U7 - Fiche méthode : Comment déterminer la valeur exacte d’n cosinus ou d’un sinus
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Fiche méthode : Comment déterminer la valeur exacte d’n cosinus ou d’un sinus On sait que la valeur exacte de sin (𝜋
12) =√6−√2
4
a) Déterminer la valeur exacte de cos (𝜋
12) b) Calculer les valeurs exactes de sin (25𝜋
12) et sin (11𝜋
12) Solution
a) On part de : 𝐜𝐨𝐬 ² (𝒙) + 𝐬𝐢𝐧 ²(𝒙) = 𝟏 D’où :
cos ² (𝜋
12) + sin ² (𝜋
12) = 1
⇔ cos ² (𝜋
12) = 1 − sin ² (𝜋 12)
⇔ cos ² (𝜋
12) = 1 − (√6−√2
4 ) ² On remplace sin (𝜋
12) par √6−√2
4 et on met le tout au carré
⇔ cos ² (𝜋
12) = 1 −(√6−√2)²
4² On applique le carré au numérateur et au dénominateur
⇔ cos ² (𝜋
12) = 1 −(√6)
2−2×√6×√2+(√2)2
16 Identité remarquable au numérateur
⇔ cos ² (𝜋
12) =16
16−6 − 2 × √12 + 2 16
⇔ cos ² (𝜋
12) =16
16−8 − 4√3 16
⇔ cos ² (𝜋
12) =16 − (8 − 4√3) 16
⇔ cos ² (𝜋
12) =16 − 8 + 4√3 16
⇔ cos ² (𝜋
12) =8 + 4√3 16
⇔ cos ² (𝜋
12) = 4 (2 + √3) 16
⇔ cos ² (𝜋
12) = 2 + √3 4
Or 𝐜𝐨𝐬 (𝝅
𝟏𝟐) ∈ [𝟎 ;𝝅
𝟐 ] donc cos (𝜋
12) > 0 il faut situer l’angle sur le cercle trigonométrique D’où :
cos (𝜋
12) = √ 2 + √3
4 ⇔ cos (𝜋
12) = √2 + √3 2
b) Il faut décomposer et simplifier sin (25𝜋
12 ) = sin (24𝜋 12 + 𝜋
12) = sin (2𝜋 + 𝜋
12) = sin (𝜋
12) =√6 − √2 4
sin (11𝜋
12) = sin (12𝜋
12 − 𝜋
12) = sin (𝜋 − 𝜋
12) = sin (𝜋
12) =√6−√2
4 𝐬𝐢𝐧(𝝅 − 𝒙) = 𝐬𝐢𝐧(𝒙)
