Démontrer que f(A¯x) +f∗(¯y)− hAx|¯¯yi ≥0, g(¯x) +g∗(−ATy

TD 9: Dualité de Fenchel-Rockafellar

Exercice 1. Adapté de l'examen 2015 . On s'intéresse au problème de minimisation suivant, où A est une matrice à m lignes etn colonnes, f :R^m →Rest convexe et continue et g:Rⁿ →R est convexe et de classeC¹ :

P = inf

x∈Rⁿ

f(Ax) +g(x),

1. Démontrer queP =DoùD= maxy∈R^m−f^∗(y)−g^∗(−A^Ty). On suppose que le problème primal admet un minimiseur x¯ et le problème dual un maximiseur y¯. Démontrer que

f(A¯x) +f^∗(¯y)− hAx|¯¯yi ≥0, g(¯x) +g^∗(−A^Ty) +¯ hAx|¯¯yi ≥0.

En utilisant P =D, montrer que la somme de ces deux termes est nulle. Déduire que f(A¯x) +f^∗(¯y) =hA¯x|¯yi,

g(¯x) +g^∗(−A^Ty) =¯ −hA¯x|¯yi.

2. Déduire de la question précédente que −A^Ty¯∈ ∂g(¯x),puis que −A^Ty¯=∇g(¯x). Dans le casg(x) =kx−x0k²₂ (oùx0∈Rⁿest xé), donner une relation explicite entrey¯etx.¯ Exercice 2. Régularisation L¹. On se place dans le même cadre que dans l'exercice précédent, mais on suppose de plus que f(y) =kyk₁ =P

1≤i≤m|y_i|etg(x) =¹₂kx−x0k²₂. 1. Démontrer que

g^∗(x) =1

2kx+x0k²₂−1 2kx₀k²₂ f^∗(y) =

(0 si∀i∈ {1, . . . , m}, |y_i| ≤1 +∞ sinon,

2. En déduire que D=−inf_y∈R^m_,kyk

∞≤1 1 2

A^Ty−x₀

2

2−¹₂kx₀k².

Dénition 1. On appelle mesure sur un ensemble compactXtout forme linéaireµ:C⁰(X)→R continue pour la normek·k_∞. Une mesureµest dite positive si∀f ∈ C⁰(X),(f ≥0 =⇒µ(f)≥0).

Enn, une mesure de probabilité sur X est une mesure positiveµ telle quekµk^∗_∞= 1.

Exercice 3. Dualité de Kantorovich en dimension innie. SoientX, Y deux ensembles compacts, µ une mesure de probabilité sur X,ν une mesure de probabilité sur Y, et c :X×Y → Rune fonction continue. On considère le problème d'optimisation suivant :

P := inf{−(hµ|φi+hν|ψi)|φ∈ C⁰(X), ψ∈ C⁰(Y),∀(x, y)∈X×Y, φ(x) +ψ(y)≤c(x, y)}.

On dénit une forme linéaireΛ :C⁰(X)× C⁰(Y)→ C⁰(X×Y)parΛ(φ, ψ) =φ⊕ψ où φ⊕ψ: (x, y)∈X×Y 7→φ(x) +ψ(y).

1

1. Démontrer que P = inf_(φ,ψ)∈C⁰_(X)×C⁰_(Y)f(Λ(φ, ψ)) +g(φ, ψ),où

f :σ∈ C⁰(X×Y)7→=

(0 si∀(x, y)∈X×Y, σ(x, y)≤c(x, y) +∞ sinon,

g: (φ, ψ)∈E×F 7→ −(hµ|φi+hν|ψi).

2. Démontrer que les conjuguées def etg sont données par les expressions : f^∗ :γ ∈(C⁰(X×Y))^∗ :γ 7→ sup

σ∈C⁰(X×Y),σ≤c

hγ|σi=hγ|ci+ sup

δ∈C⁰(X×Y),δ≤0

hγ|δi

=

(+∞ si ∃δ∈ C⁰(X×Y), δ≥0 t.q.hγ|δi<0 hγ|ci sinon

g^∗ : (κ, λ)∈(C⁰(X))^∗×(C⁰(Y))^∗ 7→

(0 si(κ, λ) =−(µ, ν) +∞ sinon

3. Soit γ ∈(C⁰(X×Y))^∗ une mesure surX×Y. On pose¹ ΠXγ :φ ∈ C⁰(X) =γ((x, y)7→

φ(x))et de même Π_Yγ :ψ∈ C⁰(Y)7→γ((x, y)7→ψ(y)). Montrer que Λ^∗(γ) = (ΠXγ,ΠYγ)∈(C⁰(X))^∗×(C⁰(Y))^∗.

4. Déduire des questions précédentes et du théorème de dualité de Fenchel-Rockafellar la relation P =D (appellée dualité de Kantorovich) où

D:= max

γ∈C⁰(X×Y)^∗

−g^∗(−Λγ)−f^∗(γ)

= max{−hγ|ci |γ ∈ C⁰(X×Y)^∗ mesure positive tq ΠXγ =ν etΠYγ =ν}.

1. ΠXγ (resp.ΠYγ) est une mesure surX (resp.Y) appelée marge deγ surX (resp.Y).

2