Nombres Complexes

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 1 Exercice 1:

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O,OA,OB ) et I le milieu de [AB]. On considère l'application f de P\{I} dans P qui à tout point M d'affixe z^{1 i}

2

 associe le point M' d'affixe z'= ^{z² i} 2z ( 1 i )



  . 1) a) montrer que A et B sont les seuls points invariants par f.

b) préciser les affixes des antécédents de I par f.

2) a) soit z \{1,^{1 i} 2

 }. Montrer que

z' i z i 2

z' 1 z 1

    

    . b) en déduire que pour tout MP\{A,B,I} on a

BM ' BM 2

AM ' AM

 

   et que ( AM ' ,BM ' )2( AM ,BM )[ 2 ] .

c) sur quel ensemble se déplace le pont M' lorsque M se déplace sur le cercle de diamètre [AB] privé de A et B.

3) soit  la médiatrice de [AB]. On suppose que M est un point de

\{I}.

a) vérifier que M'.

b) construire le point M à l'aide d'un point M de \{I}.

Exercice 2:

1) résoudre dans l'équation

(E): z²-(2cos  +i)z+1+sin  +icos  =0; [0, 2

 ].

2) le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct ( , , )O i j

; soit A et B les points d'affixes respectives zA=e ^{–i } et zB= i+e ^{i } ; I le milieu de [AB]

a) déterminer l'ensemble des points des points B et I lorsque  décrit [0,2

 ].

b) écrire zB sous forme exponentielle.

c) déterminer  pour que O, A et B soient alignés.

3) déterminer l'affixe du point C pour que OACB soit un rectangle.

Exercice 3:

Soit  un réel de ]0, [ et (E) l'équation:

(1-i)z²-2(1+e^{i })z+(1+i)(1+e^{i })²=0 1) a) résoudre dans l'équation (E).

b) écrire chacune des solutions de (E) sous forme exponentielle.

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par M1 et M2 les points d'affixes respectives

i i

1 2

z  1 e^ et z i( 1 e ^ ). Déterminer et construire l'ensemble des points M₁ et M₂ lorsque  décrit ]0, [.

3) a) montrer que OM1M2 est un triangle rectangle et isocèle en O.

b) soit B le point d'affixe 2i. Déterminer le réel  pour que OM₁BM₂ soit un carré.

Exercice 4:

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct ( , , )O i j . on considère les points A et B d'affixes respectives i et ^{1 i}

2

 . Soit f

l'application de P dans P qui à tout point M d'affixe a associe le point M' d'affixe z'=(1-i)z-1.

1) a) vérifier que f admet un seul point invariant que l'on précisera.

b) on pose z= ¹ eⁱ ; ] , [ 2 2

    . Déterminer la forme exponentielle de z'.

2) a) on suppose que M  B; montrer que arg z' ( i,BM )[ 2 ] 4

 

   .

b) en déduire l'ensemble E={M(z); z' IR*-}.

3) on suppose que MA.

a) montrer que le triangle AMM' est rectangle et isocèle.

b) on se donne un point M d'affixe z (zi)

déduire une construction géométrique de chacun des points :

 M' tel que z'= (1-i)z-1.

 M'' d'affixe z''=(1+i)z-1 Exercice 5:

1) résoudre dans l'équation (E): z²-2iz-1+e ^{2i }=0 ; ] ,2 [.

2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé directe ( , , )O i j , on considère les points A, M' et M'' d'affixes respectives 2i, z'=i+ie ^{i } et z''=i-ie ^{i }.

a) montrer que ^z'' itg( )

z' 2

   .

b) Montrer que pour ] ,2 [, OM'AM'' est un rectangle.

c) Déterminer  pour que OM'AM'' soit un carré.

d) Déterminer l'ensemble des points M' lorsque  décrit ] ,2 [.

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www.zribimaths.jimdo.com Page 3 Exercice 6:

le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O, ^u,v). On considère pour tout ]0,

2

 [, l’équation (E_) : z²-2ie^iz-4(1-i)e^2i=0.

1/ résoudre dans C l’équation (E_).

2/ on considère les points M’ et M’’ d’affixes respectives 2e^i et –2(1-i)e^i et le point N image de M’ par la rotation de centre O et d’angle

2

 . a/ montrer que pour tout ]0,

2

 [, M’ appartient à un cercle  que l’on précisera.

b/ déterminer l’affixe n du point N.

c/ montrer que OM’NM’’ est un parallélogramme.

d/ en déduire une construction du point M’’ a partir de M’.

3/ a/ déterminer en fonction de  le module et un argument de –2(1-i)e^i. b/ déterminer l’ensemble des points M’’ lorsque  varie dans ]0,

2

 [.

4/ Soit (E’) : (2 z-1)³=(-2+2i)e^iz³.

a/ déterminer les racines cubiques du nombre complexe (-2+2i)e^i. b/ soit x]0,2[\{} ; montrer l’équivalence :

2 1 2

2 (1 cot ( )

4 2

z ix x

z i g

z^{ }

e

c/ en déduire les solutions de l’équation (E’).

Exercice 7:

le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct(O, ^u,v), on désigne par A et K les points d’affixes respectives 1 et 1+i et I et J les affixes de i et –i.

1/  le cercle de centre O et de rayon 1, soit N un point de  distinct de I et J ; on note

( u ON , )



t[2].

a/ quelle est la nature du triangle INJ ? b/ montrer que pour tout tIR\ {k

2 ,KZ} le nombre

it it

i i

e e



 est imaginaire pur.

2/ on désigne par  le cercle de centre A et de rayon 1, soit r la rotation de centre O et d’angle

2

 .

a/ tracer et son image  ’ par r.

b/ on note M’=r(M), ou M un point du plan ; exprimer l’affixe z’ de M’

en fonction de l’affixe z de M.

c/ déduire l’antécédent H de K par r.

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www.zribimaths.jimdo.com Page 4 note(

u AM , )



[2].

a/ vérifier que z=1+e^i. b/ montrer que ^{' (1 )}

(1 )

i i

z i i

z i i i

e e





   

  

c/ montrer que M, K et M’ sont alignés.

d/ en déduire une construction de M’ connaissant M.

Exercice 8:

f est l’application du plan dans le plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que z’= ^{² 1}

2 2 cos z

z 



 , ]0,

2

 [, z cos. 1/ determiner les points invariants par f.

2/a/ démontrer que 2cos e^i-1=e^2i.

b/ prouver que pour z cos on a: ^' ( )² '

i i

i i

z z

z z

e e

e e

 

 

 

 

   .

c/ en déduire que ^{( ' , ' ) 2( , ) 2}

 

'

M B MB M B M A MB MA et

M A MA

 ^{ }

    avec

A(e^i) et B(e^-i).

3/ a/ montrer que si M appartient au cercle  de diamètre [AB] alors M’

appartient au segment [AB].

b/ le cercle  coupe la droite des abscisses (O,^e1) en E et F; montrer que f(E)=f(F)=A*B.

4/ montrer que si M appartient à un cercle de centre I et passant par A et B alors les points A, B, M’ et I sont sur un même cercle ou alignés.

Exercice 9:

pour tout zC on pose P(z)=1+z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶. 1/ montrer que pour tout zC\{1} on a P(z)=¹₁^_^z_z⁷ .

2/ déterminer les racines septième de l’unité dans C; en déduire les solutions de l’équation P(z)=0.

3/ montrer que pour tout zC ; P(z)=

2 4 6

( ² 2 cos 1)( ² 2 cos 1)( ² 2 cos 1)

7 7 7

z  z z  z z  z

      .

4/ montrer que P(z)=0 signifie

z z 1 Z 

Z³+Z²-2Z-1=0 en déduire que cos

7 cos6 7 et

cos4 7 ;

2   sont racines de l’équation (E):

8x³+4x²-4x-1=0

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i 2

.

a/ montrer que pour tout zC on a P(z)=(z-w)(z-w²)(z-w³)(z-w⁴)(z-w⁵)(z- w⁶).

b/ en déduire que (1-w)(1-w²)(1-w³)(1-w⁴)(1-w⁵)(1-w⁶)=7.

c/ en utilisant un calcul de modules, montrer que :

6

2 3 4 5 6 7

sin sin sin sin sin sin

7 7 7 7 7 7

2

      _

. Exercice 10 :

soit l’équation (E) : z²-2(1+icos)z+2icos=0 ; ou ]0, [ 2

 . 1/a) résoudre dans C l’équation (E).

b) on note z1=1+ie^i et z2=1+ie ^-i ; écrire z1 et z2 sous forme exponentielle.

2/a) déterminer chacun des ensembles des points M1 et M2 d’affixes z1 et z2

lorsque  décrit ]0, [ 2

 .

b) soit I le milieu de [M₁M₂] ; quel est l’ensemble décrit par I lorsque

 décrit ]0, [ 2

 ?

3/ soit l’application r : P  P ; M(z) ^M’(z’) tel que z’= e ^–2iz+2isin e^-i.

a) caractériser l’application r.

b) montrer que M2=r(M1 ).

c) déterminer alors la nature du triangle AM1 M2 ou A(1). déterminer  pour que AM₁ M₂ soit rectangle isocèle.

4/a) montrer que lorsque  varie sur]0, [ 2

 la droite (M1 M2 ) a une direction fixe.

b) en déduire  pour que OAM2M1 soit un losange.

Exercice 11:

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ^(O,u,v). Soit l’équation (E) : z³=i(z-1)³.

1/ montrer que si z est solution de (E) alors |z|=|z-1|.

A quelle ensemble  appartient alors M l’image de z ? 2/ on pose arg(z)=[2].

a) montrer que si M(z) alors arg(z)+arg(z-1)=[2].

b) pour quelles valeurs de , z est solution de (E) ?

3/a) construire dans le plan les images des solutions de (E).

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www.zribimaths.jimdo.com Page 6 Exercice 12:

soit IR et l’équation (E) : e^2iz²-e^iz+1=0.

1/ résoudre (E) et mettre ses solutions sous forme exponentielle.

2/ on pose z1=e^i(--3) et z2= e^i(-+3) ; M1 et M2 les points d’affixes z1 et z2. a) vérifier que z e z2

i 2 1

  .

b) déterminer  dans chacun des cas suivants :

i/ M1 et M2 sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

ii/ M₁ et M₂ sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

c) est-il possible que M1 et M2 soient symétrique par rapport à l’origine.

3/ on pose pour nIN* : S_n=_zⁿ₁_z1ⁿ et S’_n=_zⁿ₂_zⁿ₂. a) calculer en fonction de n et  : S_n et S’_n . b) vérifier que si n=3p, pIN* alors Sn=S’n. c) montrer que 0

n S lim S

' n n n

 



 .