ELEMENTS DE CORRECTION DOSSIER 2
Exercice 2.1 : Utilité marginale
On sait qu’à l’optimum, l’utilité marginale pondérée par les prix doit être identique pour tous les biens. Dans la situation initiale, l’utilité marginale pondérée du fromage est de 6/3 = 2 ; celle du vin est de 8/10 = 0,8.
L’utilité marginale étant décroissante avec les quantités consommées, pour maximiser sa satisfaction, le consommateur doit donc acheter plus de fromage et moins de vin : ainsi il réduira l’utilité marginale pondérée du fromage et augmentera celle du vin.
Exercice 2.2 : Utilité marginale et TMS
1) : Définition
2) Equation 1 :
14 34
14 34
14 ) , (
14 ) , (
X Y y
x Um
Y X y
x Um
Y x
−
−
=
=
Equation 2 :
1 1
) , (
) , (
−
−
=
=
β α
β α
β α
Y X y x Um
Y X y x Um
Y x
Equation 3 :
12 12
) , (
12 ) , (
X y x Um
Y X y
x Um
Y x
=
= −
3) TMS : Définition
Equation 1 :
Y X Y
X X Y Y
X Um
Y X TMS Um
X y Y
X = = − =
−
14 34
4 1 4 3
/
14 14 ) , (
) , (
Equation 2 :
Y X Y
X Y TMSX Y X
αβ αβ
β α
β
α =
= −1 −1
/
Equation 3 :
Y X Y X
TMSX Y X 2 12 12
12
/ = − =
Exercice 2.3 : Programme de maximisation
2
4 2
) ,
(x y x y
U =
1) Pour déterminer si cette fonction vérifie la convexité des préférences, nous allons tout d’abord déterminer l’équation de la courbe d’indifférence. Nous étudierons ensuite son signe.
X Y U
2
2 /
= 1
Donc, 2
2 / 1
2 X U X
Y = −
∂
∂
Par conséquent : 3 0
2 / 1 2
2 = >
∂
∂
X U X
Y Nous avons donc convexité des préférences
2) X
Y Y X XY Y
X Um
Y X TMS Um
Y X X
Y/ = = 22 =
8 8 ) , (
) , (
3) Nous savons qu’à l’optimum,
Y X X
Y P
TMS / = P
Par conséquent : X
P Y P X Y P TMS P
Y X Y
X X
Y/ = = ⇒ =
Nous introduisons cette équation dans la contrainte budgétaire : R=PXX +PYY D’où :
X Y
X Y
X P
X R P X
P P X P
R= + ⇒ = 2
Et,
Y X
Y X
P R P
R P Y P
2
2 =
=
Exercice 2.4 : Programme de maximisation avec solutions en coin
( , ) 6 3
U X Y = X + Y
1) Equation des courbes d’indifférence :
X Y
Y X U
2 4
3 6 12
0 12
−
=
+
=
= ⇒
X Y
Y X U
2 10
3 6 30
1 30
−
=
+
=
= ⇒
2) Représentation graphique
0 2 4 6 8 10 12
0 1 2 3 4 5
U0 : Y=4-2X U1 : Y=10-2X Droite budg
3) Equation de la droite de budget : R=PXX +PYY Donc : 40=16X +4Y
4) Représentation graphique 10 4 4
16
40= X + Y ⇒Y =− X +
5) Panier maximisant l’utilité du consommateur : L’utilité est la plus grande en U1.
Pour ce cas, le panier optimal est : 0 biens X et 10 biens Y.
Nous ne pouvons rien dire pour U0 (j’ai apparemment mal définit l’équation de la droite de budget. Il aurait été souhaitable qu’elle passe par le point (2,0)).
6) Pour pouvoir utiliser la méthode du Lagrangien, il faut que les préférences soient convexes.
Ici, d’après la forme de la courbe d’indifférence, nous avons des solutions en coins et la méthode du Lagrangien ne peut fonctionner. Nous déterminerions des résultats incohérents.
Exercice 2.5 : Arbitrage travail-loisir
2
2 2
) ,
(C T C T
U =
1) Contrainte budgétaire : PC
R WL+ = Or H=L+T
Donc, W(H −T)+R =PC D’où PC+WT =WH +R
2) Nous cherchons à maximiser la fonction d’utilité sous la contrainte budgétaire :
+
= +
= R WH WT PC
T C T C
MaxU( , ) 2 2 2
Résolution par la méthode du Lagrangien : ) (
2C2T2 WH R PC WT
L= +λ + − − Conditions du premier ordre :
0 0
4
0 4
2 2
=
−
− +
∂ =
∂
=
−
∂ =
∂
=
−
∂ =
∂
WT PC R L WH
P C CT
L
W T T C
L
λ
λ λ
D’où :
P W CT
T C P
CT W
T
C2 = 2 ⇔ 2 2 = 4 4 4
4
Donc : T
P C =W
Nous remplaçons dans la contrainte budgétaire : PT
PW R WT WH − + = d’où
W R T WH
*= 2 +
P R WH W
R WH P C W
2
*= 2 + = +
et W
R WH W
R H WH
T H
L*= − *= − 2 + = 2 −
