Chapitre 1 ´Echantillonnage et anti-aliasing

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Chapitre 1

Echantillonnage et anti-aliasing ´

Contenu du chapitre

1 Qu’est-ce-que l’aliasing ? . . . . 6

1.1 L’approche “traitement du signal” . . . 6

1.2 L’analyse de Fourier . . . 9

2 Evaluation d´eterministe de l’intensit´e d’un pixel . . . .´ 12

2.1 Descriptif du probl`eme . . . 12

2.2 Principe du sur´echantillonnage . . . 14

2.3 Interprétation du suréchantillonnage en théorie du signal . . 16

2.4 Filtrage en pratique . . . 20

2.5 Sur´echantillonnage adaptatif . . . 22

2.6 Subdivision sur crit`eres s´emantiques . . . 27

2.7 Calcul d’aire direct . . . 27

2.8 Limitation des m´ethodes d´eterministes et ouverture . . . 30

3 Génération de nombres aléatoires . . . . 32

3.1 Génération de nombres aléatoires . . . 32

3.2 Génération de variables aléatoires bidimensionnelles . . . . 40

3.3 Comparaisons et remarques . . . 42

4 Evaluation al´eatoire de l’intensit´e d’un pixel . . . .´ 44

4.1 Les m´ethodes de Monte-Carlo . . . 44

4.2 Utilisation d’une m´ethode al´eatoire . . . 46

4.3 Conclusion et résumé des méthodes à utiliser pour l’évaluation de l’intensité dans un pixel . . . 50

4.4 Compl´ement : le flou de mouvement (motion-blur) . . . 50

5 G´en´eralisation . . . . 53

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Lorsque l’on représente un phénomène continu par une “version numérique” de celui-ci, il peut apparaˆıtre des distorsions non désirées. On regroupe sous le nom d’aliasing l’ensemble des distorsions potentiellement observables en synthèse d’images. Il est très important de bien comprendre ce phénomène afin, lorsqu’il apparaˆıt, d’en iden- tifier la source et d’y remédier.

1 Qu’est-ce-que l’aliasing ?

1.1 L’approche “traitement du signal”

La “version numérique” d’un signal continus(t)(caractéristique d’un phénomène continu quelconque) s’obtient en deux étapes :

– Une phase d’´echantillonnage lors de laquelle on acquiert la connaissance du signal en un petit nombre ti de points. Soit n le nombre de ces points, alors l’ensemble des couples

{ti, s(ti)}i=1···n

est la version ´echantillonn´ee de ce signal.

– Une phase de reconstruction qui consiste à tenter de réobtenir le signal original s à partir des seuls échantillons{t_i, s(t_i)}dont on dispose.

Cette approche naturelle est celle qui est utilis´ee lorsque l’on trace sur l’´ecran d’un ordinateur une fonction (par exemples(t) =sin(t)) pourt∈[a, b](voir figure 1.1) :

– on choisitnpoints dans l’intervalle[a, b]:

ti =a+ (b−a)× i−1 n−1 pouriallant de1`an. Puis, on calcules(ti)pour touti.

En terme d’échantillonnage, cela signifie que l’on échantillonne uniformément la fonctionssur l’intervalle[a, b]avec un pas d’échantillonnageδconstant :

δ= b−a n−1

δ est la distance entre deux ti consécutifs. La fréquence d’échantillonnage est fe = 1/δ(nombre d’échantillons par unité).

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– Une phase de reconstruction qui consiste `a tracer l’ensemble des segments {

ti, s(ti)

,(ti+1, s(ti+1))}

pouriallant de0`an−2.

En terme de reconstruction, la fonction trac´ee est la fonction suivante :

˜

s(t) =ⁿ⁻

1 i=0

s(t_i).φ

t−ti

δ

o`uφ(t)est la fonction triangle suivante : φ(t) =

⎧⎨

⎩

1 +t sit ∈[−1,0) 1−t sit ∈[0,1)

0 sinon

L’importance de l’aliasing se mesure alors comme l’´ecart entresets˜.

δ s(ti)

s(t)

ti t

(a) ´Echantillonnage uniforme avec un pasδ du signals(t).

φ(^t−δ^ti)

ti t

(b) Les fonctionsφde reconstruction.

˜ s(t)

t

(c) La fonction reconstruite FIG. 1.1 – Exemple du couple ´echantillonnage-reconstruction.

Sur certains intervalles, le signal reconstruit˜speut devenir très différent du signal s. On peut grossièrement distinguer deux catégories :

– Les cas oùs˜s’apparente à un bruit (structures incohérentes) : trop peu d’échan- tillons sont choisis pour reconnaˆıtre le signal d’origine.

– Les cas où s˜fait apparaˆıtre des structures cohérentes très différentes de celles contenues dans le signals original (voir figures 1.2 et 1.3). Ce phénomène est connu en image sous le nom de “moiré”.

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(a) Le signal ´echantillonn´e paraˆıt constant.

(b) Le signal échantillonné semble d’une fréquence plus faible que le signal original.

(c) La fonction f(ρ(x, y)) où ρ(x, y) est la distance à l’origine et f(t) = ¹₂(1 +sin(t²)). Cette fonction os- cille de plus en plus vite lorsque l’on s’écarte du centre.

L’échantillonnage de cette fonction présente à la fois de l’aliasing et du moiré (apparition de régions circulaires).

FIG. 1.2 – Exemples simples d’aliasing provoqué par un mauvais choix du pas d’échantillonnage sur un signal continu échantillonné.

FIG. 1.3 – Exemple classique d’une image de synthèse présentant de l’aliasing : un damier qui se prolonge à l’infini. Les contours paraissent discontinus, et la texture du damier forme à l’infini des structures incohérentes.

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On se pose donc le problème de savoir comment s’assurer que le signals˜est une représentation correcte du signal s et éviter ainsi l’apparition de tels phénomènes.

La théorie du signal a fourni depuis longtemps une explication sur l’origine de ces phénomènes, ainsi qu’un critère simple permettant de l’éviter.

Intuitivement, on sent bien que plus un signal présente des variations importantes lors d’un petit intervalle de temps, plus il faudra prendre d’échantillons pour que le signal reconstruit à partir des échantillons ressemble au signal original. L’analyse de Fourier nous donne les outils pour étudier ce phénomène.

1.2 L’analyse de Fourier

Nous savons qu’un vecteur a des coordonnées différentes en fonction de la base de vecteurs dans laquelle on choisit de l’exprimer. Ces coordonnées sont donc la représentation de ce vecteur dans cette base. Une approche similaire peut être développée pour les fonctions :

– On peut définir une base de fonctions{Ψ_f(t)}_f_∈Edans laquelle on pourra représenter toutes fonctions. Dans le cas de l’analyse de Fourier, ces fonctions sont définies par :

Ψ_f(t) =e⁻ⁱ²^πft = cos(2πf t)−isin(2πf t)

oùf ∈R. La fonctionΨf(t)est une fonction dont la fréquence d’oscillation est exactementf. La base {Ψf(t)}f∈R est donc l’ensemble des fonctionsΨf pour toutes les fréquences possibles.

– La coordonn´ee des(t)correspondant `a la fonction Ψf(t)est obtenue en effectuant le produit scalaire (fonctionnel) :

ˆ

s(f) = s(t).Ψf(t).dt ˆ

s(f) représente l’importance que la fréquence f “joue” dans s(t). {ˆs(f)}_f_∈R représente les coordonnées de la fonctions(t)dans la base{Ψf(t)}f∈R.

– La fonctions(f)ˆ oùf ∈Rest appelée la transformée de Fourier des(t). Elle représente une décomposition¹suivant toutes les fréquences des(t). On noteF la transformation de Fourier :sˆ=F(s).

– La fonctions(t)s’´ecrit dans la base des fonctionsΨf comme : s(t) = s(f).eˆ ⁱ²^πft.df

1Il s’agit d’une généralisation continue en fréquence des coefficients de Fourier.

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Cette transformation s’appelle la transformation de Fourier inverse desˆ(not´ee s = F⁻¹(ˆs)). Elle permet de retrouver exactement s(t) `a partir de s(fˆ ). La transformation de Fourier d’une fonction est unique²et inversible.

s(t) t

(a) Exemple de signal p´eriodique id´eal :s(t) =a.sin(2πf₀.t+φ₀).

φ₀ est le déphasage (le décalage par rapport à la fonction en poin- tillés).

F

−f0 +f0

|sˆ(f)| 0

a

f

(b) Le module |ˆs(f)| de sa transformée de Fourier : deux pics d’amplitude alocalisés aux fréquencesf₀et−f₀.

arg s(f)

−f0

+f0

−φ0

+φ0

−π +π f

(c) La phase arg ˆs(f) de sa transformée de Fourier : deux pics antisymétriques d’ampli- tudeφ₀localisés aux fréquencesf₀et−f₀. FIG. 1.4 – Ce que réalise une transformée de Fourier.

Par conséquent, l’analyse de Fourier consiste à changer l’espace de représentation d’une fonction afin d’étudier les aspects fréquentiels de celle-ci. Plus précisément,

– le domaine temporel (ou spatial) est le domaine dans lequel le signals(t)dépend de la variable t : l’axe des ordonnées représente une évolution temporelle (ou spatiale) tandis que l’axe des abscisses représente l’amplitude du signal à l’or- donnée correspondante.

– le domaine fréquentiel est le domaine dans lequel le signal complexeˆs(f)dépend de la fréquence f. Le transformée de Fouriersâ l’interprétation intuitive suivante (voir figure 1.4) :

– pour son module|ˆs|, l’axe des abscisses représente l’ensemble des fréquences possibles et l’axe des ordonnées l’importance de cette fréquence pour ce signal. En général, les fréquences basses (proches de 0) correspondent aux grandes tendances du signal tandis que les hautes fréquences correspondent aux détails ( petites oscillations très rapides). Par conséquent, l’essentiel des informations se trouve en général dans les basses fréquences.

– pour sa phase, l’axe des abscisses représente l’ensemble des fréquences possibles et l’axe des ordonnées le déphasage associé à cette fréquence.

2Si deux fonctions ont la même transformée de Fourier, alors elles sont égales.

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On peut alors comprendre l’effet de l’échantillonnage sur un signal en analysant l’impact que cette opération a sur son spectre. On peut alors démontrer que (voir figure 1.5) le spectre échantillonnésês’écrit :ˆse(f) =fe.

ks(fˆ +k.fe). Autrement dit :

⎛

⎝ échantillonnage des avec une fréquence d’échantillonnagefe

⎞

⎠=⇒

p´eriodisation desˆ avec une fr´equencefe.

s(t)

t F

ˆ s(f)

−fm +fm

f

(a) Transform´ee de Fourier d’un signal continu.

t F

+fe

−fe 2 2

f

(b) Transformée de Fourier du même signal continu, mais échantillonné. Le spectre devient périodique.

FIG. 1.5 – Influence de l’´echantillonnage sur la transform´ee de Fourier d’un signals(t).

Ceci a deux effets importants :

– Il n’est nécessaire de connaˆıtre le spectre que dans l’intervalle [−fe/2, fe/2], puisque le spectre du signal échantillonné est périodique et de périodefe. – Si le support des(fˆ )(les valeurs def pour lesquellessˆn’est pas nulle) n’est pas

inclus dans[−fe/2, fe/2]alors les spectres p´eriodis´es adjacents se superposent.

Ce phénomène est appelé le repliement de spectre (voir figure 1.6).

La conséquence est l’important théorème de Nyquist : il n’est pas possible représenter correctement les fréquences supérieures à fe/2avec un échantillonnage de fréquence fe. Pire, si des fréquences supérieures àfe/2sont présentes dans le spectre, alors elles viennent perturber les fréquences inférieures àfe/2. Donc,

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t F

+fe

−fe 2 2

f

FIG. 1.6 – Phénomène de repliement du spectre : lorsque le pas d’échantillonnage est insuffisant, la périodisation engendre un mélange du spectre avec ses versions décalés, donnant ainsi l’illusion que le spectre se replie (le spectre observé est dans la fenêtre en pointillée)

.

l’échantillonnage d’un signal à une fréquencefene provoque pas de perte d’information³si et seulement si la fréquence maximalefmax

du signal v´erifie la condition suivante : fmax< fe

2

Ce théorème formalise donc l’intuition qu’un signal comportant beaucoup d’oscil- lations (i.e. des hautes fréquences) ne peut pas être représenté avec un petit nombre d’échantillons. Vu sous ce jour, le phénomène d’aliasing apparaˆıtra quand :

– la fréquence maximale du signalfmax n’est pas majorée. Dans ce cas, peu importe la fréquence d’échantillonnage, il y aura des problèmes de reconstruction.

– la fréquence d’échantillonnage fe est fixée. Alors toutes les parties du signal présentant des fréquences plus grandes quefe/2présenteront de l’aliasing.

En synthèse d’images, le phénomène d’aliasing est tr ès fréquent car l’échantillonnage de phénomènes continus intervient quasiment à toutes les étapes de la construction d’une image.

2 Evaluation d´eterministe de l’intensit ´e d’un pixel ´

2.1 Descriptif du probl`eme

Une image I(x, y) est un signal continu (x et y sont réels) qui se forme par la projection d’une scène tridimensionnelle sur le plan de l’écran (principe de l’appareil photographique, voir section ??). Une image numériqueIi,j est un signal discret (ietj sont entiers). La valeur en chaque point (ou pixel)Ii,jde ce signal discret est l’intensité

3Il est alors possible de reconstruire exactement le signal original `a partir des ´echantillons.

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moyenne d’une portion de l’imageI(x, y); c’est-`a-dire (en prenant la grille discr`ete naturelle) :

Ii,j = ⁱ⁺¹

i

j+1

j I(x, y).dy.dx (1.1)

FIG. 1.7 – Calcul de l’intensit´e d’un pixel

Dans le cas où on suppose que tous les objets “contenus dans le pixel” (ou vus “à travers”) sont localement presque constants, alors cette intégrale peut se réécrire sous la forme suivante (voir figure ci-contre) :

Ii,j =AF.IF +

k

Ak.Ik (1.2) où pour le kîème objet, Ak est son aire contenue dans le pixel, Ik est son inten- sité moyenne dans le pixel. L’indiceF fait

référence au fond (les portions du pixel non occupées par un objet). La somme des aires est égale à1(l’aire d’un pixel) :

AF +

k

Ak= 1

Nous verrons dans les sections suivantes comment le calcul d’intensité de l’équation 1.1 peut être approché en échantillonnant le signalI(x, y)en un petit nombre de points du pixel pour tenter d’évaluer le plus précisément possibleIi,j.

On tire de l’expression deIi,j deux règles évidentes mais d’intérêt pour sa détermi- nation :

– Plus l’aire d’un objet est importante, plus sa contribution `a l’intensit´e totale du pixel est importante.

– Si l’intensité d’un objet est importante, alors sa contribution à l’intensité totale du pixel peut rester importante même si son aire est petite. En particulier, si le reste des objets et le fond ont une intensité faible, alors la contribution d’un petit objet brillant est majoritaire pour le pixel. Il est n écessaire de traiter explicite- ment ce cas particulier lors du rendu (voir page ?? pour le cas du ray-tracing).

Or les m´ethodes classiques de rendu effectuent des approximations de ce calcul d’aire qui engendrent l’aliasing :

– Pour leZ-buffer, sur les contours (voir figure 1.8), les trac´es obtenus avec l’algorithme de Bresenham impliquent que le pixel aura l’intensit´e de l’objet le plus

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(a) Trac´e exact. En gris clair, les pixels partiellement occup´es.

(b) Tracé avec l’algorithme de Brésenham : effet de crénelage.

(c) Tracé anti-aliasé : l’inten- sité du pixel dépend de son pourcentage d’occupation.

FIG. 1.8 – Application pour le tracé de la frontière d’une région.

proche dès que celui-ci occupe au moins la moitié de l’aire du pixel (par la règle du point milieu), et ceci, même si sa contribution totale à l’intensité du pixel est inférieure à un objet se trouvant derrière.

– Pour le ray-tracing classique, le pixel est affect´e `a l’objet qui intersecte le rayon au centre du pixel, peu importe si celui-ci occupe une aire importante dans le pixel ou non.

Dans les deux cas précédents, l’intensité du pixel est le résultat du calcul en son point central alors que le résultat réel est obtenu par la somme des intensités en tous les points du pixel. On engendre donc nécessairement de l’aliasing (voir figure 1.3) :

– sur les contours, il se traduit par un effet de cr´enelage.

– sur les surfaces, dès que l’objet est texturé, est que l’échelle à laquelle est vue la texture (i.e. sa projection observée dans le plan de l’écran) n’est pas compa- tible avec la finesse de la grille de l’écran (i.e. à cette grille est associé un pas d’échantillonnage du plan de l’écran insuffisant pour représenter correctement la projection de la texture). On engendre alors des structures cohérentes très vi- sibles et sans lien avec la texture originale.

Dans la majorité des cas, la solution consiste à affiner le calcul en suréchantillonnant (i.e. en utilisant non plus une seule valeur pour évaluer l’intensité du pixel, mais un ensemble de valeurs). Ces techniques sont présentées à la section 2.

2.2 Principe du sur´echantillonnage

La méthode d’approximation usuelle de l’intensité d’un pixel est basée sur l’hy- pothèse suivante : l’intensitéIcsur toute la surface du pixel est constante (I(x, y) =Ic

pour(x, y) ∈ [i, i+ 1)×[j, j + 1)). Il suffit par cons´equent de l’´evaluer en un seul

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point (par exemple, le centre de ce pixel). Donc : Ii,j = ⁱ⁺¹

i

j+1

j Ic.dy.dx=Ic.

i+1 i

j+1 j dy.dx

aire du pixel = 1

=Ic

Afin d’obtenir une meilleure évaluation de l’intensité, une idée simple consiste à augmenter le nombre de points de calcul dans un même pixel (voir figure 1.9) :

1. on divise le pixel en n × n carrés disjoints {C_k}_k=1..n×n de taille identique (appelés sous-pixels) sur lesquels on suppose que l’intensité est constante. Les carrés sont identiques, disjoints et recouvrent complètement le pixel. L’aire de chaque carré estAire(C_k) = _n¹2.

2. on ´evalue l’intensit´e{Ik}_k=1..n² au centre de chaque sous-pixel.

3. on calcule l’intensit´e du pixel en utilisant l’´equation 1.1 : Ii,j = ⁿ

2

k=1

Ck

Ik.dx.dy= ⁿ 2

k=1

Ik.Aire(C_k)

= 1

n²

k=1

Ik

Par conséquent, l’intensité est la moyenne des intensités dans les sous-pixels.

Appliqu´ee globalement sur une image, il faut donc calculer une image n fois plus grande et moyenner les pixels par blocs den×npour obtenir l’image finale.

Ic

(a) Un pixel, une seule

´evaluation. L’intensit´e du pixel estI_i,j =I_c.

I1 I2

I3

I4

(b) Un pixel, quatre ´evaluations (n = 2). L’aire de chaque sous- pixel est ¹₂ ×¹₂ = ¹₄. L’intensit´e du pixel estI_i,j =¹₄.(I₁+I₂+I₃+I₄)

I1 I2 I3

I4 I5 I6

I7 I8 I9

(c) Un pixel, neuf ´evaluations (n= 3). L’aire de chaque sous-pixel est

13×¹₃ = ¹₉. L’intensit´e du pixel est I_i,j =¹₉₉

k=1I_k FIG. 1.9 – sur´echantillonnage uniforme d’un pixel.

Formulé en termes de zones d’intensité constante (voir équation 1.2 et figure 1.10) : l’aire de chacune de ces zones est approximée par l’ensemble des sous-pixels dont le

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centre est inclus dans celle ci. La précision de l’intégrale dépend donc directement de la taille des sous-pixels (donc leurs nombres) ainsi que de la taille des objets brillants contenus dans le pixel.

(a) contenu d’un pixel. (b) sur´echantillonnage du pixel.

(c) la contribution effective d’une zone d´epend du nombre de points tombant dans celle-ci.

FIG. 1.10 – approximation de l’aire d’un pixel par sur´echantillonnage.

(a) Damier sans traitement anti-aliasing : les contours sont crénelés et la régularité du damier semble changer avec la profondeur.

(b) Damier avec anti-aliasing par suréchantillonnage (3 × 3 échantillons par pixels) : on observe une nette amélioration.

L’aliasing redevient pr´esent lorsque la fr´equence de la texture continue d’augmenter.

FIG. 1.11 – Technique du suréchantillonnage appliquée sur un damier régulier s’étendant à l’infini.

2.3 Interprétation du suréchantillonnage en théorie du signal

L’approche précédente peut s’interpréter dans le cadre de théorie du signal, et ex- plique pourquoi cette approche réduit le phénomène d’aliasing. Il devient alors d’in- troduire deux notions supplémentaires.

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2.3.1 Filtrage dans le domaine fr´equentiel

Nous avons vu dans la section 1.2 sur l’analyse de Fourier qu’il n’est pas possible de représenter correctement les fréquences au-delà defm = fe/2avec une fréquence d’échantillonnage defe. Toutes les fréquences au-delà defm provoqueront des replie- ments de spectre, origine de l’aliasing.

Or, dans notre cadre, il n’est pas question de modifier la fréquence fe, puisqu’elle correspond directement à la résolution de l’image que l’on observe sur le plan de l’écran. Faisons deux remarques sur l’ensemble des fréquences du signal supérieures à fm:

– Par le théorème de Nyquist, on sait qu’il sera impossible de les représenter correctement.

– A cause du phénomène de repliement du spectre, si on conserve les fréquences supérieure àfm, celles-ci vont venir perturber les fréquences inférieures àfm. Donc, pour s’affranchir du phénomène d’aliasing, la seule solution consiste à se débarrasser de la partie du spectre dont la fréquence est supérieure àfm.

Cette opération peut se formuler en terme de filtrage fréquentiel. Appliquer un filtrage fréquentiel sur un signals(t)consiste à multiplier sa transformée de Fourier ˆ

s(f)par une autre fonctionˆh(f)appelée filtre⁴. La transformée de Fourier du signal filtrésF(f)s’écrit donc :

ˆ

sF(f) = ˆs(f).ˆh(f)

Un filtre permet donc de sélectionner quelles sont les fréquences que l’on souhaite laisser passer ou bloquer. Siˆh(f0) = 0, on supprime la fréquencef0 du signal filtré, si 1>|h(fˆ 0)|>0, on l’atténue ; et si|ˆh(f)|>1, on l’amplifie.

FIG. 1.12 – Spectre d’un filtre passe-bas id´eal.

Si on revient à notre cadre, le filtre idéalh(fˆ )dont nous avons besoin est celui qui laisse passer toutes les fréquences en dessous de fm et bloque toutes les autres. Formellement, ce filtre s’écrit donc :

h(fˆ ) =I(−fO,fO)(f) =

1 sif ∈(−fO, fO) 0 sinon

Ce filtre laisse passer en priorit´e les basses fr´equences.

Ce type de filtre est appel´e un filtre passe-bas.

2.3.2 Produit de convolution

(faire un sch´ema pour expliquer le sens du produit de convolution)

4mais ´egalement fonction de transfert.

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D´efinissons tout d’abord le produit de convolution entre deux fonctions s et h comme :

(s∗h)(t) = s(t−u).h(u).du (1.3) où l’opérateur de convolution est noté∗.

Dans la section précédente, nous avons vu comment construire un filtre passe-bas idéal dans le domaine fréquentiel, et comment l’appliquer à la transformée de Fourier d’un signal. A quoi un filtrage correspond-il dans le domaine spatial ? On peut montrer simplement que :

sF = F⁻¹(ˆsF) =F⁻¹(ˆs.ˆh) =F⁻¹(ˆs)∗ F⁻¹(ˆh)

= s∗h

Donc, le signal filtrésF s’obtient à partir du signalspar convolution avec le filtreh. 2.3.3 Interprétation

En synthèse d’image, on n’a pas accès au véritable signal s(t), même si on dispose de toutes les informations nécessaires pour le construire (géométrie des objets, caractéristiques physiques, ...). La seule chose que l’on sait faire, c’est évaluer ce signal pour toutt. Mais cette évaluation est coûteuse : dans l’idéal, on ne souhaiterait pas calculersplus d’une fois par pixel.

En supposant que la fréquence maximale du signal estfm, la seule façon de construire un signal non aliasé échantillonné avec la fréquencefeest :

1. suréchantillonner⁵ : échantillonner le signal avec une fréquence2.fm.

spectre du signal continu

sur-´echantillonnage

−−−−−−−−−−→

du signal

spectre du signal sur-´echantillonn´e

2. filtrer : appliquer un filtre passe-bas pour la bande de fr´equence(−fe/2,+fe/2).

spectre du signal sur´echantillonn´e

×

filtre passe-bas

=

spectre filtré du signal suréchantillonné

5En pratique, on peut se contenter def_m+f_e/2car on peut autoriser le filtre à se replier dans la bande de fréquence au-delà def_e/2puisque l’on ne conserve pas cette partie du spectre.

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3. rééchantillonner : échantillonner⁶le signal filtré avec une fréquencefe.

spectre filtré du signal suréchantillonné

´echantillonnage

−−−−−−−−−→

du signal

spectre signal filtr´e

´echantillonn´e

Le signal résultant est donc de même taille que celui que l’on aurait obtenu en ap- pliquant directement un pas d’échantillonnage de 1 sur le signal original mais avec les différences significatives suivantes. La phase de suréchantillonnage a pour but d’échantillonner le signal original avec un pas suffisant (i.e. sans ou avec peu de re- pliement de spectre). La phase de filtrage permet de se débarrasser des hautes fréquen- ces. Le signal obtenu peut ainsi être échantillonné avec un pas de 1 sans provoquer d’aliasing car la portion haute fréquence du spectre (qui se repliait et venait perturber les basses fréquences) a été supprimée lors de la phase de filtrage. Le signal original est donc modifié afin de permettre une représentation correcte de celui-ci malgré un pas d’échantillonnage normalement insuffisant. Visuellement, cette opé- ration lisse le signal original (visuellement, on le rend flou) pour n’en conserver que les grandes tendances représentables avec un pas d’échantillonnage de 1. Cette idée est utilisée dans l’annexe dans le problème de changement d’échelle d’une image (cas d’un rétrécissement).

Cette technique pose un problème essentiel pour son application à la synthèse d’images : on ne connaˆıt généralement pas la fréquence maximale fm du spectre de l’image que l’on cherche à synthétiser. En clair, on ne sait pas combien de points de calcul sont nécessaires par pixel pour être sûr d’obtenir une image non aliasée (on ne sait pas comment choisir lende la section 2.2).

En toute rigueur, puisque l’on essaie d’obtenir un aspect naturel, cette fr´equence maximale n’existe pas car le spectre d’une image naturelle contient toutes les fr´equences.

En pratique, cela signifie qu’on ne sait pas choisir le n adéquat (le nombre de sous- pixels en lequel il faut décomposer le pixel) de façon à être sur de se préserver de l’aliasing. En conséquence, si la fréquence de suréchantillonnage est trop faible, les plus hautes fréquences continuent à perturber le signal filtré (voir figure 1.11).

6Si les deux étapes précédentes n’étaient pas présentes, on obtiendrait un repliement de spectre :

spectre du signal continu

´echantillonnage

−−−−−−−−−→

du signal

spectre du signal ´echantillonn´e

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2.4 Filtrage en pratique

Le filtre passe-bas idéal h(fˆ ) = I(−f0/2,f0/2) possède un défaut important : son expression dans le domaine spatial est un sinus cardinal⁷ : h(t) = sinc(f0.t). Par conséquent, il n’est pas localisé⁸ dans le domaine spatial. Appliqué en un point, ce filtre tient donc compte d’un grand nombre de voisins.

Inversement, considérons le filtre moyenneh(t) = I(−a,a)(t)/(2a). Ce filtre est un filtre passe-bas (sa transformée de Fourierˆh(f)est un sinus cardinal). Par conséquent, ce filtre n’est pas localisé dans le domaine fréquentiel, par conséquent, le filtre laisse passer (de manière atténuée) certaines hautes fréquences.

En fait, il n’est pas possible de trouver un filtre dont le support est fini à la fois dans le domaine spatial et fréquentiel. Par contre, on peut montrer que le filtre gaussien est le filtre qui possède la meilleure⁹localisation espace-fréquence : il est à support infini, mais sa décroissance est suffisamment rapide pour le considérer comme localisé. De plus, il possède l’avantage d’être isotrope.

En pratique, on n’applique le filtrage que sur les points (i.e. au “centre” du pixel) qui seront considérés lors du rééchantillonnage. Il est en effet inutile de connaˆıtre la valeur de l’image suréchantillonnée filtrée en tout point. C’est la raison pour laquelle il est plus rapide de travailler dans le domaine spatial plutôt que dans le domaine fréquentiel.

Nous n’avons donn´e pour l’instant l’expression de la convolution que pour un signal unidimensionnel (voir ´equation 1.3). Elle s’adapte facilement en deux dimensions pour image :

(s∗h)(x, y) =

s(x−u, y−v).h(u, v).du.dv

Si le support du filtrehest compact (h(x, y) = 0pour(x, y)∈(−a,+a)×(−b,+b)), l’´equation devient :

(s∗h)(x, y) = ⁺^a

−a +b

−b h(u, v).s(x−u, y−v)

On en déduit immédiatement la forme de la convolution entre un signal discret et un filtre discret centré de taille(2n+ 1)×(2p+ 1):

(s∗h)_i,j =

+n

u=−n +p

v=−p

hu,v.si−u,j−v

7sinc(x) = sin(x)/x

8Autrement dit, la fonction n’est pas `a support compact (il n’existe pas d’intervalle[a, b]tels que h(t) = 0sit∈[a, b]).

9La transform´ee de Fourier d’une gaussienne est une gaussienne.

(17)

Exemple 1 Le filtrehde taille3×3peut s’´ecrire comme la matrice :

h=

⎡

⎣h−1,−1 h0,−1 h1,−1

h−1,0 h⁰,0 h¹,0

h−1,1 h0,1 h1,1

⎤

⎦

o`u le coefficienth0,0 est le centre du filtre. La valeur au point(i, j)du signal bidimen- sionnelsi,j filtr´e par le filtrehs’obtient avec :

(s h)i,j = 1 u=−1

1 v=−1

mu,v.si−u,j−v

= h−1,−1.si+1,j+1+h⁰,−1.si,j+1 +h¹,−1.si−1,j+1 + h−1,0 .si+1,j +h0,0 .si,j +h1,0 .si−1,j + h−1,1 .si+1,j−1+h0,1 .si,j−1 +h1,1 .si−1,j−1

On remarquera que le filtre est inversé dans les deux directions pour être appliqué au signal.

Avec les remarques précédentes, on est donc amené à utiliser essentiellement deux types de filtres :

Les filtres moyennes : pour lesquelles la matrice Mn associée au filtre de taille n s’écrit toujours comme une matrice de taille n× n ne contenant que des 1 et renormalisée parn². Par exemple, la matriceM3 s’écrit :

M₃=1 9

⎡

⎣1 1 1 1 1 1 1 1 1

⎤

⎦

les filtres gaussiens : on peut montrer qu’un filtre gaussien peut se construire comme la convolution infinie de filtres moyennes. On obtiendra donc une bonne approximation du filtre gaussien de taille finie en convoluant des filtres moyennes. Par exemple,

G₁ = M₂∗M₂

= 1 16

⎡

⎣1 2 1 2 4 2 1 2 1

⎤

⎦

G₂ = M₂∗M₃

= 1 36

⎡

⎢⎢

⎣

1 2 2 1 2 4 4 2 2 4 4 2 1 2 2 1

⎤

⎥⎥

⎦

(18)

G₃ = M₂∗M₂∗M₂

= G₁∗M₂

= 1

256

⎡

⎢⎢

⎣

1 4 6 4 1

4 16 24 16 4 6 24 36 24 6 4 16 24 16 4

1 4 6 4 1

⎤

⎥⎥

⎦

G₃ = M₃∗M₃

= 1 81

⎡

⎢⎢

⎣

1 2 3 2 1 2 4 6 4 2 3 6 9 6 3 2 4 6 4 2 1 2 3 2 1

⎤

⎥⎥

⎦

Si l’on interprète ce filtre en tant que pondération (et non en terme de filtrage) de ce qui se passe dans l’ensemble des sous-pixels, cela revient à accentuer ce qui se passe au centre du pixel par rapport au bord.

2.5 Sur´echantillonnage adaptatif

Le sur´echantillonnage pose deux probl`emes :

– en calculant les images avec des résolutions beaucoup plus grandes celles nécessaire, on augmente considérablement le temps de calcul (au moins d’un facteur n² si nest le facteur du suréchantillonnage).

– le suréchantillonnage est loin d’être nécessaire partout. En particulier, on sait que l’aliasing apparaˆıt en priorité sur les zones de contours ou à la surface d’objets texturés. Ces zones sont souvent assez minoritaires sur une image.

Tel que nous l’avons présenté jusqu’ici il est donc grandement inefficace. Une version adaptative permettrait de réduire considérablement le coût du suréchantillonnage en ne l’effectuant qu’aux endroits de l’image susceptibles de présenter de l’aliasing. Ceci est réalisé grâce aux outils suivants :

– une méthode récursive de subdivision du pixel pour permettre une adaptation spatiale de la subdivision. A cette méthode de subdivision est associée une méthode de calcul de l’intensité à partir des subdivisions effectuées.

– un crit`ere de subdivision afin de d´ecider si une zone du pixel doit subir une subdivision ou non.

2.5.1 M´ethode r´ecursive de subdivision d’espace

La méthode de subdivision choisie doit permettre un raffinement progressif de certaines zones particulières du pixel et se prêter facilement à une évaluation locale de l’intensité. Une des méthodes possibles est celle présentée figure 1.13 (méthode de Whitted).

Pour chaque pixel, on dispose à l’origine d’un suréchantillonnage de 2 : on connaˆıt les valeurs des intensités aux coins du pixel et au centre. Au total, pour une image

(19)

(a) Initial. (b) Apr`es raffinement.

FIG. 1.13 – Structure d’échantillonnage et raffinement du coin supérieur droit par la méthode de Whitted

finale de taillesx×sy, on doit donc pr´ecalculer : (s_x+ 1)×(s_y+ 1)

valeurs dans les coins

+ s x×sy valeurs aux centres

puisque la valeur à un coin du pixel est en général partagée par 4 pixels. En fonction de l’importance de la subdivision suivante, on ajoute :

– 3nouveaux points pour subdiviser un coin.

– 5nouveaux points pour subdiviser la moiti´e du pixel.

– au plus8nouveaux points pour subdiviser tout le pixel.

Le calcul de l’intensité s’effectue de la façon suivante (voir figure 1.14). Si l’on noteA,B,C,Dl’intensité aux coins et l’intensité au centre du pixel, alors l’intensité Ipsur le pixel s’évalue comme :

Ip = 1 2E+1

8(A+B +C+D)

= 1

4

aire d’un coin

⎛

⎜⎜

⎝ A+E 2

sup´erieur gauche

+ B+E 2

sup´erieur droit

+ C+E 2

inf´erieur gauche

+ D+E 2

inf´erieur droit

⎞

⎟⎟

⎠

intensit´e des coins

(1.4)

Si un coin est subdivisé (par exemple, si les intensitésF,G etH sont calculées pour le coin supérieur droit - voir figure 1.14), il suffit de mettre à jour l’intensité du coin subdivisé. Nommément dans ce cas, on remplace :

B +E 2

estimation sur 2 points

par 1

4

F +G

2 + G+B

2 + G+E

2 + G+H 2

nouvelle estimation calcul´ee sur 5 points

Cette nouvelle expression peut de nouveau être décomposée comme la somme de 4 termes représentant chacun l’intensité dans un des coins du sous-pixel.

La décision de subdivision d’une zone du pixel est prise grâce à l’un des critères de subdivision suivants.

(20)

initial raffinement

subdivisions

points de calcul de l’intensit´e

aires associ´ees `a chaque point de calcul

FIG. 1.14 – Raffinement du coin supérieur droit : calcul de l’intensité et aires associées.

2.5.2 Crit`eres de subdivision

Le critère de subdivision a pour but de déterminer si le pixel doit être suréchantillonné ou non. Il doit donc réagir dans les régions susceptibles de contenir de l’aliasing :

– soit on se trouve sur un contour. Les contours ont des sources multiples, notam- ment :

– passage d’un objet `a un autre.

– auto-occlusion d’un objet complexe.

– phénomène d’ombrage et de lumière : contour engendré par une ombre pro- jetée, contour du reflet d’un objet sur un autre, etc ...

– un des phénomènes précédents derrière un objet transparent.

La détection de l’ensemble des zones où l’aliasing peut se manifester est donc problématique. Dans cette partie, nous ne développerons que des critères qui se limitent à une analyse des valeurs connues en ces points. Une autre approche permettant une analyse sémantique du problème sera abordée en fin de section.

– soit on se trouve sur une texture. On ne consid´erera pas ce cas car il existe des

(21)

techniques spécifiques intégrées au plaquage de textures permettant de traiter efficacement le problème de l’aliasing des textures (voir la méthode du mip- mapping dans le chapitre ??).

Dans ce cadre, le critère de subdivision est donc un test effectué sur les valeurs connues dans le pixel dans le but de déterminer si le pixel doit être subdivisé ou non ; et récursivement, il est appliqué sur les valeurs de chaque sous-pixel pour savoir s’il faut ou non continuer la subdivision. Un test implique la comparaison de valeurs. Or, ces valeurs peuvent être de différentes natures :

– des valeurs d’intensit´es.

– des triplets RVB ou XYZ.

– desn-uplets correspondant auxnlongueurs d’onde d’une ´evaluation spectrale.

Si les comparaisons d’intensités ne posent pas de problème, il n’en va pas de même dans les autres cas. Comme nous l’indiquions dans le chapitre sur la couleur, ces espaces ne sont pas perceptivement uniformes. Il est donc préférable¹⁰ d’effectuer les comparaisons dans des espaces prévus à cet effet (les espacesL^∗a^∗b^∗ ouL^∗u^∗v^∗, voir le chapitre sur la couleur, page ??) ou de disposer de tests adaptés à chacune des com- posantes.

Notons {sk} l’ensemble des valeurs connues sur le pixel,s^max le maximum des sk etsminleur minimum. On suppose que l’échelle de variation dessksur l’image est [0,1]. Dans l’exemple de la section précédente, les valeurs dessksont{A, B, C, D, E}. Dans le sous-pixel supérieur droit (à l’étape récursive suivante), le critère est évalué avec{sk}={B, E, F, G, H}. Les critères possibles sont alors les suivants :

Diff´erences d’intensit´e : on subdivise sis^max−s^min > .

représente la différence maximale d’intensité autorisée au sein du pixel. Sa valeur est généralement choisie proportionnelle au pas de quantification (k/2⁸pour une intensité codée sur 8 bits aveckproche de 1). La différence d’intensité peut

également être évaluée de façon locale. En reprenant la méthode de subdivision de la section précédente, on peut construire les règles suivantes :

– le coin supérieur gauche (resp. supérieur droit, inférieur droit, inférieur gauche) est subdivisé si|E−A|est supérieur à(resp.|E−B|,|E−C|,|E−D|).

– la partie supérieure (resp. droite, inférieure, gauche) est subdivisée si|A−B|

est sup´erieur `a(resp.|B−C|,|C−D|,|D−E|).

La figure 1.15 présente un exemple de subdivision basé sur ces règles.

Etendue d’intensit´e : on subdivise si´ |smax−t|> ou|smin−t|> .

t est une valeur de référence (la moyenne, le médian, ...). La subdivision a lieu si les valeurs maximale ou minimale s’écartent trop de la valeur de référencet.

10Théoriquement. En effet, il arrive que l’utilisation de ces espaces ne donne pas d’amélioration notable ; ou pire, donnent des résultats moins bon que dans l’espace RGB.

(22)

(a) subdivisions du pixel (b) points de calcul

FIG. 1.15 – Exemple de suréchantillonnage adaptatif sur un contour avec la méthode de subdivision de Whitted. Les règles de subdivision sont : (1) test central : si le critère de subdivision entre le centre et un coins est vérifié, on subdivise le quart de pixel concerné. (2) test des coins : si le critère de subdivision entre deux coins adjacents est vérifié, on subdivise le demi-pixel concerné.

Contraste : le contraste est un bon prédicteur de la réponse de l’oeil. Il est défini par : C = smax−s^min

smax+smin

On subdivise si C > . Les valeurs suggérées pour le rouge, le vert et le bleu sont respectivement0.4,0.3et0.6. Attention, ce test est très sensible lorsque les valeurs dessksont toutes faibles. Pour cette raison, on utilise plutôt une version modifiée du contraste :C = ¯s.C oùs¯est la moyenne dessk.

2.5.3 Compl´ements : subdivision en diamant

La subdivision de Whitted produit la même résultat que deux étapes d’une subdivision en diamant comme le montre le schéma ci-dessous :

Grille initiale. 1^èresubdivision. 2^èmesubdivision. 3^èmesubdivision.

La construction de la valeur du pixel utilise alors la même règle des aires que pour la décomposition de Whitted :

(23)

1^`eresubdivision : ci

c Ip = ¹₂c+¹₈ 4

i=1

ci

2^`emesubdivision : bi

ci

c Ip = ¹₄c+¹₈ 4

i=1

bi+ ₁₆¹ 4

i=1

ci

3^`emesubdivision : di

bi

ci

c Ip = ¹₈c+¹₈ 4

i=1

di+ ₁₆¹ 4

i=1

bi +₃₂¹ 4

i=1

ci

2.6 Subdivision sur crit`eres s´emantiques

L’analyse sémantique est une solution plus adaptée et efficace (mais coûteuse en temps) que les critères proposés ici. Elle exige de disposer en chaque point de l’objet sur lequel on se trouve et de la totalité des informations utilisées pour effectuer le rendu afin de détecter les changements responsables de l’apparition d’un contour à travers une analyse sémantique de la situation. Voici deux exemples pour des rayons directs :

– si le rendu sur deux points adjacents provient de deux objets diff´erents, alors il y a, entre ces deux points, un contour engendr´e par la transition entre les deux objets.

– si le rendu sur deux points adjacents provient d’un même objet, mais que les sources lumineuses éclairant directement ces deux points changent, alors on se trouve dans la zone de transition d’une ombre portée.

Dans le cas du ray-tracing, l’analyse et la comparaison de l’arbre de rendu sur des pixels adjacents permet de conclure dans ces situations (mˆeme dans les cas complexes de contours engendr´es par un reflet).

2.7 Calcul d’aire direct

On se replace dans le cadre de la section 2 (page 12). Dans le cas où les objets qui composent la scène sont des polygones, il est possible d’évaluer exactement l’intégrale 1.1 sur chacun des polygones participant à l’intensité du pixel. Tel quel, le coût de cette méthode est prohibitif, mais celle-ci peut être approximée : le pixel est décomposé en sous-pixels (on reprend en cela l’idée du suréchantillonnage - voir figure 1.16 et ??).

(24)

(a) Exemple (b) Intersection entre le polygone et le pixel

(c) Superposition de la grille : les sommets du polygone (repr´esent´es par des cercles) n’intersectent pas la grille

(d) On les d´eplace pour qu’ils co¨ıncident avec la grille (on choisit le plus proche).

FIG. 1.16 – Calcul de l’intersection entre un polygone et le masque

FIG. 1.17 – Méthode rapide de calcul du masque : on procède en traitant séparément les côtés du polygone intersectant le pixel, et en regroupant les résultats avec des opérations binaires élémentaires.

On “clippe” les extrémités du segment au point le plus proche sur la grille. Un bit du masque est mis à 1si plus de la moitié de son aire est incluse dans le polygone (Bresenham)

(25)

FIG. 1.18 – M´ethode duA-buffer

(26)

L’intensité du pixel est ensuite construite itérativement en traitant un par un les polygones intersectant le polygone et en conservant les sous-pixels dans lesquels l’in- tensité doit être calculée dans un buffer. Cette technique est connue sous le nom de A-buffer (Anti-Aliasing, buffer de moyenne d’AireAccumulée).

entrée (i, j) les coordonnées du pixel dont on veut évaluer l’intensité.

S la sc`ene (contient la liste des polygones la composant).

sortie I_i,j l’intensit´e du pixel de coordonn´ees(i, j).

variables p le facteur de suréchantillonnage du pixel (il est découpé enp×psous- pixels).

M₀ masque binaire de taillep×pcontenant les sous-pixels pour lesquels l’in- tensité a déjà été évaluée (i.e. leA-buffer).

M masque binaire contenant l’approximation (en terme de sous-pixel) du polygone en cours de traitement.

fonction A(M) fonction calculant la portion d’aire du buffer binaireM. Par exemple, siM contientqpixels `a1, alorsA(M) =q/p².

algorithme InitialiserM₀`a1.

InitialiserI_ij `a0.

Trouver les polygonesP_kqui intersectent le pixelI_ij (on notenleur nombre).

Trier parZcroissant ces polygones (indicés deP₁le plus proche jusqu‘àP_nle plus éloigné).

k= 1

Tant quek≤netM₀= 0

Calculer le masqueMde la fraction du polygoneP_kintersectant le pixelp_ij(voir figure 1.17).

Enlever les pixels déjà dessinés :M =M&M₀. siM = 0alors passer au polygone suivant.

Mettre à jour le masque des pixels déjà dessinés :M₀=M₀& (!M).

Calculer la couleur (constante)I_kdu polygoneP_ksur l’intersection deP_ket du pixel(i, j).

Mettre `a jour la couleur du point :I_i,j =I_i,j+I_k.A(M)

Ajouter la couleur du fond pour les points n’intersectant pas de polygones :I_i,j =I_i,j+I_F.A(M₀) Algorithme 1:Algorithme duA-buffer (voir aussi figure 1.18).

La qualité du rendu dépend de la taille du masque choisi. Cette technique efficace est maintenant implémentée sur la majorité des systèmes de rendu actuels en complément duZ-buffer.

2.8 Limitation des m´ethodes d´eterministes et ouverture

Comme nous l’avons déjà vu, si un signal observé n’a pas de fréquence maximale, alors il n’est pas possible en l’échantillonnant d’obtenir un signal non aliasé.

Mieux, l’apparence que l’aliasing prend est une conséquence directe de la régularité