L.S.Marsa Elriadh
Liste 44
M : Zribi4 ème Maths Exercices
1
Exercice 1:
soit la fonction f définie sur IR par: f(x)=
1
² x
2
² x
.
1/ a) dresser le tableau de variations de f et construire sa courbe dans un repère orthonormé.
b) montrer que l'équation f(x)=x admet dans IR une solution unique telle que 1<<3/2.
2/ on appelle g la restriction de f à IR+.
a) montrer que g admet une fonction réciproque g-1 définie sur ]1,2].
b) écrire l'expression de g-1(x) pour tout x]1,2].
c) tracer la courbe ' de g-1 dans le même repère.
3/ soit la fonction définie sur [0, 4
1 ] par (x)=tgx
0
dt ) t (
f .
a) montrer que est dérivable sur [0, 4
1 ] et que '(x)=tg²x+2.
b) calculer alors (x).
c) en déduire l'aire A du domaine limité par la courbe et les droites: x=0, x=1 et y=1.
Exercice 2:
soit F la fonction définie par F(x)=
x
0 4
1 t dt . 1/ étudier la fonction f: x
1 x 1
4
et tracer sa courbe représentative.
2/ montrer que F est une fonction impaire.
3/ étudier le sens de variations de F.
4/ a) montrer que pour tout t [1,+∞[ on a:
² t
1 1 t
1
4
.
b) déduisez en que pour tout x[1,+∞[, on a 1 1 t
dt
x
1 4
5/ a) montrer que pour tout x[0,+∞[, on a F(x) < F(1)+1.
b) déduisez en que F a une limite finie l en +∞.
Exercice 3 :
Soit la suite U définie sur IN par Un=
0
cos 5 cos 4
nx dx x
1) justifier l’existence de Un pour tout nIN.
2) On admet que U0=4
3
; montrer que U1=2
3
.
L.S.Marsa Elriadh
Liste 44
M : Zribi4 ème Maths Exercices
2
3) Transformer cos(n+2)x+cosnx en un produit de cosinus, puis montrer que Un+Un+2=5
2 Un+1.
4) En déduire que pour tout nIN ; Un=4 ( )1 3 2
n
. 5) On pose Sn=
0 n
Uk
; déterminer Sn en fonction de n et lim nn S
Exercice 4:
Soit f la fonction définie sur I= , 2 2
par f(x)=
0 1 ²
tgx dt
t
.1) montrer que f est dérivable sur I et calculer f’(x).
2) déduire que pour tout xI, f(x)=x.
3) soit la suite (In) définie par
1 0
0 1
0
1 ²
1 ²
n n
I dt
t
I t dt
t
a) calculer I0.
b) Montrer que pour tout nIN ; I2n+I2n+2= 1
2n1 ; calculer I2. c) Montrer que pour tout nIN : 0 ≤ I2n ≤ 1
2n1
Exercice 5:
1) soit f la fonction définie sur I= , 2 2
par f(x)=tgx. Montrer que f est une bijection de I sur un intervalle J que l’on précisera. Soit g sa fonction réciproque.
2) Calculer g(1) et g(2).
3) Montrer que g est dérivable sur IR et que g’(x)= 1
1x². 4) a) montrer que pour tout tIR ;
1 2 2
4 2
1 ( 1)
1 ² ... ( 1)
1 ² 1 ²
n n
n n t
t t t
t t
.
a) en déduire que g(x)=
3 5 2 1 2 2
1 0
... ( 1) ( 1)
3 5 2 1 1 ²
n x n
n n
x x x t
x dt
n t
5) a) montrer que pour tout nIn ; 0 ≤ 1 2 2
0
1
1 ² 2 3
t n
t dt n
a) en déduire la limite de la suite U définie par 1 1 1 ... ( 1)
3 5 2 1
n
Un
n
Exercice 6:
f la fonction définie sur IR par
0
( ) 2
1 4 ²
x
f x dt
t
L.S.Marsa Elriadh
Liste 44
M : Zribi4 ème Maths Exercices
3
1) a) justifier que f est dérivable sur IR calculer f’(x) et donner le sens de variation de f.
b) montrer que f est impaire.
2) a) prouver que pour tout t ≥ 0, on a 1 1
1 4 ²t 1 2t
.
b) en déduire lim ( )
x f x
3) montrer que f est une bijection de IR sur IR . soit g sa fonction réciproque.
4) montrer que g est dérivable sur IR et que g’(x)=1 1 4( ( ))²
2 g x
Exercice 7:
Pour tout nIN, on considère la fonction Fn définie sur [0,1[ par
0 0
0
( ) 1
( ) 0
1
x
x n
n
F x dt
t
F x t dt n
t
1) a) vérifier que pour tout nIN, Fn définie et dérivable sur [0,1[.
b) montrer que la fonction Fn est croissante sue [0,1[.
2) a) calculer F0(x).
b) en déduire que pour tout x[0,1[ ; Fn(x) ≤ 2.
c) en déduire que Fn (x) admet une limite à gauche de 1. on note In cette limite.
3) a) vérifier que pour tout nIN* et pur tout x[0,1[, on a :
1 1
0
( ) ( ) 1
x n
n n
F x F x
t t dtb) à l’aide d’une intégration par parties, prouver que pour tout nIN* et
pour tout x[0,1[, on a : 1
0
( ) 2 1 2 1
x
n n
F xn x x n t
tdt.c) montrer que pour tout nIN* et pour tout x[0,1[, on a : (2n+1)Fn(x)=2xn 1x+2nFn-1(x).
4) a) déduire que pour tout nIN* ; (2n+1)In=2nIn-1 . b) calculer I0 ; I1 et I2.
c) montrer que pour tout n>0;
2 1
2 ( !)² (2 1)!
n n
I n
n
.
