SUITES ARITHMETICO-GEOMETRIQUES EXERCICE 1
PARTIE A : Soit (Un) la suite numérique définie par U0 = 5 500 et pour tout entier naturel n, Un+1 = 0,68Un + 3560 .
1- A) Utiliser les droites d'équations y = x et y = 0,68x+3560 pour construire les quatre premiers termes de la suite (Un).
Graphiquement, la suite (Un) semble croissante et converger vers l'abscisse du point d'intersection des deux droites : 0,68x + 3650 = x ⇔ 0,32x =3650 x = 11125
Si, la suite (Un) admet une limite finie quand n tend vers +∞ alors cette limite est égale à 11125.
b) Quel est le rôle de l'algorithme suivant ? A=5 500 ;
k=0 ;
TANT_QUE A<11 000 FAIRE k prend la valeur k+1
A prend la valeur 0,68A+3560 FIN TANT_QUE
SORTIE : Afficher k
Cet algorithme permet de déterminer le plus petit entier k tel que : pour tout entier n ⩾ k , Un ⩾ 11 000.
2- Soit (Vn) la suite définie, pour tout entier naturel n par Vn = Un − 11 125.
a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Pour tout entier n, Vn+1=Un+1−11125
Vn+1 = 0,68Un+3560−11125
Vn+1 = 0,68Un−75650,68×(Un−11125)
Vn+1 = 0,68Vn
Pour tout entier n, Vn+1=0,68Vn alors la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 0,68.
Calculons le premier terme de la suite (Vn) : V0=U0−11125 Soit V0 = 5500−11125 = −5625
Ainsi, la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 0,68 et de premier terme V0 = −5625.
b) Exprimer alors Vn, en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, Un = 11 125−5625×0,68n.
(Vn) est une suite géométrique de raison 0,68 et de premier terme V0=−5625 alors pour tout entier n, Vn= −5625×0,68n ( Vn = V0 .qn)
Comme pour tout entier n, Vn= Un − 11125 alors Un = Vn +11125.
Donc pour tout entier n, Un = 11125 − 5625×0,68n.
c) La suite (Un) est-elle convergente ?
0< 0,68 <1 donc lim0,68n=0 d'où, lim 11125−5625×0,68n = 11125 n→+∞ n→+∞
. Soit lim Un=11125.
n→+∞
La suite (Un) converge vers 11 125.
PARTIE B
Une revue spécialisée est diffusée uniquement par abonnement.
Une étude statistique a permis de constater que d'une année sur l'autre, 32% des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement.
En 2010, il y avait 5 500 abonnés à cette revue.
Donner une estimation du nombre d'abonnés à cette revue en 2012.
En 2011, 32% des 5 500 abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement. En 2011, le nombre d'abonnés est :
5500×0,68+3560 = 7300
En 2012, 32% des 7 300 abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement. En 2012, le nombre d'abonnés est :
7300×0,68+3560 = 8524
En 2012, il y a 8 524 abonnés à cette revue.
Pour tout nombre entier naturel n, on note un le nombre d'abonnés à la revue l'année 2010 + n.
Justifier que pour tout entier n, Un+1 = 0,68Un + 3560
D'une année sur l'autre, 32% des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement donc d'une année sur l'autre, 68% des abonnés renouvellent leur abonnement et 3560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement d'où :
Pour tout entier n, Un+1= 0,68Un+3560
Est-il possible d'envisager au bout d'un nombre d'années suffisamment grand, une diffusion supérieure à 12 000 abonnés ?
D'après la partie A, pour tout entier n, Un = 11125 − 5625×0,68n. D'où : Un>12000
⇔11125−5625×0,68n>12000 −5625×0,68n>12000−11125
-5625 x 0,68n < 825 Or pour tout entier n, 0,68n >0.
Une diffusion supérieure à 12 000 abonnés n'est pas envisageable.
TEXAS CASIO
: 5500 → A : 0 → k
: While A < 11000 : k+1 → k
: 0.68 * A + 3560 → A : End
: Disp k
5500 → A ↵ 0 → k ↵
While A < 11000 ↵ k+1 → k ↵
0.68 * A + 3560 → A ↵ WhileEnd ↵
k ◢
À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés à la revue sera supérieur à 11 000 ?
L'algorithme de la partie A permet de déterminer le plus petit entier k tel que pour tout entier n⩾ k, Un⩾11 000. Sa traduction en programme sur la calculatrice est :
La calculatrice affiche 10. Donc à partir de 2020, le nombre d'abonnés à la revue sera supérieur à 11 000
EXERCICE 2
En 2012, la population d’une ville était de 40 000 habitants. Une étude portant sur l’évolution démographique, a permis d’établir que chaque année, 8 % des habitants quittent la ville et 4 000 nouvelles personnes emménagent. On note Un le nombre de milliers d’habitants de cette ville l’année 2012 + n ; on a donc U0 = 40.
1. Selon ce modèle, à combien peut-on évaluer la population de cette ville en 2013 ? 2. Justifier que pour tout entier naturel n, Un+1 = 0,92 × Un + 4.
3. On considère l’algorithme suivant :
Initialisation : Affecter à N la valeur 0
Affecter à U la valeur 40
Traitement : Tant_que U < 44 :
Affecter à N la valeur N+1
Affecter à U la valeur 0,92×U+4
Fin Tant_que
Sortie : Afficher N
Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats au millième près. Quel nombre obtient-on en sortie de l’algorithme ? Interpréter ce résultat.
N 0 1 …………
U 40 ………. …………
Test U<44 VRAI ………. …………
4. On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n par Vn = Un − 50.
a) Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b) Exprimer Vn en fonction de n.
En déduire que pour tout entier naturel n, Un = 50 − 10 × 0,92n.
5. Étudier la monotonie de la suite Un.
6. Déterminer la limite de la suite (Un). Interpréter ce résultat.
CORRECTION
En 2012, la population d’une ville était de 40 000 habitants. Une étude portant sur l'évolution démographique, a permis d'établir que chaque année, 8 % des habitants quittent la ville et 4 000 nouvelles personnes emménagent.
On note Un le nombre de milliers d’habitants de cette ville l’année 2012 + n ; on a donc U0=40.
1- Selon ce modèle, à combien peut-on évaluer la population de cette ville en 2013 ?
En 2013, 8 % des habitants quittent la ville et 4 000 nouvelles personnes emménagent d'où : 40000×0,92 + 4000 = 40800
En 2013, la population de la ville est estimée à 40 800 habitants 2- Justifier que pour tout entier naturel n, Un+1 = 0,92×Un+4.
D'une année sur l'autre, 92% des habitants ne quittent pas la ville auxquels s'ajoutent 4 milliers de nouveaux résidents d'où :
Pour tout entier n, Un+1 = 0,92Un + 4
On considère l'algorithme suivant :
Initialisation : Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 40 Traitement : Tant_que U<44 :
Affecter à N la valeur N+1
Affecter à U la valeur 0,92×U+4
Fin Tant_que
Sortie : Afficher N
3- Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats au millième près. Quel nombre obtient-on en sortie de l'algorithme?
Interpréter ce résultat.
N 0 1 2 3 4 5 6 7
U 40 40,800 41,536 42,213 42,836 43,409 43,936 44,422
Test
U<44
VRAI VRAI VRAI VRAI VRAI VRAI VRAI FAUXLe nombre affiché en sortie de l'algorithme est 7. C'est 2019 que la population de cette ville dépassera 44 000 habitants.
4- On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n par Vn=Un−50.
a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Si (Vn) est une suite géométrique, alors il existe un réel q non nul tel que Vn+1 = q.Vn Pour tout entier n, Vn+1 = Un+1−50
Vn+1= 0,92Un + 44 − 50 Vn+1 = 0,92Un − 6
Vn+1= 0,92×(Un − 50) Vn+1 = 0,92Vn
Pour tout entier n, Vn+1=0,92Vn donc (Vn) est une suite géométrique de raison 0,92. D'autre part,
V0 = U0 − 50 soit V0 = 40 − 50 = −10
Ainsi, (Vn) est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme V0 = −10.
b) Exprimer Vn, en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, Un=50−10×0,92n.
(Vn) est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme V0 = −10 alors pour tout entier n, Vn= −10×0,92n
D'autre part, pour tout entier n, Vn = Un −50 d'où Un = Vn+50.
Donc pour tout entier n, Un= 50 − 10×0,92n.
5- Étudier la monotonie de la suite (Un).
Pour tout entier n,
Un+1 − Un = (50−10×0,92n+1) − (50−10×0,92n) = -10×0,92n+1+10×0,92n
= 10×0,92n×(−0,92+1) = 0,8×0,92n
Or pour tout entier n, 0,92n >0, d'où Un+1−Un > 0.
Pour tout entier n, Un+1 − Un > 0 donc la suite (Un) est strictement croissante.
6- Déterminer la limite de la suite (Un). Interpréter ce résultat.
0< 0,92 <1 donc lim 0,92n=0 d'où, lim 50−10×0,92n = 50.
n→+∞d'où, n→+∞
Soit, lim Un= 50.
n→+∞
(Un) est une suite croissante qui converge vers 50. Par conséquent, la population de cette ville ne devrait pas dépasser 50 000 habitants.
