ELEMENTS DE CORRECTION DOSSIER 4
Exercice 1 :
Exercice 2 :
Exercice 3 :
1) a : Elasticité de l’output Q par rapport au facteur capital b : Elasticité de l’output Q par rapport au facteur travail
2) La fonction de production est une fonction de type Cobb Douglas. Elle est donc homogène de degré a+b. Prouvons le :
Pour déterminer si cette fonction est homogène il suffit de multiplier tous les facteurs par une même constante : t
( , ) 3( ) ( ) 4
3
4 ( , )
a b
a b a b
a b
Q tK tL tK tL t t K L t + Q K L
=
= ×
=
Cette fonction est donc homogène de degré a+b.
3) Si a=1/2 alors cette fonction est homogène à un degré 1/2 +b. Les rendements d’échelle vont donc dépendre de la valeur de b.
- si b=1/2 alors les rendements d’échelle sont constants ( degré = à 1) - si b>1/2 alors les rendements d’échelle sont croissants ( degré > à 1) - si b<1/2 alors les rendements d’échelle sont décroissants ( degré < à 1)
4) On nous dit maintenant que les rendements sont constant. Donc b=1/2.
On nous dit également que la production est fixée à . Par conséquent, le producteur va chercher à minimiser ses coûts sous une contrainte de production. Le programme serait le suivant :
Q0
1/ 2 1/ 2 0
3 4 MinC wL rK sc Q K L
= +
⎧⎪
⎨ =
⎪⎩
On sait qu’à l’optimum, le TMST est égal au rapport des prix. Donc :
K L
P PmK
PmL = P
Par conséquent :
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
1 3 2 4 1 3 2 4
K L r K L w
−
−
× =
×
donc ou
L r r w
L K K L
K w w
⇒ = = =
r
La production étant fixée à on peut intégrer les résultats obtenus précédemment dans la contrainte de production :
Q0 1/ 2
1/ 2 0
0 1/ 2
3 4
* 3 4
Q wL
r L Q
w r
⎛ ⎞
= ⎜⎝ ⎟⎠
⇒ =
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠ L
Nous pouvons maintenant déterminer K en remplaçant L par sa valeur dans le sentier d’expansion :
(
1/ 2 0)
0 0
1/ 2 1/ 2
/ )
3 / 4 3 / 4( / ) 3
4
w r Q
Q Q
K w
r w r
r
= = =
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
w
Le coût associé est donc :
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
0 0
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
0 0
0
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
0 0
1/ 2 1/ 2 0
3 / 4( / ) 3 / 4 /
3 / 4( / ) 3 / 4 /
3 / 4 / 3 / 4( / )
( / ) /
3 / 4 / 4
3 8 3
Q Q
C w r
w r r w
wQ r w rQ w r
C
w r r w
wQ r w rQ w r C
w r C Q w r Q w r C Q w r
= +
× + ×
= ×
× + ×
=
= +
=
5) Le sentier d’expansion est l’ensemble des combinaisons de facteur correspondant au moindre coût, pour différents niveaux de production.
Nous l’avons déterminé à la question précédente : w
K L
= r
