Nombres complexes : vecteurs

Nombres complexes : vecteurs

Exercice 29

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ;⃗u,⃗v). 1. Lire les affixes des points F , G et H .

On a z_F=−1−3

2 i, z_G=−3 et z_H=−i.

2. Placer les points A , B , C et D d'affixes z_A=−2+i, z_B=3−i, z_C=2 et z_D=2i . 3. Placer le vecteur d'origine O et d'affixe 2+i.

Exercice 30

1. Placer dans un repère les points A , B et C d'affixes z_A=5−3i, z_B=2i et z_C=−1+i .

2. Lire les coordonnées des vecteurs ⃗AB , ⃗BC et ⃗AC . On a z_⃗AB=−5+5i, z_⃗BC=−1−i et z_⃗AC=−6+4i.

Exercice 31

Soit A , B et C trois points du plan dont les affixes sont z_A=−3+i , z_B=−1−2i et z_C=4+3i . 1. Déterminer l'affixe du vecteur ⃗AB .

On a z_⃗AB=z_B−z_A=−1−2i−(−3+i)=−1−2i+3−i=2−3i .

2. Déterminer l'affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

ABCD est un parallélogramme si et seulement si ⃗AB=⃗DC .

⃗AB=⃗DC ⇔z⃗AB=z⃗DC⇔2−3i=4+3i−z_D⇔ z_D=4+3i−(_2−3i)⇔ z_D=2+6i. 3. Déterminer l'affixe du centre I du parallélogramme ABCD .

ABCD étant un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu. En particulier, le point I est le milieu du segment [AC] .

Alors z_I= z_A+z_C

2 =−3+i+4+3i

2 =1+4i

2 =1 2+2i. Exercice 32

Soit A , B , C et D trois points du plan d'affixes respectives −3+i, −1−2i, 6 et 4+3i. 1. Placer les points A , B , C et D .

2. Déterminer les affixes des vecteurs ⃗AB et ⃗DC . Qu'en déduit-on ?

On a z_⃗AB=z_B−z_A=−1−2i−(−3+i)=2−3i et z_⃗DC=z_C−z_D=6−(4+3i)=2−3i. Comme ⃗AB=⃗DC , alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

3. Déterminer l'affixe du point E tel que CEBD soit un parallélogramme.

CEBD Est un parallélogramme si ses diagonales se coupent en leur milieu. Soit K le milieu des diagonales [BC] et [DE].

On a z_K= z_B+z_C

2 =−1−2i+6

2 =5−2i

2 =5 2−i. Alors z_K= z_D+z_E

2 ⇔ z_E=2z_K−z_D⇔ z_E=2

(

⁵₂⁻ⁱ

)

^{−(4+3i) ⇔ zE=1−5i.}

4. Que représente le point B pour le segment [AE] ?

Exercice 33

Soit A , B , C et D les points d'affixes respectives a=1+i, b=3−i, c=−2i et d=−2 . 1. Déterminer les affixes des vecteurs ⃗AB , ⃗BC , ⃗CD et ⃗DA .

On a z_⃗AB=z_B−z_A=3−i−(1+i)=2−2i, z_⃗BC=z_C−z_B=−2i−(3−i)=−3−i, z_⃗CD=z_D−z_C=−2−(−2i)=−2+2i et z_⃗DA=z_A−z_D=1+i−(−2)=3+i . 2. Montrer que ABCD est un parallélogramme.

D'après la question précédente, on a z_⃗DC=−z_⃗CD=−(−2+2i)=2−2i=z_⃗AB. Comme ⃗AB=⃗DC , le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Exercice 34

Soit les points A , B et C d'affixes respectives z_A=1+i, z_B=4+2i et z_C=−5−i .

Déterminer les affixes des vecteurs ⃗AB , ⃗AC . En déduire l'alignement des points A , B et C . On a z_⃗AB=z_B−z_A=4+2i−(1+i)=3+i et z_⃗AC=z_C−z_A=−5−i−(1+i)=−6−2i.

On remarque que z_⃗AC=−2z_⃗AB. Donc ⃗AC=−2⃗AB . Ainsi, les points A , B et C sont alignés.

Exercice 35

Soit les points A , B et C d'affixes 2+i, 5+3i et −4−i. A , B et C sont-ils alignés ? On a z_⃗AB=z_B−z_A=5+3i−(2+i)=3+4i et z_⃗AC=z_C−z_A=−4−i−(2+i)=−6−2i .

Il n'existe pas de réel k tel que z_⃗AC=kz_⃗AB. Les vecteurs ⃗AB et ⃗AC n'étant pas colinéaires, on en déduit que les points A , B et C ne sont pas alignés.

Remarque

Les points A , B et C sont alignés si et seulement si z_C−z_A

z_B−z_A est un réel.

Or z_C−z_A

z_B−z_A=−6−2i

3+4i =(−6−2i) (3−4i)

(3+4i) (3−4i) =−18+24i−6i−8

3²+4² =−26+18i

25 =−26

25+18 25 i. z_C−z_A

z_B−z_A n'étant pas un réel, les points A , B et C ne sont pas alignés.

Exercice 36

Soit les points K , L et M d'affixes respectives z_K=3+2i , z_L=5i et z_M=2−4i . 1. Déterminer l'affixe du point N tel que ⃗MN=⃗KL .

⃗MN=⃗KL⇔ z_N−z_M=z_L−z_K⇔ z_N=z_M+z_L−z_K ⇔ z_N=2−4i+5i−3−2i ⇔z_N=−1−i. 2. Déterminer l'affixe du milieu I du segment [LM].

On a z_I= z_L+z_M

2 =5i+2−4i

2 =2+i

2 =1+ 1 2i. 3. Déterminer l'affixe du point P tel que ⃗KP=2

3⃗KI .

⃗KP= 2

3⃗KI ⇔ z_P−z_K=2

3(^zI−z_K) ^{⇔ z}P=3+2i+2

3

(

¹⁺¹2 i−3−2i

)

^{⇔ zP=5}3+i.

Exercice 67

Soit A et B les points d'affixes respectives z_A=1+i

√

3 et z_B=1−

√

3+(1+

√

3)i. Montrer que le triangle OAB est rectangle isocèle.

Le triangle OAB semble rectangle isocèle en A . Or OAB est isocèle rectangle en A si et seulement si z_B−z_A

z_A−z_O=±i. On a z_B−z_A

z_A =(−

√

3+i)(1−i

√

3) (1+i

√

³)(1−i

√

³) ⁼

−

√

3+3i+i+

√

3 1²+(

√

3)^{2 =}

4i 4 =i . Ainsi, le triangle OAB est isocèle rectangle en A .

Remarque

Si on ne pense pas à la propriété précédente, on peut toujours démontrer que OA=AB et que les droites (OA) et (AB) sont perpendiculaires.

On a OA=

∣

^zA

∣

⁼

√

¹²⁺⁽

^√

³⁾²⁼

^√

^{4=2 .}

De plus, z_⃗AB=z_B−z_A=1−

√

³⁺⁽¹⁺

√

^3)i−(1+i

√

³⁾⁼⁻

√

^3+i.

D'où AB=

∣

^zB−z_A

∣

⁼

√

⁽⁻

^√

^3)2+12=

^√

^{4=2 .}

Comme OA=AB , on en déduit que le triangle OAB est isocèle en A . De plus, on a z_B−z_A

z_A =(−

√

^3+i)(1−i

√

³⁾

(1+i

√

3)(1−i

√

3) ⁼

−

√

^3+3i+i+

√

³

1²+(

√

^{3)2 =}

4i 4 =i. On retrouve le résultat supposé.

Exercice 68

1. Soit B , C et P les points d'affixes respectives z_B=2−2i

√

3 , z_C=3+3i

√

3 et z_P=10 . Montrer que le triangle BCP est équilatéral.

Montrons que BC=CP=BP .

On a z_C−z_B=3+3i

√

3−(2−2i

√

3)=1+5i

√

3 . D'où BC=

∣

^zC−z_B

∣

⁼

√

¹²⁺⁽⁵

^√

³⁾²⁼

^√

⁷⁶⁼²

^√

^{19 .}

On a z_P−z_C=10−(2−2i

√

^3)=8+2i

√

^{3 .}

D'où CP=

∣

^zP−z_C

∣

⁼

√

⁸²⁺⁽²

^√

³⁾²⁼

^√

⁷⁶⁼²

^√

^{19 .}

On a z_P−z_B=10−(3−3i

√

^3)=7−3i

√

^{3 .}

D'où BP=

∣

^zP−z_B

∣

⁼

√

⁷²⁺⁽⁻³

^√

³⁾²⁼

^√

⁷⁶⁼²

^√

^{19 .}

Ainsi, le triangle BCP est équilatéral.

Remarque

On peut aussi montrer que PB=PC et (^⃗PB,⃗PC)=±π

3 [2π]. PB=PC d'après ce qui précède.

De plus, z_C−z_P

z_B−z_P=(−8−2i

√

3)(−7−3i

√

3) (−7+3i

√

3)(−7−3i

√

3)⁼

56+24i

√

3+14i

√

3−18 (−7)²+(−3

√

^{3)2 =}

38+38i

√

3

76 = 1

2+

√

3 2 i. cosθ=1

et sinθ=

√

3 donc θ=π [2π].

2. Soit A , B et C les points d'affixes respectives z_A=1+i, z_B=3i et z_C=

√

³⁺¹

2+i

( ^√

₂³⁺²

)

^.

Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

Montrons que AB=AC=BC . On a z_B−z_A=3i−(1+i)=−1+2i. D'où AB=

∣

z_B−z_A

∣

⁼

√

^(−1)2+22=

√

5 . On a z_C−z_A=

√

³⁺¹

2+i

( ^√

2³+2

)

^−(1+i)=

^√

³⁻¹2+i

( ^√

2³+1

)

^.

D'où AC=

∣

z_C−z_A

∣

=

√ ^{( √}

³⁻¹²

⁾

²⁺

^{( √}

²³⁺¹

⁾

²⁼

√

³⁻

^√

^3+14+34+

^√

³⁺¹⁼

^√

^{5 .}

On a z_C−z_B=

√

3+1

2+i

( ^√

2³+2

)

⁻³ⁱ⁼

^√

³⁺¹2+i

( ^√

2³−1

)

^.

D'où BC=

∣

z_C−z_B

∣

⁼

√ ^{( √}

³⁺¹²

⁾

²⁺

^{( √}

²³⁻¹

⁾

²⁼

√

³⁺

^√

^3+14+34−

^√

³⁺¹⁼

^√

^{5 .}

Ainsi, le triangle ABC est équilatéral.

Exercice 69

Soit A , B , C et J les points d'affixes respectives z_A=−3−i , z_B=−2+4i, z_C=3−i et z_J=i. Montrer que J est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC .

Montrons que AJ=BJ=CJ .

On a z_J−z_A=i−(−3−i)=3+2i. D'où AJ=

∣

z_J−z_A

∣

⁼

√

³²⁺²²⁼

√

13 . On a z_J−z_B=i−(−2+4i)=2−3i . D'où BJ=

∣

z_J−z_B

∣

=

√

^22+(−3)2=

√

^{13 .}

On a z_J−z_C=i−(3−i)=−3+2i. D'où CJ=

∣

^zJ−z_C

∣

⁼

√

^(−3)2+22=

√

^{13 .}

Les points A , B et C sont donc situés sur le cercle de centre J et de rayon

√

13 .

Or les points A , B et C forme un triangle inscrit dans le cercle de centre J et de rayon

√

13 . Ce cercle correspond au cercle circonscrit au triangle ABC .

Exercice 70

Soit M₁, M₂ et M₃ les points d'affixes respectives z₁=

√

3+i, z₂=

√

3−i et z₃=−2i. 1. Montrer que M₁, M₂ et M₃ sont situés sur un même cercle de centre O .

Montrons que OM₁=OM₂=OM₃.

OM₁=

∣

^z1

∣

⁼

√

⁽

^√

^3)2+12=

^√

^{4=2 , OM}2=

∣

^z2

∣

⁼

√

⁽

^√

^3)2+(−1)2=

^√

4=2 et OM₃=

∣

^z3

∣

^{=∣−2∣=2 .}

2. Comparer z₃ et z₂−z₁. Démontrer que O M₁M₂M₃ est un losange.

On a z₃=−2i et z2−z1=

√

3−i−(

√

3+i)=−2i. On a alors z₃=z₂−z₁.

On en déduit que ^⃗OM₃=⃗M₁M₂. Le quadrilatère O M₁M₂M₃ est donc un parallélogramme.

Or les distances OM₁ et OM₃ sont égales car les points M₁ et M₃ se situent sur le même cercle de centre O . Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.

Ainsi, le quadrilatère O M₁M₂M₃ est un losange.

Exercice 71

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O ;⃗u,⃗v), on considère les points A , B et C d’affixes respectives a=−2+2i, b=−3−6i et c=1 . Quelle est la nature du triangle ABC ?

Le triangle ABC semble rectangle en C . Montrons alors que les droites (AC) et (BC) sont perpendiculaires et donc que z_C−z_B

z_C−z_A est un imaginaire pur.

On a z_C−z_B

z_C−z_A=1−(−3−6i)

1−(−2+2i)=4+6i

3−2i =(4+6i)(3+2i)

(3−2i) (3+2i)=12+8i+18i−12 3²+2² = 26

13i=2i. Ainsi, le triangle ABC est rectangle en C .

Exercice 72

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;⃗u,⃗v). On désigne par A , B , C et G les points du plan d'affixes respectives z_A=−1 , z_B=2+i

√

3 , z_C=2−i

√

3 et z_G=3 . 1. Réaliser une figure et placer les points A , B , C et G .

2. Calculer les distances AB , AC et BC . En déduire la nature du triangle ABC . On a zB−zA=2+i

√

3−(−1)=3+i

√

3 . D'où AB=

∣

^zB−z_A

∣

⁼

√

³²⁺⁽

^√

³⁾²⁼

^√

¹²⁼²

^√

^{3 .}

On a z_C−z_A=2−i

√

^{3−(−1)=3−i}

√

3 . D'où AC=

∣

^zC−z_A

∣

⁼

√

³²⁺⁽⁻

^√

³⁾²⁼

^√

¹²⁼²

^√

^{3 .}

On a z_C−z_B=2−i

√

³⁻⁽²⁺ⁱ

√

³⁾⁼⁻²ⁱ

√

3 . D'où BC=

∣

^zC−z_B

∣

⁼

√

⁰²⁺⁽⁻²

^√

³⁾²⁼

^√

¹²⁼²

^√

^{3 .}

Comme AB=AC=BC , on en déduit que le triangle ABC est équilatéral.

3. Calculer un argument du nombre complexe z_A−z_C

z_G−z_C . En déduire la nature du triangle GAC . On a z_A−z_C

z_G−z_C=3−i

√

³

1+i

√

3=(3−i

√

³⁾⁽¹⁻ⁱ

√

³⁾

(1+i

√

3)(1−i

√

3)⁼

3−3i

√

³⁻ⁱ

√

³⁻³

1²+(

√

^{3)2 =}

−4i

√

³

4 =−i

√

3 . Le nombre complexe z_A−z_C

est un imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative.

Exercice 74

On donne les points A , B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : a=1+3

4i , b=2−5

4 i et c=3+7 4i 1. Placer les points A , B et C .

2. Quelle est la nature du triangle ABC ?

Le triangle ABC semble isocèle rectangle en A . Démontrons alors que c−a b−a=±i. On a c−a

b−a= 3+7

4 i−

(

¹⁺³₄ ⁱ

)

2−5

4 i−

(

¹⁺³₄ ⁱ

)

⁼

2+i

1−2i= (2+i) (1+2i)

(1−2i)(1+2i)=2+4i+i−2 1²+2² =5i

5 =i. Ainsi, le triangle ABC est bien isocèle rectangle en A .

3. Déterminer l’affixe de A' tel que ABA'C soit un carré.

ABA'C sera un carré si ⃗BA'=⃗AC . Soit a' l'affixe de A' . On a a'−b=c−a ⇔a'=b+c−a ⇔a'=2−5

4i+3+7

4 i−

(

¹⁺³4i

)

^{⇔ a'=4−1}4 i.

Exercice 75

Soit A , B et C les points d'affixes respectives a=3 , b=5−2i et c=5+2i. 1. Déterminer la forme algébrique du quotient b−a

c−a , puis une forme trigonométrique.

On a b−a

c−a=5−2i−3

5+2i−3=2(1−i)

2(1+i)=(1−i)(1−i)

(1+i) (1−i)=1−2i−1

1²+1² =−2i 2 =−i. Comme b−a

c−a est un imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative, un argument associé est −π

2 . De plus

∣

^b−a_c−a

∣

^{=1 . Donc b−a}_c−a^=cos

(

^{− π}₂

)

^+isin

(

^{− π}₂

)

^.

2. Interpréter géométriquement le module et un argument de ce complexe.

•

∣

^b−ac−a

∣

^{=1⇔ ∣b−a∣=∣c−a∣ ⇔AB=AC .}

• arg

(

^b−ac−a

)

^{=− π}2 [2π]⇔(^⃗AC,⃗AB)=− π

2 [2π]⇔ (AB)⊥(AC). 3. En déduire la nature du triangle ABC .

On en déduit que le triangle ABC est isocèle rectangle en A . Exercice 79

Soit A , B , C et D les points d'affixes respectives a=8 , b=8i , c=ae⁻ⁱ

π

3 et d=beⁱ

2π 3 . 1. Déterminer les formes algébriques des complexes c et d .

On a c=8 e⁻ⁱ

π

3=8

(

^cos

(

^{− π}3

)

^+isin

(

^{− π}3

) )

⁼⁸

(

¹2−i

√

3

2

)

⁼⁴⁻⁴ⁱ

^√

^{3 .}

Et d=8ieⁱ

2π

3 =8i

(

^{cos 2}₃^{π+isin 2}₃^π

)

⁼⁸ⁱ

(

⁻¹₂⁺ⁱ

^√

₂³

)

⁼⁻⁴

^√

^3−4i.

2. Montrer que A , B , C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Il semble que les points A , B , C et D sont sur le cercle de centre O et de rayon 8 . On a OA=∣a∣=∣8∣=8 , OB=∣b∣=∣8i∣=8 , OC=∣c∣=

√

⁴²⁺⁽⁻⁴

^√

³⁾²⁼

^√

^{64=8 et}

OD=∣d∣=

√

⁽⁻⁴

^√

^3)2+(−4)2=

^√

^{64=8 .}

On en déduit que ces quatre points sont bien sur le cercle de centre O et de rayon 8 . 3. On note z₁, z₂, z₃ et z₄ les affixes respectives des vecteurs ⃗AC , ⃗BD , ⃗AB et ⃗DC . Montrer que z₂=z₁

√

3 puis calculer

∣

^z3

∣

^et

∣

^z4

∣

. Montrer que ABCD est un trapèze isocèle.

On a z₂=d−b=−4

√

3−4i−8i=−4

√

3−12i. De plus z₁=c−a=4−4i

√

3−8=−4−4i

√

3 . D'où z₁

√

^3=(−4−4i

√

³⁾

√

³⁼⁻⁴

√

³⁻¹²ⁱ. On a donc bien z₂=z₁

√

^{3 .}

On a z₃=b−a=−8+8i, d'où

∣

z₃

∣

=

√

^(−8)2+82=

√

¹²⁸⁼⁸

√

^{2 .}

Et z₄=c−d=4−4i

√

3−(−4

√

3−4i)=4+4

√

3+i(4−4

√

3).

D'où

∣

^z4

∣

⁼

√

⁽⁴⁺⁴

^√

^3)2+(4−4

^√

³⁾²⁼

√

¹⁶⁺⁸

^√

^3+48+16−8

^√

³⁺⁴⁸⁼

^√

¹²⁸⁼⁸

^√

^{2 .}

On a alors

∣

^z3

∣

⁼

∣

^z4

∣

^.

Interprétons les résultats précédents :

Exercice 80

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ;⃗u,⃗v). L’unité graphique est 1cm. On désigne par A , B et C les points d’affixes respectives z_A=2−3i, z_B=i et z_C=6−i. On réalisera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.

Partie A

1. Calculer z_B−z_A z_C−z_A . On a z_B−z_A

z_C−z_A= i−(2−3i)

6−i−(2−3i)=(−2+4i)(4−2i)

(4+2i)(4−2i) =−8+4i+16i+8 4²+2² =20i

20 =i. 2. En déduire la nature du triangle ABC .

On en déduit que

∣

^zz^B_C⁻−^zz^A_A

∣

^{=∣i∣ ⇔}

^∣

^zB−zA

^∣

⁼

^∣

^zC−zA

^∣

^{⇔ AB=AC .}

De plus, arg

(

^zzBC⁻−^zz^A_A

)

^{=arg(i)= π2 [2π] et donc (⃗AC,⃗AB)=π2 [2π].}

Ainsi, le triangle ABC est isocèle rectangle en A . Partie B

On considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z distincte de i, associe le point M' d’affixe z' telle que : z'=i(z−2+3i)

z−i .

1. Soit D le point d’affixe z_D=1−i . Déterminer l’affixe du point D' image du point D par f . On a zD'=i(^zD−2+3i)

z_D−i =i(1−i−2+3i)

1−i−i =(−2−i) (1+2i)

(1−2i)(1+2i)=−2−4i−i+2

1²+2² =−5i 5 =−i.

2. a. Montrer qu’il existe un unique point, noté E , dont l’image par f est le point d’affixe 2i. On cherche le nombre complexe z tel que z'=2i.

z'=2i⇔ i(z−2+3i) z−i

⇔i(z−2+3i)=2i(z−i)

⇔iz−2i−3=2iz+2

⇔ −iz=5+2i

⇔z=5+2i

−i

⇔z=(5+2i)i

−i²

⇔z=−2+5i

Ainsi, il existe un unique point E d'affixe z_E=−2+5i tel que z'=2i. b. Démontrer que E est un point de la droite (AB).

Démontrons que les points A , B et E sont alignés.

On a z⃗AB=z_B−z_A=−2+4i et z_⃗BE=z_E−z_B=i−(−2+5i)=2−4i .

On remarque que z_⃗AB=−z_⃗BE. Les vecteurs ⃗AB et ⃗BE sont colinéaires et les points A , B et E sont alignés. Ainsi, le point E appartient à la droite (AB).

3. Démontrer que, pour tout point M distinct du point B , OM'=AM BM . On a z'=i(z−2+3i)

z−i =i(z−(2−3i))

z−i =i(^z−zA)

z−z_B . D'où ∣z'∣=

∣

^i(z−zz−zB^A)

∣

^=∣i∣

∣ ^∣

z−^z−z^z_B

∣

^A

^∣

⁼

∣

^z−zA

∣

∣

z−z_B

∣

^.

Or ∣z'∣=OM' ,

∣

^z−zA

∣

^{=AM et}

∣

^z−zB

∣

^{=BM .}

Ainsi, pour tout point M distinct du point B , OM'=AM BM .

4. Démontrer que, pour tout point M distinct du point A et du point B , on a l’égalité : (⃗u,⃗OM')=(^⃗BM ,⃗AM)+π

2 [2π]

On a z'=i(^z−zA)

z−z_B donc arg(z')=arg

(

^i(z−z−zzB^A)

)

^=arg

(

^{i× z−zz−zA}B

)

^=arg(i)+arg

(

^z−zz−zAB

)

^.

Or i est un imaginaire pur de partie réelle strictement positive donc un argument est π 2 . De plus, arg(z')=(⃗u,⃗OM') [2π] et arg

(

^z−z−zzAB

)

^{=(⃗BM ,⃗AM) [2π].}

Ainsi, pour tout point M distinct du point A et du point B , (⃗u,⃗OM')=(^⃗BM ,⃗AM)+π

2 [2π]. 5. Démontrer que si le point M appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point M' appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

M appartient à la médiatrice de [AB] ⇔

∣

^z−zA

∣

⁼

∣

^z−zB

∣

⇔

∣

^z−zz−z^A_B

∣

⁼¹

⇔

∣

^i(z−zz−zB^A)

∣

^=∣i∣

⇔∣z'∣=1 ⇔

∣

^z−zO

∣

⁼¹

⇔ M' appartient au cercle de centre O et de rayon 1 6. Démontrer que si le point M' appartient à l’axe des imaginaires purs, privé du point B , alors le point M appartient à la droite (AB).

Le point M' est différent du point B par hypothèse.

M' appartient à l'axe des imaginaires purs⇔arg(z')=± π 2 [2π ] ⇔(^⃗BM ,⃗AM)=0 ^[π^] ⇔arg

(

^z−z−zzAB

)

^{=0 [π]}

⇔ z−z_A z−z_B∈ℝ

⇔ ∃k∈ℝ tel que z−z_A=k(^z−zB) ⇔ ∃k∈ℝ tel que⃗AM=k⃗BM ⇔ ⃗AM et⃗BM colinéaires