Nombres Complexes 3ème Sc Techniques

(1)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 1

Nombres Complexes 3ème Sc Techniques

Dans tous les exercices le plan P complexe est rapporté à un repère orthonormé direct , , . Exercice 1

1) Soient les nombres complexes : = 1 − 2 et = −3 +

Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : − 2 ; ; × et

2) Soit = 2 + où est un réel.

a) Déterminer pour que soit imaginaire pur.

b) Déterminer pour que 1 + soit un réel.

Exercice 2

On donne les points et d’affixes respectives :

=

et

= −3 + 4 !

"

#

$

1) Ecrire et sous la forme algébrique.

2) Placer les points et .

3) Montrer que le triangle % est isocèle rectangle

4) Déterminer l’affixe du point & tel que % & soit un carré.

Exercice 3

On donne les points et d’affixes respectives :

=

"'

"

et

=

( "

1) Ecrire et sous la forme algébrique.

2) Placer les points et .

3) Déterminer et construire les ensembles suivant

∆= *+ ∈ -/| + 3 + | = | − 3 − 3 |0 et C= *+ ∈ -/| + 3 + | = 40

Exercice 4

1) Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : 1"

"

;

2 " et

!

"

_{$ 1 +}

2) Marquer les points , et & d’affixes respectives : 2 + 3 , 3 + et −1 −

3) a) Montrer que & est un triangle rectangle en .

b) Trouver l’affixe du point 3 tel que &3 soit un rectangle.

4) a) On pose 4 = ∗ & , trouver l’affixe du point 4. b) Déterminer et construire les ensembles suivants :

6 = *+ ∈ -/| − 2 + 3 | = | + 1 + |0 et 7 = *+ ∈ -/|2 − 1 + 2 | = 50

Exercice 5

1) Soit - = − 1 + − 2 + , ∈

ℂ

.

a) Vérifier que pour tout ∈

ℂ

; - = + 1 − 2 − .

b) Résoudre dans

ℂ ;

- = 0.

2) Soient les points = 2 + ; = −1 et _; = 3 − 2 .

a) Placer les points , , et &.

(2)

3) a) Calculer les distances , & et &. b) Déduire la nature du triangle &.

4) a) Déterminer l’affixe du point 3 symétrique du point par rapport à <. b) Quelle est la nature du quadrilatère &3 ? Justifier.

Exercice 6

Résoudre dans

ℂ les équations suivantes

+ 2 + 5 = 0 − 4 + 20 = 0 4 + 4 + 10 = 0

Exercice 7

Une seule des réponses proposées est exacte.

1) Soit un nombre complexe, le conjugué de 1 + est :

a)−1 − b)1 − c)1 −

2) La forme algébrique de 1 + 2 − 3 est :

a)6 − 4 b)6 + 4 c)−6 − 4 3) La forme algébrique de 1 est :

a)−2 + 3 b)2 + 3 c)2 − 3 Exercice 8

Soient les points , , & et 4 d’affixes respectives : = −2 ; = 1 + ; _; = 4 + 2 et _@ = 2.

1) a) placer les points , , & et 4.

b) Vérifier que 4 est le milieu du segment = &>.

2) Montrer que le triangle & est isocèle.

3) Déterminer l’affixe _A du point 3 pour que &3 soit un losange.

4) a) A tout point + d’affixe ≠ 4 + 2 on associe le point +′ d’affixe : D

=

E

"E"

Montrer que :

%+′ =

F

;F

b) Montrer que si le point + décrit la médiatrice du segment = &> alors le point +′ décrit un cercle que l’on précisera.

Exercice 9

On donne les points , et & d’affixes respectives :

= −1 + 4 , = 2 + 2 et

_;

= −

1) a)Placer les points , et &.

b) Montrer que le triangle & est isocèle et rectangle. c) Déterminer l’affixe du point 3 tel que &3 soit un carré.

2) Soit le point 6 d’affixe _G = 1 + √3.

a) Donner le module et un argument des complexes et _G.

b) Déduire le module et un argument de _G

.

(3)

d)En déduire cos'L et sin'L

3) Déterminer l’ensemble des points + d’affixe tel que | + | = | |.

Exercice 10

Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme trigonométrique = 1 + cos O + sin O avec O ∈ >0 , P=

= −1 + cos O + sin O avec O ∈ >0 , P= = sin O + cos O + avec O ∈ 4Q

E = 1 − cos O − sin O avec O ∈ >−P , 0=

Exercice 11

1) Placer dans le plan complexe les points , , & et 3 d’affixes respectives : ; 1 − ; 5 + et 4 + 3

2) Montrer que &3 est un rectangle.

3) A tout point + du plan d’affixe ≠ 1 − on associe le point +′ d’affixe

′ =

"

a) Montrer que

| ′| =

F

b) En déduire que si +′ appartient au cercle trigonométrique alors + appartiendra à une droite que l’on

précisera.

4) a) Montrer que ′ − − 1 + = 2 + et que +′ × + = √5

b) Montrer que si + appartient à un cercle de centre et de rayon 1 alors +′ appartient à un cercle que l’on précisera.

Exercice 12

Soient les points , et & d’affixes respectives : = − , = √3 + et _; = −√3 + .

1) a) Donner la forme trigonométrique de , et _;. b) Placer les points , et &.

c) Déterminer une mesure de l’angle orienté R% , %&S.

2) a) Déterminer l’affixe du point 4 milieu du segment = &>.

b) Déterminer l’affixe du point 3 tel que & 3 soit un parallélogramme. c) Montrer que & 3 est un losange.

Exercice 13

Une seule des réponses proposées est exacte.

1) Si = 2 − 2 1 + 3 alors :

a)QT = 2 b) = 2 + 2 1 + 3 c)4U = −2

2) Si z est un nombre complexe dont un argument est L+ 2VP ; V ∈ ℤ ; alors un argument de −2 est :

a)– P + 2VP ; V ∈ ℤ b)0 + 2VP ; V ∈ ℤ c)–L+ 2VP ; V ∈ ℤ

3) Si = R√3 − S − 2 alors | | est égale à:

a)0 b)2√3 c)2 − 2√3 Exercice 14

(4)

Répondre par Vrai ou Faux.

1) Soit = 2 − 3 donc = 3 − 2 .

2) Soit = −1 − donc | 1| = 16

3) Soit un nombre complexe de module 1 et dont un argument est L

E donc = −1.

4) Soit un nombre complexe de module √2 et dont un argument est (L

E donc est imaginaire pur.

5) Soit un nombre complexe dont un argument est −L

( et ayant une partie réelle égale à 4√3 donc | | = 8.

6) Soit un nombre complexe donc | + 1 − | = | + 1 + |.

7) Soit et ′ deux nombres complexes si | | = | ′| donc = ′.

8) Soit et ′ deux nombres complexes on a toujours | + ′| = | | + | ′|.

Exercice 15

On pose [ = 1 + √3 et \ = 1 +

1) Ecrire sous la forme algébrique [ × \.

2) a) Ecrire [ et \ sous la forme trigonométrique.

b) Ecrire [ × \ sous la forme trigonométrique.

3) En déduire cos'L et sin'L

Exercice 16

Soient les points et d’affixes respectives : = 2 − 2 et = 2 + 2

1) Placer et .

2) Qu’elle est la nature du triangle % .

3) Soit le point & d’affixe _;

= ! +

√

$ 2 − 2

.

a) Ecrire _; sous forme algébrique.

b) Ecrire

+

√ et

2 − 2

sous forme trigonométrique.

4) a) Ecrire _; sous forme trigonométrique.

b) En déduire cos L et sin L

5) a) Comparer % et %& et donner une mesure de l’angle !% ; %&] $.

b) En déduire la nature du triangle % &.

Exercice 17

1) On donne = 1 + , = 1 − √3 et = 1 − .

a) Ecrire , et sous la forme trigonométrique.

b) En déduire la forme trigonométrique de ^ = × __

2) a) Ecrire ^ sous forme algébrique.