Nom :
Prénom : DS n°3
le 30/01/2018 Classe :
BTS 1
Avis du professeur
Compétences évaluées Acquis En cours
d'acquisition Non Acquis Déterminer une limite.
Dériver une fonction.
Déterminer les variations d'une fonction. Dresser un tableau de variations complet.
Justifier qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle donné.
Déterminer la moyenne et l'écart-type d'une série statistique.
Calculer le pourcentage des valeurs comprises dans un intervalle donné.
Justifier le choix d'un ajustement affine.
Utiliser un tableur / la calculatrice pour déterminer une droite de régression.
Interpréter la valeur du coefficient de corrélation linéaire.
Estimer une valeur.
Les exercices seront traités dans l'ordre de votre choix. La présentation et le soin apportés à la présentation de votre copie rentreront pour une part importante dans sa notation.
Exercice 1 : … / 7
Une entreprise fabrique chaque mois tonnes d'un certain produit, avec appartenant à l'intervalle ]0 ; 10].
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production mensuelle de tonnes est donné par , où est la fonction définie par :
= On note c la représentation graphique de .
1. a) Déterminer la limite de quand tend vers 0. Que peut-on en déduire graphiquement ? b) Justifier que pour tout réel de ]0 ; 10] on a : = .
c) Etudier les variations de sur ]0 ; 10] puis dresser le tableau des variations de . 2. a) Justifier que l'équation = 10 admet une unique solution sur l'intervalle [1 ; 10].
b) Déterminer une valeur approchée de à près puis interpréter le résultat.
Exercice 2 : … / 4
Une entreprise conditionne des parfums dans des flacons dont l'étiquette affiche une contenance de 50 mL.
Les volumes mesurés sur un échantillon de 500 flacons pris au hasard sont donnés dans le tableau suivant : Volume (en mL) [45 ; 47[ [47 ; 49[ [49 ; 51[ [51 ; 53[ [53 ; 55[
Effectifs 33 67 217 132 51
1. Calculer le volume moyen ainsi que l'écart-type des flacons de cet échantillon.
On indiquera les formules qui permettent les calculs et on arrondira les résultats au centième.
2. Dans cette question, on prendra comme valeur approchée de la moyenne .
Déterminer le pourcentage des flacons dont le volume de parfum est compris dans [ ; ].
¯
x ¾
x x
x C(x) C
C(x) 0,01e
x
x
C(x) x
x C0(x) (x¡1)e
x
100x2
C C
C(x) ®
® 10-2 C
¯
x¡3 x¯+ 3
50 x¯
Exercice 3 : … / 9 Le 4 octobre 2012 Mark Zukerberg, Pdg de Facebook, annonçait que le réseau social avait franchi la barre du milliard d'utilisateurs actifs dans le monde.
Sur une feuille de calcul, on dispose des données ci-dessous permettant de suivre l'évolution du nombre d'utilisateurs sur Facebook dans le monde (en millions) depuis décembre 2009. Ces données sont représentées par un nuage de points où l'abscisse correspond au nombre d'années écoulées depuis cette date.
1. a) Au vu du graphique, peut-on envisager un ajustement affine du nuage de points ? Justifier.
b) Calculer les coordonnées du point moyen G. Arrondir à près.
2. a) Quelles formules faut-il saisir en A13, B13 et C13 pour obtenir le coefficient de corrélation linéaire, le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite d'ajustement de en ?
b) Utiliser la calculatrice pour compléter les cellules A13, B13 et C13. Arrondir à près.
c) Donner l'équation de la droite d de régression de en . Tracer d.
d) Interpréter la valeur obtenue pour le coefficient de corrélation linéaire.
3. On souhaite estimer le nombre d'utilisateurs en décembre 2018.
a) Quelles formules doit on saisir en C15 ?
b) Calculer une estimation, au million près, du nombre d'utilisateurs de Facebook dans le monde en décembre 2018.
4. a) Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite de régression de en . Arrondir les coefficients à à près.
b) En déduire, en admettant que la tendance se poursuive de la sorte, la date à partir de laquelle on peut estimer que Facebook dépassera les 3 milliards d'utilisateurs dans le monde.
y x
x y
yi
xi
10-2
10-3 y x
10-4
Correction du DS n°3 Exercice 1 :
Une entreprise fabrique chaque mois tonnes d'un certain produit, avec appartenant à l'intervalle ]0 ; 10].
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production mensuelle de tonnes est donné par , où est la fonction définie par :
= On note c la représentation graphique de .
1. a) Déterminer la limite de quand tend vers 0. Que peut-on en déduire graphiquement ?
∀ ∈ ]0 ; 10], =
On a : = =
Et : = 0
Donc, par quotient de limite : = +∞
On en déduit que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à c en 0.
b) Justifier que pour tout réel de ]0 ; 10] on a : = .
∀ ∈ ]0 ; 10], = = avec : = et : = = et : =
= = = =
c) Etudier les variations de sur ]0 ; 10] puis dresser le tableau des variations de .
∀ ∈ ]0 ; 10], = .
∀ ∈ ]0 ; 10], > 0 et > 0
Le signe de est le même que celui de sur ] ; 10].
> 0 ⇔ >
On en déduit que est positive sur [ ; ] et négative sur ] ; ].
Donc est décroissante sur ] ; ] puis croissante sur [ ; ].
– +
+ ∞
2. a) Justifier que l'équation = 10 admet une unique solution sur l'intervalle [1 ; 10].
est continue et strictement croissante sur [ ; ].
= = ≈ et : = ≈
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = 10 admet une unique solution sur l'intervalle [1 ; 10].
b) Déterminer une valeur approchée de à près puis interpréter le résultat.
En utilisant le tableur de la calculatrice on obtient : ≈
Donc pour une production mensuelle de tonnes, le coût moyen de fabrication est d'environ 10 000 euros.
x x
x C(x) C
C(x) 0,01e
x
x
C(x) x
x C0(x) (x¡1)e
x
100x2
C C
C(x) ®
® 10-2 x C(x) 0,01e
x
x
0,01ex 0,01e0 0,01
x +
xlim!0 x>0 xlim!0 x>0
xlim!0 x>0
0,01ex x
C
x C(x) 0,01e
x
x
u(x) v(x)
C0(x) u
0(x)v(x)¡u(x)v0(x) v2(x)
u(x) 0,01ex v(x) x
0,01exx¡0,01ex x2
0,01ex(x¡1) x2
(x¡1)ex 100x2 0,01ex
u0(x) v0(x) 1
x C0(x) (x¡1)e
x
100x2
x ex 100x2
C0(x) x¡1
x¡1 x 1
C0(x) 1 10 0 1
0
0 1
C 1 10
x C0(x) O C(x)
0 1 10
e10 1000
C 1 10
0,01e
C(1) 0,027 C(10) e
10
1000 22,026
C(x) ®
® 9,12 9,12
e 100
e 100
Exercice 2 :
Une entreprise conditionne des parfums dans des flacons dont l'étiquette affiche une contenance de 50 mL.
Les volumes mesurés sur un échantillon de 500 flacons pris au hasard sont donnés dans le tableau suivant : Volume (en mL) [45 ; 47[ [47 ; 49[ [49 ; 51[ [51 ; 53[ [53 ; 55[
Effectifs 33 67 217 132 51
1. Calculer le volume moyen ainsi que l'écart-type des flacons de cet échantillon.
On indiquera les formules qui permettent les calculs et on arrondira les résultats au centième.
On calcule la moyenne en utilisant les centres de classe comme valeurs :
= = = ≈
Pour déterminer l'écart-type on commence par calculer la variance :
= ≈
Donc : = ≈
2. Dans cette question, on prendra comme valeur approchée de la moyenne .
Déterminer le pourcentage des flacons dont le volume de parfum est compris dans [ ; ].
[ ; ] = [ ; ] = [ ; ]
=
Donc % des flacons contiennent entre et mL de parfum.
Exercice 3 :
Le 4 octobre 2012 Mark Zukerberg, Pdg de Facebook, annonçait que le réseau social avait franchi la barre du milliard d'utilisateurs actifs dans le monde.
Sur une feuille de calcul, on dispose des données ci-dessous permettant de suivre l'évolution du nombre d'utilisateurs sur Facebook dans le monde (en millions) depuis décembre 2009. Ces données sont représentées par un nuage de points où l'abscisse correspond au nombre d'années écoulées depuis cette date.
1. a) Au vu du graphique, peut-on envisager un ajustement affine du nuage de points ? Justifier.
Le nuage de point est « allongé » donc on peut envisager un ajustement affine.
¯
x ¾
¯ x
¯ x
33£46 + 67£48 + 217£50 + 132£52 + 51£54
500 50,404 50,4
33£(46¡x)¯ 2+ 67£(48¡x)¯ 2+ 217£(50¡x)¯ 2+ 132£(52¡x)¯ 2+ 51£(54¡x)¯ 2 500
¾ p
V 2,03
4,12
¯
x¡3 x¯+ 3
¯
x¡3 x¯+ 3 50¡3 50 + 3 47 53 67 + 217 + 132
500 0,832
83,2 47 53
¯ x 50
V
V
¾
yi
xi P5
i=1
nixi
N
xi
b) Calculer les coordonnées du point moyen G. Arrondir à près.
Le point moyen G a pour coordonnées ( ; ) avec :
= ≈
= ≈
2. a) Quelles formules faut-il saisir en A13, B13 et C13 pour obtenir le coefficient de corrélation linéaire, le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite d'ajustement de en ?
En A13 :
= COEFFICIENT.CORRELATION(C2:C10;B2:B10) En B13 :
= PENTE(C2:C10;B2:B10) En C13 :
= ORDONNEE.ORIGINE(C2:C10;B2:B10)
b) Utiliser la calculatrice pour compléter les cellules A13, B13 et C13. Arrondir à près.
On obtient : ≈ ≈ et ≈
c) Donner l'équation de la droite d de régression de en . Tracer d.
La droite de régression de en a pour équation : =
d) Interpréter la valeur obtenue pour le coefficient de corrélation linéaire.
Le coefficient de corrélation linéaire est très proche de 1 donc il y a une très forte corrélation entre le nombre d'années écoulées depuis décembre 2009 et le nombre d'utilisateurs de Facebook dans le monde.
3. On souhaite estimer le nombre d'utilisateurs en décembre 2018.
a) Quelles formules doit on saisir en C15 ?
En décembre 2018 il se sera écoulé 9 ans depuis décembre 2009.
Donc, on peut taper en C15 : = 9*B13+C13
b) Calculer une estimation, au million près, du nombre d'utilisateurs de Facebook dans le monde en décembre 2018.
Si = 9
Alors : = ≈
En décembre 2018 on peut estimer à millions le nombre d'utilisateurs de Facebook dans le monde.
4. a) Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite de régression de en . Arrondir les coefficients à près.
La droite de régression de en a pour équation : =
b) En déduire, en admettant que la tendance se poursuive de la sorte, la date à partir de laquelle on peut estimer que Facebook dépassera les 3 milliards d'utilisateurs dans le monde.
3 milliards = millions Si =
Alors : = ≈
Si la tendance se poursuit de la sorte, on peut estimer que Facebook dépassera les 3 milliards d'utilisateurs dans le monde ans après décembre , c'est-à-dire en juin .
y x
y x
x y
¯ x y¯
¯ x
¯ y
0+1+2+3+4+5+6+7+7,5 9
360+608+845+1060+1230+1390+1590+1790+2000 9
10-2
3,94
1208,11
10-3 r 0,997 a 205,08 b 399,184
205,08x+ 399,184 y
y x
x
y 205,08£9 + 399,184 2245 2245
x y x
10-4
0,0048y¡1,9125
x y
12,5 3000
3000
0,0048£3000¡1,9125
2022 2009
12,5
