DS n°01

DS n°01 – lundi 25/09/2017 – 1

S

Exercice n° : N°1 (E.C.) N°2 N°3 N°4 NOTE :

Barème :

/ 5 /5 /3 /7 /20

Compétences ^{Acquis En cours}

d’acquisition Non acquis Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction

Résolution graphique d’équation/inéquation Résolution algébrique d’équation/inéquation Etudier les variations de fonctions associées Représenter graphiquement une fonction affine Etudier les variations d’un polynôme du second degré Forme canonique/ factorisation

Réinvestir des connaissances en géométrie Construire un tableau de signe

Prise d’initiative

Rédaction et maitrise des calculs

Exercice 1 : Exercice Contrôlé [5 points]

On considère la fonction 𝑓 définie sur 𝐼 =] − ∞ ; ³

2 ] par 𝑓(𝑥) = √−2𝑥 + 3 .Soit 𝐶_𝑓 La courbe représentative de la fonction 𝑓 sur I représentée dans le graphique ci-dessous.

1. La fonction 𝑓 est définie sur l’intervalle 𝐼 =] − ∞ ; ³

2 ]. Justifier le à partir de l’expression de la fonction.

2. Résoudre graphiquement l’inéquation 𝑓(𝑥) < 1. On laissera les tracés apparents.

Démontrer le résultat obtenu

3. Etudier les variations de la fonction 𝑓sur 𝐼.

4. Soit g la fonction définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 .

a) Tracer la courbe 𝐶_𝑔 de la fonction g sur le graphique ci-dessous.

b) Résoudre l’équation : 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).

Exercice 2 : [5 points]

Des biologistes étudient l’impact d’un bactéricide sur une culture de bactéries. Ils estiment que le nombre de bactéries présentes dans la culture en fonction du temps t (en min) est donné par :

𝑵(𝒕) = −𝟓𝒕^𝟐+ 𝟓𝟎𝒕 + 𝟏𝟎𝟎𝟎 1. Résoudre l’équation : 𝑁(𝑡) = 1000

Puis, interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.

2.

a) Etudier les variations de la fonction N sur [0; +∞[.

b) « Monsieur Paul affirme que le bactéricide est efficace dès son introduction dans la culture ».

Qu’en pensez-vous ? (justifier)

3. Déterminer la forme canonique de la fonction N.

4. Combien de temps faut-il pour tuer l’ensemble des bactéries ?

Exercice 3 : [3 points]

Un électricien dispose de deux résistances 𝑅₁ 𝑒𝑡 𝑅₂ , l’une est fixe de 10 Ω, l’autre pouvant varier de 0 à 10 Ω. Il associe ces deux résistances en parallèle.

On note 𝑥 la valeur de la résistance variable et on admet que ^𝟏

𝑹𝒆

=

𝑹𝟏

+

𝑹𝟐

.

1. Démontrer que la valeur de la résistance équivalente 𝑅_𝑒 est donnée par : 𝑹_𝒆= ^𝟏𝟎𝒙

𝟏𝟎+𝒙.

2. Déterminer l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles la valeur de la résistance équivalente est supérieure ou égale à 4 Ω.

Exercice 4 : [7 points]

ABCDEFGH est un cube de coté 6 cm. A tout réel 𝑥 ≥ 0, on associe le point M de la demi-droite [AB) tel que 𝐵𝑀 = 𝑥, M n’étant pas entre A et B.

On admet que les droites (HM) et (BG) sont sécantes en P.

On s’intéresse à la fonction 𝑓 qui a 𝑥 associe 𝑓(𝑥) = 𝐵𝑃.

1.

a) Calculer la longueur BG.

b) Dans le plan (ABG), représenter en vraie grandeur le rectangle ABGH avec tous les éléments contenus dans ce plan.

2. Démontrer que : 𝑓(𝑥) = 6√2 ^𝑥

𝑥+6. 3.

a) Montrer que pour tout 𝑥 ≥ 0 ∶ 𝑓(𝑥) = 6√2 −^36√2

𝑥+6

b) Etudier les variations de 𝑓 sur [0; +∞[.

4. Déterminer la position du point M pour que P soit le milieu de [BG].

5. Justifier que pour tout 𝑥 ≥ 0 ∶ 𝑓(𝑥) < 6√2.Interpréter géométriquement ce résultat.

Correction DS n°01 – 1^ère S Exercice 1 : (E.C.) [5 points]

Exercice 2 :[5 points]

1. 𝑁(𝑡) = 1000 (1)

(1) ⇔ −5𝑡²+ 50𝑡 + 1000 = 1000 (1) ⇔ −5𝑡²+ 50𝑡 = 0

(1) ⇔ 𝑡(−5𝑡 + 50) = 0 (1) ⇔ 𝑡 = 0 𝑜𝑢 − 5𝑡 + 50 = 0 (1) ⇔ 𝑡 = 0 𝑜𝑢 𝑡 = 10

La culture contiendra 1000 bactéries à l’instant initial et au bout de 10 minutes.

2.

1+0.5 0.5

0.75

1,25 1

1.5

a) 𝛼 = − ^𝑏

2𝑎= − ⁵⁰

2×(−5)= 5

𝛽 = 𝑓(5) = −5 × (5)²+ 50 × 5 + 1000 = −125 + 250 + 1000 = 1125 𝑎 = −5 < 0 , on obtient donc les variations suivantes :

𝑥 0 5 + ∞ Variations

de 𝑓

1125

1000

b) Le nombre de bactérie augmente entre l’instant initial et 𝑡 = 5 puis diminue ensuite. Ainsi, le bactéricide n’est pas efficace dès le départ puisque le nombre de bactérie augmente au début de son introduction dans la culture. Il n’est efficace qu’au bout de 5 minutes. Donc M. Paul a tort.

3. 𝑁(𝑡) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)²+ 𝛽 = −5(𝑥 − 5)²+ 1125 4. 𝑁(𝑡) = 0  (2)

(2)⇔ − 5 (𝑥 −¹

2)²+ 1125 = 0 (2)⇔ − 5 (𝑡 −¹

2)²= −1125 (2)(𝑡 − 5)²= −¹¹²⁵

−5 =225 (2) ⇔ (𝑡 − 5)²= 225

(2) ⇔ 𝑡 − 5 = 15 𝑜𝑢 𝑡 − 5 = −15

(2) ⇔ 𝑡 = 5 + 15 = 20 𝑜𝑢 𝑡 = −15 + 5 = −10 < 0

Or t représente un temps donc la solution 𝑡 = −10 est exclue.

Conclusion : Toutes les bactéries seront tuées à l’instant 𝑡 = 20 , Soit au bout de 20minutes.

Exercice 3 : [3 points]

1. On sait que : ¹

Re

=

R1

+

R2

,

Re

=

10

+

x

=

10x

+

10x

=

10x

Donc R_e= ^10x

10+x (passage à l’inverse)

2. 𝑅𝑒 ≥ 4 (3) (3) ⇔_10+x^10x ≥ 4 (3) ⇔ 10x

10 + x− 4 ≥ 0 (3) ⇔10𝑥 − 4(10 + 𝑥)

10 + 𝑥 ≥ 0 (3) ⇔10x − 40 − 4x

10 + x ≥ 0 (3) ⇔6x − 40

10 + x ≥ 0

𝑥 0 ²⁰

3 10

Signe de 6𝑥 − 40 − +

Signe de 10 + 𝑥 + +

Signe de ^6x−40

10+x − +

Solution : 𝑆 = [²⁰

3 ; 10]

1

0.5

0.5

1.5

1

2

6𝑥 − 40 = 0 ⇔ 𝑥 =40 6 =20

3 10 + 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = −10

a=6>0 a=1>0

Ainsi, la résistance équivalente 𝑅𝑒 sera supérieure ou égale à 4 𝛺 lorsque 𝑥 ∈ [²⁰

3 ; 10], c’est-à-dire lorsque la deuxième résistance R₂ sera supérieure ou égale à ²⁰₃ 𝛺.

Exercice 4 : 1.

a) Dans le triangle BCG rectangle en C, d’après le théorème de Pythagore, on a :

𝐵𝐺²= 𝐵𝐶²+ 𝐶𝐺² 𝐵𝐺² = 6² + 6² 𝐵𝐺² = 72

𝐵𝐺 = √72 = √36 × 2 = 6√2 Donc BG mesure 6√2 cm b)

2. 𝑓(𝑥) = 𝐵𝑃

On sait que (BP) et (AH) sont parallèles car ABGH est un rectangle et que les droites (HP) et (AB) sont sécantes en M.

D’après le théorème de Thalès, on a : ^𝑀𝐵

𝑀𝐴 = ^𝐵𝑃

𝐴𝐻(= ^𝑀𝑃

𝑀𝐻) Donc : _𝑥+6^𝑥 =^𝑓(𝑥)_6√2

Donc : 𝑓(𝑥) = 6√2 ^𝑥

𝑥+6

3.

a) 6√2 −^36√2

𝑥+6 =^{6√2(𝑥+6)}

𝑥+6 −^36√2

𝑥+6 =6√2𝑥+36√2−36√2 𝑥+6 =^6√2𝑥

𝑥+6 = 6√2 ^𝑥

𝑥+6

b)

𝑥 0 + ∞ Justifications Variations de 𝑥: → 𝑥 + 6

6

Car 𝑢(𝑥) = 𝑥 + 6 est une fonction affine dont 𝑎 = 1 > 0 Variations de 𝑥: → ¹

𝑥+6

1

6 Car 𝑢 et ¹

𝑢 ont des variations contraires

Variations de 𝑥: → −^36√2

𝑥+6

−6√2

Car 𝑠𝑖 𝜆 < 0 alors 𝑢 𝑒𝑡 𝜆 𝑢 ont des variations contraires Variations de 𝑥: → 6√2 −^36√2

𝑥+6

0

Car 𝑢 𝑒𝑡 𝑢 + 𝑘 ont le même sens de variation.

Conclusion : 𝑓 est donc croissante sur [0; +∞[.

4. P est au milieu de [BG] si et seulement si 𝐵𝑃 =¹

2𝐵𝐺 c’est-à-dire : 𝑓(𝑥) =¹

26√2 On résout donc l’équation : 𝑓(𝑥) = 3√2(4)

(4) ⇔ 6√2 𝑥

𝑥 + 6= 3√2 (4)⇔ ^𝑥

𝑥+6=^3√2

6√2

(4) ⇔ 𝑥 𝑥 + 6=1

2 (4) ⇔ 𝑥 =1

2(𝑥 + 6) (4) ⇔ 𝑥 =1

2𝑥 + 3 0.75

0.75

1.5

0.75

1

0.75

1.5

0.75

(4) ⇔ 𝑥 −1 2𝑥 = 3 (4) ⇔1

2𝑥 = 3 (4) ⇔ 𝑥 = 6

donc P est placé au milieu du segment [BG] lorsque le point M est placé à 6 cm du point B

5. On sait que : ∀𝑥 ≥ 0 ∶ 𝑓(𝑥) = 6√2 −^36√2

𝑥+6

Or ∀𝑥 ≥ 0: ^36√2

𝑥+6 > 0 d’où − ^36√2

𝑥+6 < 0 Donc ∀𝑥 ≥ 0: 6√2 −^36√2

𝑥+6 < 6√2 Ainsi : ∀𝑥 ≥ 0 ∶ 𝑓(𝑥) < 6√2 Interprétation géométrique :

 Si 𝑓(𝑥) > 6√2 alors le point P n’est plus sur le segment [BG] ce qui est impossible.

 Si 𝑓(𝑥) = 6√2 alors le point P est confondu avec le point G et donc les droites (HP) et (AB) sont parallèles et ne sont plus sécantes et le point M n’existe plus.