Soient f etF deux fonctions définies sur un intervalle I
✞
✝
☎
F est une primitive de f surI ✆ ⇐⇒ ✞✝F′(x) =f(x)☎✆pour tout x∈I
exemple : avec F(x) =x2+ 3x etf(x) = 2x+ 3on aF′(x) =f(x) donc F est une primitive de f remarque : "F est une primitive def" équivaut à "f est la dérivée de F"
propriété 1 (forme générale des primitives)
(1) toute ✄✂fonction continue sur un intervalle✁ I de R✞
✝
☎
admet des primitives sur cet intervalle✆ (2) Soient f etF deux fonctions définies sur un intervalle I
si ✞✝F est une primitive def ☎✆surI alors
✞
✝
☎
toutes les primitives de f ✆sont de la forme✞✝F +k☎✆oùk∈R
exemple : avecF(x) =x2+3xetf(x) = 2x+3, toutes les primitives def sont de la formeF(x) =x2+3x+k où kest un nombre réel quelconque
remarque : si on connaît une primitive de f alors on en connaît une infinité propriété 2 (tableau des primitives usuelles)
F(x) f(x)
k∈R 0
x+k 1
2x+k 2
−3x+k −3
ax+k a∈R
1
2x2+k x
1
3x3+k x2
1
4x4+k x3
1
n+ 1xn+1+k xn oùn∈N 1
α+ 1xα+1+k xα où α∈R− {−1} 2√
x+k 1
√x
ln(x) +k 1
x
−1
x +k 1
x2
−1
2x2 +k 1
x3
−1
(n−1)xn−1 +k 1
xn où n∈Netn >1
ex ex
1
aeax+b eax+b A-
(primitive d’une fonction
)A retenir
propriété 3 (primitives et opérations)
(1) si F etGsont des primitives respectives de f etg surI alors ✞✝F +Gest une primitive de f+g☎✆surI
(2) si F est une primitive def sur I et k∈R alors ✞✝kF est une primitive de kf ☎✆surI exemple : une primitive de f(x) =x2+ 5x3 est F(x) = 1
3x3+ 5×1 4x4 = 1
3x3+5 4x4 propriété 4 (primitives des formes usuelles)
soit u une fonction dérivable sur un intervalle I etu′ sa dérivée.
quand cela est possible, on utilise le tableau suivant pour trouver une primitiveF d’une fonctionf connue.
F(x) f(x) conditions
1
2u2 u′u 1
3u3 u′u2 1
4u4 u′u3 1
n+ 1un+1 u′un n∈N
−1 u
u′
u2 u6= 0
−1 2u2
u′
u3 u6= 0
−1 (n−1)un−1
u′
un n∈N,n >1 etu6= 0
lnu u′
u u >0 eu u′eu
exemples :
(a) ✞
✝
☎ f(x) = (2x+ 3)ex2+3x+10✆ f =u′eu donc F =eu
avec
u(x) =x2+ 3x+ 10 u′(x) = 2x+ 3 donc ✞
✝
☎ F(x) =ex2+3x+10✆ (b)
☛
✡
✟ f(x) = 2x+ 3 ✠
x2+ 3x+ 10 f = u′
u doncF =lnu avec
u(x) =x2+ 3x+ 10 u′(x) = 2x+ 3 donc ✞
✝
☎ F(x) =ln(x2+ 3x+ 10)✆
(c) ✞
✝
☎ f(x) = (2x+ 3)(x2+ 3x+ 10)✆ f =u′u donc F = 1
2u2 avec
u(x) =x2+ 3x+ 10 u′(x) = 2x+ 3 donc
☛
✡
✟ F(x) = 1 ✠
2(x2+ 3x+ 10)2
(d)
✎
✍
☞
✌ f(x) = 2x+ 3
(x2+ 3x+ 10)3 f = u′
u3 donc F = −1 2u2 avec
u(x) =x2+ 3x+ 10 u′(x) = 2x+ 3 donc
✎
✍
☞
✌ F(x) = −1
2(x2+ 3x+ 10)2
Soitf une fonction continue sur un intervalle I;F une primitive def;aetb deux réels deI.
L’intégrale de aà bde f est le nombre noté :
✎
✍
☞
✌ Z b
a
f(x)dx avec
✎
✍
☞
✌ Z b
a
f(x)dx=F(b)−F(a)
Remarques :
(1) on lit aussi :"intégrale de a à b de f de x dx"
(2) on note aussi :F(b)−F(a) = [F(x)]ba
(3) le choix de la primitive de f n’a pas d’effet sur la valeur de l’intégrale.
propriété 5
f etgsont deux fonctions continues sur un intervalle I , aetbsont deux réels deI,α ∈R (P1) : (bornes identiques) :
✎
✍
☞
✌ Z a
a
f(x)dx= 0
(P2) : (inversion des bornes ) :
✎
✍
☞
✌ Z a
b
f(x)dx=− Z b
a
f(x)dx
(P3) : (relation de Chasles ) :
✎
✍
☞
✌ Z b
a
f(x)dx+ Z c
b
f(x)dx= Z c
a
f(x)dx
(P4) : (linéarité) :
✎
✍
☞
✌ Z b
a
αf(x)dx=α Z b
a
f(x)dx
✎
✍
☞
✌ Z b
a
(f(x) +g(x))dx= Z b
a
f(x)dx+ Z b
a
g(x)dx
(P5) : (intégrale et positivité) :
✎
✍
☞
✌ sif ≥0 surI alors
Z b a
f(x)dx≥0
(P6) : (intégrale et ordre) :
✎
✍
☞
✌ sif ≥g surI alors
Z b a
f(x)dx≥ Z b
a
g(x)dx
propriété 6 (de l’aire "sous" la courbe d’une fonction positive ) 1U.A.
Cf
a O b
✛
✚
✘
✙ Z b
a
f(x)dx= Aire entre
• la courbeCf def
• l’axe des abscisses
• la droite verticale d’équation x=a
• la droite verticale d’équation x=b où f est positive et continue surI avec a < b deux réels deI remarque : l’aire trouvée est exprimée en unités d’aires (U.A.)
définition 3 (valeur moyenne d’une fonction) Cf
a O b
la valeur moyenne de f sur[a; b] est le nombre m tel que :
✎
✍
☞
✌ m= 1
b−a Z b
a
f(x)dx
Remarque : C’est la hauteur m du rectangle de largeur b−a qui une aire égale à à l’intégrale.
B-
