Mathématiques
Devoir maison n°10
1èreS4
À rendre le 21 avril 2016
Exercice 1Contrôle de qualité
Une entreprise fabrique un article qui doit répondre à des normes précises. On considère que 8 % des articles produits ne sont pas conformes aux normes. Un test de contrôle en fin de fabrication est censé repérer les articles non conformes. Cependant le test comporte une certaine marge d’erreur ; une étude a établi que :
— 5 % des articles conformes aux normes sont refusées par le test ;
— 10 % des articles non conformes aux normes sont acceptées par le test.
On considère un article pris au hasard au moment de passer le test. On note : C l’événement : « l’article est conforme aux normes » ;
T l’événement : « l’article est accepté par le test ».
C et T désignent les événements contraires respectifs de C et T.
C C Total
T T
Total 0,08 1
1. a) Compléter le tableau à double entrée ci-dessus. (donner les résultats en pourcentage).
b) Entourer dans le tableau la probabilité qu’une pièce soit acceptée par le test.
2. On suppose pour la suite que la probabilité que l’article soit accepté par le test est de 0,882. On prélève successivement 20 articles dans la production et on suppose que le nombre d’articles est suffisamment grand pour que le tirage puisse être assimilé à un tirage avec remise.
On note X la variable aléatoire donnant le nombre d’articles acceptés par le test parmi les 20 articles prélevés au hasard.
On arrondira les résultats au millième si nécessaire.
a) Quelle est la loi de probabilité de X ? Préciser ses paramètres.
b) Déterminer la probabilité que 18 des 20 articles soient acceptés par le test. On écrira le calcul effectué. Pour la suite, on pourra donner directement les résultats obtenus à la calculatrice.
c) Comment peut-on noter la probabilité qu’au maximum 18 articles soient acceptés par le test ? Calculer cette probabilité.
d) Quelle est la probabilité qu’au moins 5 articles soient refusés par le test ?
Exercice 2Une réserve africaine
Dans une réserve africaine les observateurs en place ont constaté que la population d’antilopes est en baisse de 10% tous les ans depuis plusieurs années. Actuellement, en 2016, cette population a été évaluée à 500 animaux. On fait l’hypothèse que cette tendance va se poursuivre dans les années à venir. On s’intéresse à l’évolution de la population d’animaux à partir de 2016. La situation peut être modélisée par une suite (Un), le terme Undonnant une estimation du nombre d’animaux dans la réserve l’année 2016 +n.
Partie A :
Variables : - P et Q sont des nombres réels - N est un nombre entier Entrée : - Saisir une valeur pour Q Traitement : - Affecter à N la valeur 0
- Affecter à P la valeur 500 Tant que P>Q faire
- Affecter à P la valeur 0,9×P - Affecter à N la avaleur N + 1 Fin du tant que
Sortie : - Afficher N
1. a) On saisit la valeur 300 pour Q. Pour cette valeur de Q, en suivant pas à pas l’algorithme précédent, recopier le tableau ci-dessous et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire (c’est-à-dire jusqu’à avoir un faux dans la boucle "Tant que").
Valeur de P 500 Valeur de N 0 Tant que P>Q vrai
b) Pour la valeur 300 saisie, comment interpréter le résultat de cet algorithme ?
2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice ou d’Algobox, la plus petite valeur de n telle que Un<1 et interpréter ce résultat.
Partie B :
Afin de compenser cette baisse de population, on décide d’introduire dans cette réserve, tous les ans dès 2017, 80 antilopes dans une autre réserve.
1. Donner dans un tableau, l’évolution de cette population de 2016 à 2022.
2. On se place dans l’hypothèse d’une disparition de 10% de la population tous les ans et d’une introduction de 80 animaux nouveaux (dont la mortalité est supposé nulle).
Pour tout entier natureln, on note Vn la population de ces animaux en 2016 +n. On a V0= 500.
Donner l’expression de Vn+1 en fonction de Vn.
3. On considère la suite (Wn) définie pour tout entier naturelnpar Wn= Vn−800.
a) Montrer que (Wn) est une suite géométrique de raison 0,9.
b) En déduire que, pour tout entier natureln, Vn= 800−300×0,9n.
c) En procédant ainsi, les responsables de la réserve ont-ils endigué la chute de la démo- graphie des antilopes ? Expliquer.
Bonus !
Répondez à l’énigme de la quinzaine sur :
http://rallymaths.free.fr/
