Nombres Complexes

(1)

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 1 Exercice 1:

Déterminer la forme algébrique de:

A= (2-i)²(3-2i)(1+3i) ; B= (2+i)²(3+2i)(1-3i) ; C=( 1 i )( 1 i ) 3 2 i

 

 Exercice 2:

Résoudre dans :

1/ ( 3 i ) z 1 i 1 i ( 1 i ) z 4 1 2 i

    

  

2/ (1+2i)z-4z =2-3i 3/ z 3 i

1 i z i

  



4/ 4z²+8|z|²-3=0 Exercice 3:

Soit l'équation (E): z⁴-2z³+3z²-2z+2=0.

1/ montrer que si z est racine de (E) alors z est aussi racine de (E).

2/ a- montrer que i et 1+i sont des racines de (E).

b- en déduire les deux autres racines de (E).

c- factoriser P(z)= z⁴-2z³+3z²-2z+2 en trinômes de second degré.

Exercice 4:

A tout nombre complexe z on associe le nombre complexe f(z)=( 3 4 i ) z 4 8 i

5

  

.

1/ on note A le point d'affixe a=1+2i; déterminer les coordonnées du point A' d'affixe f(a).

2/ on pose z=x+iy; x et y réels.

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de f(z) en fonction de x et y; en déduire l'ensemble ∆ des points du plan complexe d'affixes z telles que f(z)=z; dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé placer les points A, A' et tracer ∆.

3/ démontrer que ∆ est la médiatrice de [AA'].

Exercice 5 :

Le plan complexe (P) est rapporté au repère orthonormal (O ;u ,v ). Soit (D) l'ensemble des points M de (P) d'affixe z vérifiant :

z 3i   z 2 i (1)

1/ En écrivant z = x + i y, montrer par le calcul que (D) est une droite dont on donnera une équation.

2/

Soit A le point d'affixe 3i et B le point d'affixe  2 + i.

(2)

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 2 a) Placer A et B dans le repère (O ;u ,v ).

b) En interprétant géométriquement la relation (1) à l'aide des points A et B, redémontrer que (D) est une droite. Tracer (D).

c) Retrouver alors par le calcul l'équation de (D) obtenue au 1/.

Exercice 6:

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, déterminez et construisez l'ensemble des points M d'affixe z tels que:

1/ |z+1-i|=4.

2/ |(1+i)z-2i|=2 3/ |z-3+2i|=|z+2-i|

4/ |z+1|=|z -1|

5/ 1

z z 1

 z   . Exercice 7:

dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé on considère l'application f qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe Z tel que

Z=-iz+(1+i)z .

1/ a) déterminer l'image de A( 1-2i) par f.

b) déterminer l'antécédent de B( -1+3i) par f.

2/ déterminer l'ensemble E des points invariant par f.

Exercice 8:

soit le nombre complexe z=x+iy ayant pour image un point M dans le plan complexe P; on considère le nombre complexe Z tel que Z=z 2

z 2



 . 1/ a) calculer la partie imaginaire de Z notée ImZ.

b) calculer la partie réelle de Z notée ReZ.

2/ construisez l'ensemble E des points M du plan P tels que Z soit un imaginaire pur.

Exercice 9:

Soit f l'application de C dans C définie par f(z)=z ². 1/ quelle est l'ensemble des nombres z tels que f(z)=z?

2/ dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé d'origine O, soit M le point d'affixe z et M' d'affixe f(z).

Quel est l'ensemble des points M tels que le triangle MOM' soit rectangle en O?

(3)

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On désigne par j le complexe 2 2 cos( ) i sin( )

3 3

 _ 

.

1/ vérifier que si z est un nombre complexe: (z)=(z-j)(z - j )=1+z+z².

2/ on désigne par M l'affixe de z dan le plan complexe P; déterminer et construisez les ensembles suivants:

a) E: l'ensemble des points M de P tel que (z) soir réel.

b) F: l'ensemble des points M de P tel que (z) soit imaginaire pur.

3/ déterminer EF.

Exercice 11:

on définie l'application  de C-{i} dans C par: (z)=i z 1 z i



 ; on désigne par A le point d'affixe i.

1/ a) écrire sous forme algébrique ( 3 +2i).

b) résoudre dan C-{i} l'équation (z)=1+i.

2/ déterminer l'ensemble F des point M d'affixe z tel que (z) soit réel.

Exercice 12:

le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé (O, i , j ) . On désigne par A et B les points d'affixes respectives –i et 2i.

Soit f l'application de P-{O} dans P qui à tout point M d'affixe z associe le point f(M) d'affixe Z tel que Z=i(^z ^{2 i} )

z i



 .

1/ a) soit M₁ d'affixe i et le point M₂ d'affixe ³ ¹ i

2  2 ; déterminer f(M₁) et f(M2).

b) déterminer le point M de P-[O} tel que f(M)=N ou N est le point d'affixe 2-i.

2/ déterminer et construire:

a) l'ensemble E des points M de P-{O} dont les images par f ont pour affixes un nombre imaginaire pur.

b) l'ensemble F des points M de P-{O} dont les images par f ont pour affixes un nombre réel.

c) l'ensemble G des points M de P-{O}dont les images appartenant au cercle de centre O et de rayon1.

Exercice 13:

soient les complexes z=(1-i)(1+2i); z’=2 6 i 4 i et z ''

3 i i 1

 

  .

(4)

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www.zribimaths.jimdo.com Page 4 1/ mettre z; z’ et z’’ sous la forme cartésienne. Placer M; M’ et M’’

d’affixes respectives z; z’ et z’’.

2/a) calculer^{z ''} ^z z ' z



 ; en déduire que le triangle MM’M’’ est isocèle . b) montrer que le triangle MM'M'' est rectangle.

3/ déterminer le point G centre de gravité de MM’M’’ .

4/ construire M’’’ tel que MM’M’’’M’’ soit un carré et trouver son affixe z’’’.

Exercice 14 :

soit A un point d’affixe i. A tout point M du plan distinct de A et d’affixe z on associe le point M’ d’affixe z’ tel que z’= ^iz

z i . 1/ a/ déterminer {M P ; M=M’}.

b/ déterminer le point B’ associé au point B d’affixe 1.

c/ déterminer le point C tel que le point associé C’ ait pour affixe 2.

2/ z=x+iy et z’= x’+iy’.

a/ calculer x’ et y’ en fonction de x et y.

b/ déterminer chacun des ensembles

=



M ( z );z 'R i



‘=M(z) ; z’R₊}

3/ a/ montrer que z’- i= ¹ z i



 .

b/ si M(A,1) ; montrer que M’ appartient au même cercle.

Exercice 15:

Soit z=1+i.

Calculer le module et argument de z; ¹ _{; z ; z}³

z .

Exercice 16:

Soit z=6 4 i 5 i



 ; déterminer le module et un argument de z, z⁵;

3

1 z

. Exercice 17:

Soit z1=1+i, z2=3+i et z3=1-i3.

Calculer le module et un argument de z₁z₂z₃ ; ¹ ³ ₂ ³ ₃

2

z z ; (z ) z z

Exercice 18:

Calculer le module et un argument de z:

(5)

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www.zribimaths.jimdo.com Page 5 a) z= ²

i

 b) z= 3 3 3

2 i 2

  c) z= -3(cosx-isinx) , xIR d)

z=

2 i 2 4

1 i

  

  

  .

Exercice 19:

Soit z=1+i et z'=3+i.

1) calculer le module et un argument de z, z' et ^{z '} z . 2) écrire ^z

z ' sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

3) en déduire cos 12

 et sin 12

 . Exercice 20:

On considère le complexe u= -3+3i.

1/ calculer le module et argument de u.

2/ a) déterminer le complexe z tel que uz=6 2 (cos⁷ i sin⁷ )

12 12

 _  . b) en déduire les valeurs exactes de cos⁷

12

 et sin⁷ 12

Soit  un nombre réel vérifiant: 0 <  <

2

 ; on considère les nombres complexes:

a=1+cos2+isin2 ; b= 1+cos2 - isin2 et c=1 itg 1 itg





 .

Déterminer en fonction de  le module et argument de chacun des nombres complexes a, b et c.

Exercice 22:

le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, i , j ) . Soient A, B et C les points d'affixes respectives a=2i, b= -3+i et c= -3-i.

1/ placer les points A, B et C sur une figure.

2/ soit Z=a b c b



 .

a) interpréter géométriquement le module et un argument de Z.

b) écrire Z sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

c) en déduire la nature du triangle ABC ainsi qu'une mesure de l'angle ( BC ,BA ) .

(6)

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Soit z1= -1-i , z2= -1+i3 et Z= ¹

2

z z .

1/ calculer le module et un argument de z1, z2 et Z.

2/ écrire Z sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

3/ en déduire cos⁷ 12

 et sin⁷ 12

A/ soit z0 =i3-1 1/ écrire z0, z0

4 , z0

n sous forme trigonométrique 2/ déterminer le plus petit entier nN* pour lequel z0

n soit réel B/ soit M un point du plan complexe muni d’un repère orthonormé (O,i, j) d’affixe z=reⁱ^, r>0, R ; on pose M₁=S_O(M) et M₂=S(O,i) (M) 1/ écrire z1 et z2 les affixes de M1 et M2 sous forme trigonométrique 2/ montrer que MM1M2 est un triangle rectangle

3/ pour quelle valeur de , MM1M2 est isocèle C/ soit z=reⁱ^ , r>0 , [0,2[

1/ écrire sous forme exponentielle les nombres complexes z² et (i3-1)z 2/ soit l’équation (E) : z²=(i3-1)z

a/ montrer que si z est une solution de (E) alors |z|=2 b/ montrer que si z est une solution de (E) alors 3 [2 ]

3 2 

 Exercice 25:

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct ( , , )O i j . on considère les points A et B d'affixes respectives i et ^{1 i}

2

 . Soit f

l'application de P dans P qui à tout point M d'affixe a associe le point M' d'affixe z'=(1-i)z-1.

1) a) vérifier que f admet un seul point invariant que l'on précisera.

b) on pose z= ¹ eⁱ ; ] , [ 2 2

    . Déterminer la forme exponentielle de z'.

2) a) on suppose que M  B; montrer que arg z' ( i,BM )[ 2 ] 4

 

   .

b) en déduire l'ensemble E={M(z); z' IR*-}.

3) on suppose que MA.

a) montrer que le triangle AMM' est rectangle et isocèle.

b) on se donne un point M d'affixe z (zi)

déduire une construction géométrique de chacun des points :

(7)

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 M' tel que z'= (1-i)z-1.

 M'' d'affixe z''=(1+i)z-1 Exercice 26:

Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé ( O ,i , j ) , on considère le point A d'affixe i, M d'affixe zi et M' d'affixe z'= ^{i z}

z i . Déterminer les ensembles suivants:

a) E={M(z)P/ z'IR}.

b) F={M(z)P/ |z'|=1}.

Exercice 27:

A/ soit z0 =i3-1 1/ écrire z0, z04

, z0n

sous forme trigonométrique 2/ déterminer le plus petit entier nN* pour lequel z0

n soit réel B/ soit M un point du plan complexe muni d’un repère orthonormé (O, i , j ) d’affixe z=reⁱ^, r>0, R ; on pose M1=SO(M) et M2=S⁽^O^,ⁱ⁾ (M) 1/ écrire z₁ et z₂ les affixes de M₁ et M₂ sous forme trigonométrique 2/ montrer que MM₁M₂ est un triangle rectangle

3/ pour quelle valeur de , MM1M2 est isocèle C/ soit z=reⁱ^ , r>0 , [0,2[

1/ écrire sous forme exponentielle les nombres complexes z² et (i3-1)z 2/ soit l’équation (E) : z²=(i3-1)z

a/ montrer que si z est une solution de (E) alors |z|=2

b/ montrer que si z est une solution de (E) alors 3 ² [ 2 ] 3

 

 .

Exercice 28:

Dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormé; on considère le point A d'affixe 2i, M d'affixe z2i et M' le point d'affixe z'= ^{2 z}

z 2 i . Déterminer les ensembles suivants:

a) E={M(z)P/ z' imaginaire pur}.

b) F={M(z)P, |z'|=2}

Exercice 29:

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé( O , i , j ); soit M le point d'affixe z0 et M' le point d'affixe z'=^iz

z . 1/ a) calculer z' lorsque z=3+4i.

b) calculer z lorsque z'=-1.

(8)

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www.zribimaths.jimdo.com Page 8 2/ prouver que M' est un point du cercle de centre O et de rayon1.

3/ on pose z= reⁱ^ ( r >0). Ecrire z' sous forme exponentielle.

4/ déterminer les ensembles suivants:

E={M(z), z' imaginaire pur}

F={M(z), z' réel}.

Exercice 30:

Le plan complexe P est muni d'un repère orthonormé (O,i , j ). A et B les points d'affixes respectives zA= ³ ⁱ

2

 

et zB=1+i3.

On considère l'application ^{f : P} ^P

M ( z ) M '( z ') tel que z ' 2 iz



 

1/ écrire zA et zB sous forme trigonométrique.

2/ déterminer les affixes des points A' et B' images respectives de A et B par f.

3/ a) montrer que z ' ( 1 i 3 ) 2 i ( z ³ ⁱ ) 2

 

    

b) en déduire que BM'=2AM.

c) déterminer alors l'ensemble des points M' lorsque M décrit le cercle de centre A et de rayon 1.

4/ posons z=reⁱ^ ; r>0 et IR.

a) déterminer la forme exponentielle de z' en fonction de r et . b) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tel que

arg(z') [ 2 ] 4

 



Exercice 31:

P étant le plan complexe rapporté à un repère orthonormé( O ,i , j ) . A et B les points de P d'affixes respectives i et –i.

soit f : \{ i }

1 iz

z 1 iz

 





1/ soit M un point de P\{B} d'affixe z.

a) exprimer |f(z)| en fonction de MA et MB.

b) Déduire E={M(z), |f(z)|=1}.

2/ soit M un point de P\{A,B} d'affixe z.

a) exprimer Arg(f(z)) en fonction de _{( MA ,MB )}



. b) Déduire F={M(z), f(z)IR_-*}.

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