CLASSE DE MP
Programme de colle N
◦14
semaine du 13 au 17 janvier 2020
• Révision du programme précédent
• Intégration sur un intervalle quelconque
Intégrale généralisée sur un intervalle de la forme[a,+∞[d'une fonction continue par morceaux: dénition : l'intégrale converge, linéarité.
Intégrabilité sur un intervalle de la forme[a,+∞[ : dénition, sif est intégrable sur[a,+∞[alorsZ +∞
a
f converge
Cas des fonctions positives : intégrale de référence, intégration des relations de comparaison Intégrations sur un intervalle quelconque :
∗ Adaptation des paragraphes précédents aux fonctions dénies sur un intervalle semi-ouvert deR
∗ Adaptation des paragraphes précédents aux fonctions dénies sur un intervalle ouvert]a, b[deR
∗ Si I est un intervalle de R, linéarité et positivité de l'applicationf 7→
Z
I
f sur l'espace des fonctions deIdansK dont l'intégrale converge.
∗ Sif est continue et intégrable surI, à valeurs dansR+ et siZ
I
f = 0, alorsf est identiquement nulle.
Relation de Chasles.
Changement de variable
Intégration par parties sur un intervalle quelconque : Z b a
f(t)g0(t)t.= [f g]ba− Z b
a
f0(t)g(t)t..
L'existence des limites du produitf g aux bornes de l'intervalle assure que les intégrales def g0 etf0g sont de même nature
Intégration des relations de comparaison : domination, négligeabilité, équivalence (La fonction de référence est positive).
