.

Hérédité :

Supposons que, pour un certain ∈ ℕ, 0) est vraie et montrons que 0 + 1) est vraie.

On suppose donc que, pour un certain ∈ ℕ, > 1 et on montre que _' > 1. On part de l’hypothèse de récurrence sur :

> 1 ⇒ + 2 > 3 ⇒ 1

+ 2 <1

3 ⇒ 9

+ 2 < 3 ⇒ − 9

+ 2 > −3 ⇒ 4 − 9

+ 2 > 1 ⇒ ^' > 1 Conclusion : 0) est vraie pour tout ∈ ℕ.

b) Pour tout entier naturel , _'− = 4 − 9

+ 2 − =4 + 2)

+ 2 − 9

+ 2 −+ 2)

+ 2 =4 + 8 − 9 − − 2 + 2

=−+ 2− 1

+ 2 = − − 2+ 1

+ 2 = − − 1) + 2 ≤ 0 La suite ) est donc décroissante.

c) D’après la question 1)a), la suite ) est minorée par 1.

On vient de montrer qu’elle est décroissante. D’après le théorème de convergence monotone, la suite ) est convergente (mais on ne peut pas encore donner sa limite …).

(2)

2) a) ∀ ∈ ℕ, 8_'− 8 = 1

_'− 1 − 1

− 1 = 1

4 − 9+ 2 − 1

− 1

− 1 = 1 3 − 9+ 2

− 1 − 1

= 1

3 − 3 + 2

− 1

− 1 = + 2

3− 3 − 1

− 1 =+ 2 − 3

3− 3 = − 1 3 − 1) =1

3 La suite 8) est donc une suite arithmétique de raison 1

3.

b) ∀ ∈ ℕ, 8 = 8+ ? = 1

− 1 + 3 =1

4 +

3 =4 + 3 12 Or, ∀ ∈ ℕ, 8 = 1

− 1 ⇔ − 1 = 1

8 ⇔ = 1 + 12 4 + 3

c) Par un calcul direct, il est clair que la limite de la suite ) est égale à 1.

Exercice 3 : Pour chacune des suites, le calcul direct donne une forme indéterminée : = −2²+ 4 + 5 = ²−2 +4

+ 5

² lim = +∞

lim −2 +4 + 5

= −2 B donc, par produit, lim = −∞

8 =3²− + 1 ⁺ + 3 =

²D3 − 1 + 1

²E

⁺D1 + 3⁺E =3 − 1 + 1

² D1 + 3⁺E lim 3 −1

+ 1

²= 3 lim 1 + 3

⁺ = +∞ F donc, par quotient, lim 8 = 0

G = √2 + 1 − √2 − 1 =I√2 + 1 − √2 − 1JI√2 + 1 + √2 − 1J

√2 + 1 + √2 − 1 =I√2 + 1J²− I√2 − 1J²

√2 + 1 + √2 − 1

= 2 + 1 − 2 − 1)

√2 + 1 + √2 − 1 = 2

√2 + 1 + √2 − 1 Par quotient, on obtient directement lim G = 0

K = 3− 10 = 3)− 10 = 9− 10 = 109

10 − 1 = 10L9 10

− 1M

0 < 9

10 < 1 donc lim 9 10

− 1 = −1

lim 10 = +∞ B donc, par produit, lim K = −∞

N =D32E− D12E

D32E+ D12E = D32E1 − D12E× D23E

D32E1 + D12E× D23E= 1 − D13E

1 + D13E donc, par quotient, lim N = 1

(3)

Exercice 4 : Partie A

1.(a)

N=input(‘entrer un entier naturel N :’) U=0

for k=0:(N-1) U=3*U-2*k+3 end

disp(U)

Lorsque O = 3, P varie de 0 à 2 :

Valeur de P 0 1 2

Valeur de Q 0 3 10 29

On en déduit que la valeur affichée de Q est 29.

2. = 3− 2 × 0 + 3 = 3 et = 3− 2 × 1 + 3 = 10 (on retrouve les valeurs de Q respectivement associées à P = 0 et P = 1 dans l’algorithme de la partie A)

3. (a) Notons ) la propriété « ≥ »

Initialisation : = 0 donc ≥ 0 et 0)est vraie.

Hérédité : Supposons que ) est vraie pour un certain entier et montrons que + 1) est vraie.

≥ ⇒ 3≥ 3 ⇒ 3− 2 + 3 ≥ 3 − 2 + 3 ⇒ '≥ + 3 > + 1 La propriété est bien héréditaire.

Conclusion : La propriété est initialisée en 0 et héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel : Pour tout entier naturel , ≥ .

(b) Par comparaison, il est clair que lim = +∞.

4. Pour tout entier naturel , '− = 3− 2 + 3 − = 2− 2 + 3 = 2− ) + 3 Or, d’après la question 2. (a), ≥ donc − ≥ 0 et donc '− > 0.

On en déduit que la suite ) est (strictement) croissante.

5. Soit la suite 8) définie, pour tout entier naturel , par 8= − + 1.

(a) Pour tout entier naturel , 8'= '− + 1) + 1 = 3− 2 + 3 − − 1 + 1 = 3− 3 + 3 Et donc 8'= 3− + 1) = 38 : on en déduit que la suite 8) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme 8= − 0 + 1 = 1

(b) Pour tout entier naturel , 8 = 8× 3 = 3 et comme = 8+ − 1, on en déduit que, pour tout entier naturel , = 3+ − 1 et que la limite est +∞.

6. Soit T un entier naturel non nul.

p=input(‘entrez la valeur de p :’) u=0

n=0

while u<10^p do u=3*u-2*n+3 n=n+1

end disp(n)

Exercice 5 :

1. Pour tout n∈Ν_,vn un un un

(

un

)

vn

2 4 1 2

2 1 2 4 1 2 2

4 1

1

1 = ₊ − = + − = − = − =

+ donc la suite v est géométrique

de raison 2

1et de premier terme v₀ =u₀ −4=−1−4=−5.

2. Pour tout n∈Ν_,

n

vn 



 



×

−

= 2

5 1 or un =vn +4donc pour tout n∈Ν_, ₄ 2 5 1 +



 



×

−

=

n

un

(4)

3. 4( 1) 2

5 1 2 4

5 1 ...

0 0

0 1

0  + +



 



− 

=

+











 



 



×

−

=













 +



 



×

−

=

= + + +

=

    

=

n u

u u

u S

n

k n k

k n

k n k

k k n

n

4 2 4

1 2 10 1 10 4 2 4

1 1 10 4 4 2 1 1

2 1 1 5

1 1

+

 +



 



×  +

−

= +

+











 



 



−

−

= + +

−



 



−

×

−

=

+ +

n n

n

n n

n

donc

n

n n

S 



 

 + 

−

= 2

5 1 6 4

4. Comme

]

¹^;¹

[

2

1∈ − ^, 0

2 lim 1 =



 



 ⁿ

et donc limun =4_.

De plus

n n

n

n n n

n n

S 



 

 + 

−

=



 

 + 

−

= 2

1 5 4 6

2 5 1 6 4

et par somme de limites, lim =4 n S_n

Exercice 6 :

1) 2 1 1 1 1

(

1

)

3 5 3 4 3

5 3

, ₊ =− ₊ − ₊ =− ₊ −4 − =− ₊ − − − − ₊

∈

∀n Ν un un vn un un vn un un un un

n n

n n n

n u u u u u

u

3 1 3

2 3 5 3 4 3

5

1 1

1+ − + = +

−

= ₊ ₊ ₊ , on a donc bien n u_n u_n u_n

3 1 3

, ₂ = 2 ₁+

∈

∀ Ν ₊ ₊ .

2) u est une suite récurrente linéaire d’ordre 2, il faut donc résoudre l’équation caractéristique

3 1 3

2 = 2x+ x

qui a deux solutions 1 et 3

−1. Le terme général de la suite u est donc

n n

n

un 



 



− +

 =



 



− +

×

= 3

1 3

1 β 1 α β

α

On obtient les valeurs de α et β en résolvant le système obtenu avec les valeurs de u₀ et u₁









=

⇔







−

= +

=

4 3 4 5

3 1

1 0

β α β

α β α u u

On obtient ainsi :

n

un

n 



 



− +

=

∈

∀ 3

1 4 3 4 , 5 Ν

On sait que

3 2 3 1 4 3 2 1 5 3 1 3

1 4 3 2 5 3

1 4 3 4 5 3

1 4 3 4

5 ¹

1  ×



 



−

−

=



 



− +



 



−

−

 =



 



−

−

 −



 



−

−

=

−

=

+ +

n n

n u u

v

On obtient donc

n

vn

n 



 



−

−

=

∈

∀ 3

1 2 1 2 , 5

Ν

3) Comme

]

¹^;¹

[

3 1∈ −

− , 0

3 lim 1 =



 



−

n

et donc

4 limun = 5_et

2 limvn =−5

(5)

Exercice 7 : (D’après ESC 2005) 1. ∀n∈Ν^*_,

n n n n

n u u u u u v

v

3 2 3

2 3

2 3 2 3 2 3

4 3

2 3

2

1 1

1 1 1

1 =



 



 +

=

× +

= +

= + +

= +

= ₊ ₊ ₊ ₊ ₊

+ ...

2. Pour tout n∈Ν^*_,

n n

n

n v

v 



 



×

 =



 



= 



 



×

=

−

3 2 2 3

2 3 4 3

2 ¹ ¹

1

3. On en déduit que pour tout n∈Ν^*_,

( )

n n n

n n

n

un

3 1 2 2 3

2 2 2 3

2 3

2 2 −

− =

= ×

 −



 



×

=

Exercice 8 :

n n n

n n k n n

n n

n u

n

k

n 2

1 2

) 1 ( 1 ... 1

2 1

2 1 2 2 2

2

= +

× +

=

= + + +

=



=

U')

= + =+ →donc

2 1 lim2

lim = =

n u_n n

Exercice 9 :

On considère la suite ) définie sur ℕ^∗ par : = 1

+ 1

+ 1 + 1

+ 2 + ⋯ + 1 + 2 + 1.

1. (a) 0 ≤ P ≤ 2 + 1 ≤ + P ≤ + 2 + 1

1

≥ 1

+ P ≥ 1 + 2 + 1

Ainsi, pour tout entier P compris entre 0 et 2 + 1, on a : + 2 + 1 ≤1 1

+ P ≤ 1 (b) Au passage à la somme :

X 1

+ 2 + 1

' YZ

≤ X 1

+ P

' YZ

≤ X 1

'

Les deux sommes extérieures sont constituées de 2 + 2 termes constants : YZ

1

+ 2 + 1 × 2 + 2) ≤ ≤ 1

× 2 + 2) 2 + 2

+ 2 + 1 ≤ ≤2 + 2 2 + 1)

+ 1) ≤ ≤2 + 2

+ 1 ≤ 2 ≤ 2

+ 2

2. D’après le théorème des gendarmes, la suite ) converge vers 0.

(6)

Exercice 10 :

1) On montre (comme d’habitude) que la suite u−v est une suite géométrique de raison 4 1

et de premier terme u₀−v₀ et on a bien le résultat voulu.

2) et 3) Sachant que u₀ ≥v₀ on sait que u₀ −v₀ ≥0 et donc que, pour tout n∈Ν_,u_n ₋v_n _≥₀_. On étudie la monotonie des suites u et v et on obtient, après calculs :

Ν

∈

∀n _,

( ) ( )

0

4 et 1

2 0 1

1

1 − =− − ≤ ₊ − = − ≥

+ n n n n n n n

n u u v v v u v

u

On en déduit donc que u est décroissante et v est croissante. On montre de façon immédiate que la suite u – v converge vers 0 . Au final, d’après ces trois résultats, on peut dire que u et v sont adjacentes.

Les deux suites u et v sont donc convergentes et de même limite.

4) ∀n∈Ν,w_n₊₁ =2u_n₊₁+4v_n₊₁ =u_n +v_n +u_n +3v_n =2u_n +4v_n =w_n donc la suite w est constante.

5) On peut utiliser deux égalités dans lesquelles interviennent à la fois u_n etv_n

( ) ( )

( )











 −



 



−

= +

 −



 

 +

= +

⇔

−

←











 −



 



− +

=

 −



 



=

−

⇔

←







+

= +

 −



 



=

⇔ −







+

=

= +

 −



 



=

−

3 4

1 3

2

3 2 4 1 3

2

4 2 1

3 4 1

2 1 2

2 4 1

4 2 4

2

4 1

0 0 0

0

0 0 0

0

1 2 2 0 0 0

0

0 0

2 2

0 0

0 0 0

0 0

v u v

v u

v u v

u u

L L L v u v

u v

v u v

u

L L

v u v u

v u v

u v

u w v u

v u v

u

n n

n

n n

n

n n

n

6) Comme

[∈] − 1; 1[, , 0 4 lim 1 =



 



 ⁿ

et donc lim = lim 8=^_^`^'a₊ ^` par substitution …