D´etection d’anomalie par tomographie par imp´edance ´electrique
Propos´e par : Habib Ammari- Ecole Polytechnique - habib.ammari@polytechnique.fr Soit B le disque unit´e. On suppose que B est de conductivit´e ´electrique σ. On consid`ere l’´equation de conductivit´e qui porte sur le potentiel ´electrique U(σ, g):
∇ ·σ∇U = 0 dansB,
∂U
∂ν =g sur∂B, Z
∂B
U = 0, o`u le courant ´electriqueg satisfait
Z
∂B
g= 0,||g||L2(∂B)= 1.
La tomographie par imp´edance ´electrique consiste `a reconstruire (ou `a im- ager) la conductivit´eσ`a partir des mesures deU sur le bord∂Bdu conducteur B pour un ou plusieursg.
L’objet de ce projet est de montrer les performances et les limitations d’une d´etection d’anomalie par une m´ethode de tomographie par imp´edance ´electrique.
En particulier, (i) on mettra en ´evidence le caract`ere mal pos´e de ce probl`eme inverse qui se traduit par une faible sensibilit´e du potentiel ´electrique sur le bord du conducteur `a certaines variations de la conductivit´e et (ii) on d´eveloppera une m´ethode simple de reconstruction de conductivit´e d’une petite anomalie.
On d´efinit
σ1=
( σ, 0≤r≤R, 1, R < r≤1,
o`u σ est une constante strictement positive et on poseσ2 = 1,0 ≤r ≤1. On
´ecrit en coordonn´ees polaires (r, θ)
g(θ) :=g(1, θ) =
+∞
X
n=1
Cncosnθ+Snsinnθ, avec
√π
+∞
X
n=1
(Cn2+Sn2) = 1.
Pour une pr´ecision de mesure >0 donn´ee, on dit que le courantg permet de distinguer entre les conductivit´esσ1et σ2 si
||U(σ1, g)−U(σ2, g)||L2(∂B)> .
1
Montrer que
||U(σ1, g)−U(σ2, g)||L2(∂B) = 2√ π|µ|
+∞
X
n=1
( R2n
n(1 +µR2n))2(Cn2+Sn2) 12
≤ 2|µ| R2 1 +µR2, o`uµ= (σ−1)/(σ+ 1).
On suppose que g(θ) = (1/√
π) cosθ ou g(θ) = (1/√
π) sinθ. Montrer qu’avec une pr´ecision , on ne peut pas distinguer le disque de rayon R et de conductivit´eσdu disque homog`ene de conductivit´e 1 siσetR sont dans
(σ, R)|σm(R)≤σ≤σM(R),0≤R≤1
o`u
σm(R) = max{0,R2−2+
R2−2+ }, et
σM(R) =
1 + 2
(2−)(R2−2− ),
2− < R2≤1, +∞, R2≤
2−.
Montrer que pour pouvoir reconstruire un disque de rayonR il faut que la pr´ecision de mesuresoit strictement inf´erieure `a 2R2/(1−R2).
On introduit l’op´erateur (dit de Neumann-`a- Dirichlet)A(σ) :g∈L2(∂B)7→
U(σ, g)|∂B. Montrer que le meilleur choix de courant gpour distinguer la con- ductivit´eσ1 deσ2 est celui qui maximise la quantit´e
R
∂BgΛ2g
||g||L2(∂B)
,
o`u Λ =A(σ1)−A(σ2).
Montrer que
Λ2g=
+∞
X
n=1
[ −2µR2n
n(1 +µR2n)]2(Cncosnθ+Snsinnθ).
Montrer qu’avec une pr´ecision , on a uniquement besoin d’injecter des courantsg= (1/√
π) sinnθou (1/√
π) cosnθ, o`unest tel que 2µR2n
n(1 +µR2n) > , afin de distinguerσ1 deσ2.
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On prendR= 0.1, σ= 2, = 10−3. Illustrer num´eriquement ce r´esultat en calculant le potentiel sur le bord `a l’aide de la m´ethode des ´el´ements finis.
SoitN(x, y) la fonction de Neumann d´efinit poury∈B, le disque unit´e, par
∆N(x, y) =δx=y dansB,
∂N
∂ν = 1
2π sur∂B, Z
∂B
N(x, y)ds(x) = 0,
o`u δx=y est la masse de Dirac au point y. On rappelle queN(x,0) = 2π1 log|x|
et queU(σ2, g) admet la repr´esentation int´egrale suivante : U(σ2, g)(x) =−
Z
∂B
g(y)N(x, y)ds(y), x∈B.
V´erifier que lorsque R→0,
U(σ1, g)(x)−U(σ2, g)(x) = 2πR2σ−1
σ+ 1∇U(σ2, g)(0)· ∇N(x,0) +o(R2), pour toutx∈∂B.
En supposant que o(R2) dans la formule asymptotique pr´ec´edente est de l’ordre du bruit, trouver une condition n´ecessaire et suffisante qui permet de d´etecter une anomalie de conductivit´e plac´ee au centre du disqueB.
Montrer que Z
∂B
g(x)
U(σ2, g)(x)−U(σ1, g)(x)
ds(x)≈2πR2σ−1
σ+ 1|∇U(σ2, g)(0)|2. Montrer qu’on ne peut pas d´eterminer la conductivit´e σ ind´ependamment deR. Trouver une formule de reconstruction deσ`a Rfix´e.
En prenant R = 0.1 et = 10−3, valider num´eriquement cette formule de reconstruction.
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