Nombres Complexes 3ème Sc Expérimentales

Nombres Complexes 3ème Sc Expérimentales

Dans tous les exercices le plan P complexe est rapporté à un repère orthonormé direct , , .

Exercice 1

1) Soient les nombres complexes : = 1 − 2 et = −3 +

Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : − 2 ; ; × et 2) Soit = 2 + où est un réel.

a) Déterminer pour que soit imaginaire pur.

b) Déterminer pour que 1 + soit un réel. Exercice 2

On donne les points et d’affixes respectives :

=

et

= −3 + 4 !

#

$

1) Ecrire et sous la forme algébrique. 2) Placer les points et .

3) Montrer que le triangle % est isocèle.

4) Déterminer l’affixe du point & tel que % & soit un carré. Exercice 3

1) Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : '" "

;

( " et

!

"

_{$ 1 +}

3) a) Montrer que & est un triangle rectangle en .

b) Trouver l’affixe du point ) tel que &) soit un rectangle. 4) a) On pose * = ∗ & , trouver l’affixe du point *.

b) Déterminer et construire les ensembles suivants :

, = -. ∈ 0/| − 2 − 3 | = | + 1 + |3 et 4 = -. ∈ 0/|2 − 1 + 2 | = 53

Exercice 4

Une seule des réponses proposées est exacte.

1) Soit un nombre complexe, le conjugué de 1 + est :

a)1 − b)1 − c)1 + 2) La forme algébrique de 1 + 2 − 3 est :

a)6 − 4 b)6 + 4 c)−6 − 4 3) La forme algébrique de ' est :

a)−2 + 3 b)2 + 3 c)2 − 3 Exercice 5

1) Soient les points = 2 + ; = −1 et ₇ = 3 − 2 . a) Placer les points , , et &.

2) a) Calculer les distances , & et &. b) Déduire la nature du triangle &.

3) a) Déterminer l’affixe du point ) symétrique du point par rapport à :. b) Quelle est la nature du quadrilatère &) ? Justifier.

Exercice 6

Soient les points , , & et * d’affixes respectives : = −2 ; = 1 + ; ₇ = 4 + 2 et _; = 2. 1) a) placer les points , , & et *.

b) Vérifier que * est le milieu du segment 8 &9. 2) Montrer que le triangle & est isocèle.

3) Déterminer l’affixe _< du point ) pour que &) soit un losange.

4) a) A tout point . d’affixe ≠ 4 + 2 on associe le point .′ d’affixe : ?

=

%.′ =

7A

b) Montrer que si le point . décrit la médiatrice du segment 8 &9 alors le point .′ décrit un cercle que l’on précisera.

Exercice 7

A tout . d’affixe ≠ on associe le point .′ d’affixe

′ =

" et soient les points : −1 et . 1) a) Montrer que

| ′| =

A

b) En déduire l’ensemble ∆ des points . tel que | ′| = 1. 2) Déterminer et construire les ensembles suivants

a), = -. ∈ 0/ ′ ∈ ℝ3

b), = -. ∈ 0/ ′ soit imaginaire pur3. Exercice 8

1) Placer dans le plan complexe les points , , & et ) d’affixes respectives : ; 1 − ; 5 + et 4 + 3 2) Montrer que &) est un rectangle.

3) A tout point . du plan d’affixe distinct de 1 − on associe le point .′ d’affixe

′ =

| ′| =

A

b) En déduire que si .′ appartient au cercle trigonométrique alors . appartiendra à une droite que l’on précisera.

4) a) Montrer que ′ − − 1 + = 2 + et que .′ × . = √5

b) Montre que si . appartient à un cercle de centre et de rayon 1 alors .′ appartient à un cercle que l’on précisera.

Exercice 9

Soient les points , et & d’affixes respectives : = − , = √3 + et ₇ = −√3 + . 1) a) Donner la forme trigonométrique de , et ₇.

b) Placer les points , et &.

c) Déterminer une mesure de l’angle orienté Q% , %&R. 2) a) Déterminer l’affixe du point * milieu du segment 8 &9.

b) Déterminer l’affixe du point ) tel que & ) soit un parallélogramme. c) Montrer que & ) est un losange.

Exercice 10

On donne les points , et & d’affixes respectives :

= −1 + 4 , = 2 + 2 et

= −

2) a)Placer les points , et &.

b) Montrer que le triangle & est isocèle et rectangle. c) Déterminer l’affixe du point ) tel que &) soit un carré. 3) Soit le point , d’affixe _S = 1 + √3.

a) Donner le module et un argument de et _S. b) Déduire le module et argument de _S

.

c) Ecrire sous forme algébrique le complexe : _S

.

4) Déterminer l’ensemble des points . d’affixe tel que | + | = | |. Exercice 11

On donne les points , , & et ) d’affixes respectives :

= 2√3 + 2 , = −2 − 2

7

= −2 + 2 √3 et

= 2 − 2 √3

1) a)Placer les points , , & et ). b) Calculer − &

− )

c) En déduire le module et un argument de − & − )

d) Quelle est la nature du triangle &).

2) a) Déterminer le module et un argument de ₇

et

.

b) Ecrire sous la forme algébrique &

c) Ecrire sous la forme trigonométrique de & d) En déduire cosUV et sinUV

3) Résoudre dans ℝ l’équation Q1 + √3R cos 2W + Q1 − √3R sin 2W = 2. 4) A tout point . ≠ ) d’affixe on associe le point .′ d’affixe ′ = " &

" )

a) Vérifier que ′ − 1 Q − 2 + 2 √3R = 4 − 4 √3.

b) Déduire l’ensemble des point .′ lorsque . décrit le cercle de centre ) et de rayon 4. Exercice 12

Une seule des réponses proposées est exacte. 1) Si = 2 − 2 1 + 3 alors :

a)XY = 2 b) = 2 + 2 1 + 3 c)*Z = −2 2) Si z est un nombre complexe dont un argument est V+ 2[\ ; [ ∈ ℤ

alors un argument de 1 − est :

a)– \ + 2[\ ; [ ∈ ℤ b)0 + 2[\ ; [ ∈ ℤ c)–V+ 2[\ ; [ ∈ ℤ 3) Si = Q√3 − R − 2 alors | | est égale à:

a)0 b)2√3 c)2 − 2√3 Exercice 13

Répondre par Vrai ou Faux.

1) Soit = 2 − 3 donc = 3 − 2 . 2) Soit = −1 − donc | '| = 16

3) Soit un nombre complexe de module 1 et dont un argument est V

@ donc = −1.

4) Soit un nombre complexe de module √2 et dont un argument est aV

@ donc est imaginaire pur.

5) Soit un nombre complexe dont un argument est −V

a et ayant une partie réelle égale à 4√3 donc | | = 8.

6) Soit un nombre complexe donc | + 1 − | = | + 1 + |. 7) Soit et ′ deux nombres complexes si | | = | ′| donc = ′.

8) Soit et ′ deux nombres complexes on a toujours | + ′| = | | + | ′|. Exercice 14

On pose c = 1 + √3 et d = 1 + 1) Ecrire sous la forme algébrique c × d.

2) a) Ecrire c et d sous la forme trigonométrique. b) Ecrire c × d sous la forme trigonométrique. 3) En déduire cosUV et sinUV

Exercice 15

Soient les points et d’affixes respectives : = 2 − 2 et = 2 + 2 1) Placer et .

2) Qu’elle est la nature du triangle % .

3) Soit le point & d’affixe ₇

= ! +

$ 2 − 2

b) Ecrire

+

2 − 2

b) En déduire cos V et sin V

5) a) Comparer % et %& et donner une mesure de l’angle !% ; %&e $. b) En déduire la nature du triangle % &.

Exercice 16

Soient les nombres complexes = −√2 + √2 et = −√2 − √2 1) Mettre et sous forme trigonométrique.

2) Placer alors les points , et & d’affixes respectives 2, et 3) Déterminer sous forme algébrique l’affixe du point : = ∗ 4) Calculer %* et une mesure de Qc , %*R.

5) Donner alors _f sous forme trigonométrique et en déduire les valeurs de cos V

' et sin V '

Exercice 17

Soient les points = − , = et ₇ = 4 . A tout point . d’affixe ≠ on associe le point .′ d’affixe = "@

1) a) Montrer que si . ≠ alors on a %.′ =7A

A

b) En déduire que si .′ est sur le cercle de centre % et de rayon 1 alors le point . varie sur une droite que l’on déterminera.

2) a) Montrer que si ≠ alors ′ − + = −3 et en déduire que : . × .′ = 3.

b) Montrer alors que si le point . appartient au cercle C de centre et de rayon 2 alors le point .′ appartient à un cercle C ’ dont on précisera le centre et le rayon.

3) a) Montrer que si . ≠ et . ≠ alors !u , OM′e $ =i+ !AM , CM′e $ + 2kπ ; k ∈ ℤ. b) En déduire que si . appartient au segment 8 9\- , 3 alors .′ ,appartient à une droite que l’on précisera.

Exercice 18

On donne les points et d’affixes respectives : = 1 + √3 et = 1 − . 1) Ecrire et sous la forme trigonométrique.

2) Ecrire × sous la forme trigonométrique et en déduire cos i et sin i 3) A tout point . ∈ 0\- 3 et d’affixe , on associe le point .′ d’affixe ′ = "

b) Déterminer et construire l’ensemble 4 des points . tel que ′ soit réel. c) Déterminer l’ensemble o des points . tel que | ′| = 1.

4) Soit * le point d’affixe 1. Montrer que pour tout point ∈ 0\- 3 , *.′ × . = 1 + √3. Que décrit le point .′ lorsque . décrit le cercle de centre et de rayon 1 ?

Exercice 19

1) On donne = 1 + , = 1 − √3 et = 1 − . a) Ecrire , et sous la forme trigonométrique. b) En déduire la forme trigonométrique de p = ×

qq 2) a) Ecrire p sous forme algébrique.

b) En déduire les valeurs exactes de cosUi et sinUi

3) Résoudre dans 80 , 2\8 ; Q√2 − √6R cos W + Q√2 + √6R sin W = 2