Université de Boumerdès-Faculté des sciences-Département de physique Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI

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Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI Université de Boumerdès Année 2008-2009 Faculté des Sciences

Département de Physique

Mécanique rationnelle : TCT E.M.D: 01 Durée : 01h30mn 16 février 2008

Exercice 01 :(06 pts)

Soit (S) un solide dans un repère orthonormé ( , , , )

→

k j i O

R , soumis à des forces

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧

−

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧−

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧

−

= ^→ ^→ ^→

→

3

; 2 2

; 1

; 2 0

4 3

2

1 m

m F

m m F

m m

F appliquées respectivement aux

points: A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(1,-1,1) du solide.

1- Déterminer les éléments de réduction du torseur des forces au point O ; 2- Calculer l’automoment et en déduire pour quelles valeurs de m est-il nul ; 3- Pour quelles valeurs de m le torseur est un torseur couple ? Ecrire ce torseur ; 4- Déterminer l’équation de l’axe central pour le cas m = 0 ;

5- En déduire le torseur au point E (1, 1, 0) ; 6- Vérifier l’équiprojectivité sur l’axe OE.

Exercice 02 : (08 pts)

Une plaque rectangulaire homogène, de dimension 2L x L , de poids P₂ , est soudée perpendiculairement au point A à une tige homogène, de longueur L, de poids P1 tel que représenté sur la figure1. La tige est maintenue en position horizontale à l’aide d’une corde attachée au point D tel que OD= 2L/3 et d’une articulation sphérique au point O. La plaque est soumise à deux forces

→

F

F₁ et appliquées respectivement aux points B et C. Un moment appliqué sur la tige permet de maintenir le système en équilibre statique.

1- Donner les coordonnées des points : A, B, C, D, G1, G2 ;

2- Donner les composantes des actions et des réactions appliquées au système (plaque+tige) ;

3- Ecrire les équations d’équilibre statique puis déterminer la réaction RO , la tension T dans la corde, la force F et le moment M , en fonction de L et P.

4- La plaque étant soudée (liaison encastrement) à la tige, au point A.

Déterminer les éléments de réduction du torseur de liaison de la plaque, au point A.

Données : P₁ = P : poids de la tige ; P2 = 2P : poids de la plaque ; F1 = 2P : force appliquée au point B

(2)

Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI

Déterminer par le théorème de Guldin puis par composition la coordonnée XG du centre d’inertie du solide suivant formé de deux éléments surfaciques homogènes (S1) ; (S2) ,de densité σ et d’un élément linéique homogène (S3), de densité λ ,en forme de demi cercle (figure2).

Penser à effectuer la rotation autour de l’axe (∆)(translation de repère).

(S3)

a 2a

2a

a x

y

(S1)

(S₂) 3a 2a

(∆)

Figure2

O G1 D

L

L/2

B

2L O

→

−

M

C

→

F

→

F 1

A

y E

x

z

L

G2

60°

Figure1 L

(3)

Solution :EMD1 16 Février 2009

1- Eléments de réduction du torseur

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧

+

− +

−

− +

−

→ =

m m

m

m m m

m m

R

3 3

1 2 2 3 2 2

1 2 0

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟∧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟∧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛−

⎟∧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟∧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

→ =

−

0 1 m

3 m 3 3

m m 1

1 1 m 2

m 2 1

0 0 m

1 m 0

1 0 m 2 m

0 0

0 1 M_/_O

2- Automoment

2 2

2

/ 6(1 ) (1 ) 7(1 )

0 1

3 3 3 3

1 2 2

m m

m

m m

m M

R

A _O =− − − − =− −

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

⎪ •

⎩

⎪⎨

⎧

−

=

•

=^→ ⁻^→

1 pour

0 =

= m

A

3- Valeurs de m pour avoir un torseur couple

Pour avoir un torseur couple il faut que :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧

−

→ =

0 0 0 3

3 1

2 2

m m

m

R ce qui donne m = 1

4- Axe central du torseur pour m = 0

Soit P(x , y , z) un point de l’axe central alors :

→ →

−

→ →

− = ∧ + R

R M

OP R ₂ ^/^O λ ;

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

− + +

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧

⎟+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧

⎟+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎪ ∧

⎩

⎪⎨

⎧

→ =

−

λ λ λ λ

λ

14 3 1 14

9 14 2

3

3 1 2 1

9 3 14

1 3 1 2 0

1 3 3 1 2 14 OP 1

5- Moment au point E

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛−

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ +

+

−

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟∧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

∧ +

= ⁻^→ ⁻⁻^→ ^→

→

−

1 2 6 1

0 3 1

3 3 3

1 2 0

1 1 0

1 3 R

EO M

M_/_E _/_O

6- Vérification de l’équiprojectivité sur l’axe OE : 0,5

1

0,5

1

(4)

→

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→

− =− ⇒ • = •

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟•

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛−

=

•

−

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟•

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

• 4 M OE M OE

0 1 1 1 2 6 OE M

; 4 0 1 1 0

1 3 OE

M_O _E _O _E

1- coordonnées des points :

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

= ⁻^→ ⁻^→ ⁻^→ ⁻^→ ⁻^→

→

−

2 / L

L 0 OG

; 0

2 / L

0 OG

; 0

3 / L 2

0 OD

; L L L OC

; 2 / L

L L OB

; 0 L 0

OA ₁ ₂

2- Composantes des actions et des réactions

; 0

M 0 M

; 0 0 F F

; 0 0 P 2 F

; P 2 0 0 P

; P 0 0 P

; 30 sin T

30 cos T

0 T

; R R R

R ₁ ₂ ₁

Oz Oy Ox

O ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛−

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

°

−

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

= ⁻^→ ^→ ⁻^→ ^→ ^→ ^→

→

−

3- Equations d’équilibre statique

0

0 ₁ ₂ ₁ ₂

→

−

→

−

→

−

→

→ = ===⇒ + + + + + =

∑

^F ^R^O ^T ^P ^P ^F ^F

i

i (I)

(3)

(2)

(1)

0 P 2 P 30 sin T R

0 30 cos T R

0 F P 2 R

OZ OY OX

=

−

° +

=

°

−

=

− +

0

0 ₁ ₁ ₁ ₂ ₂

/

→

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→

− = ===⇒ ∧ + ∧ + ∧ + ∧ + ∧ + =

∑

^M ÔD ^T ÔB ^F ÔC ^F ÔG ^P ÔG ^P ^M

i

i O (II)

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

∧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

∧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛−

⎟∧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

∧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

− +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

∧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

0 0 0 0

0 2

0 0

2 0 0

0 0

2 0 0

0 0

0 2

2 2 1 2

3 0

0 3 2

0

M L P

L P

L F

L L L P

L L

L

T L T

(6) 0 2

) 5 ( 0

(4) 0 2 2

3

= +

−

=

− +

−

=

−

LF LP

M LF LP

LP LP

LT

⇒

P F

LP M

P T

2 2 15

=

(3) ⇒ R_OZ P 4

−3

= (2) ⇒R_OY P 4

3

=15 (1) ⇒ R_OX =0 4- Eléments de réduction du torseur au point A

→

−

→ ⎟=+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− − +

−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

−

= P F F 2Pk 2Pi 2Pi 2Pk

RA ₂ ₁

1

6x0,25

0,25 0,25

0,25

0,25 0,25

0,5

0,25 0,25

0,5

0,25

7x0,25

(5)

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ∧ + ∧ + ∧

−

= ⁻^→ ^→ ⁻^→ ⁻^→ ⁻^→ ⁻^→

→

−

2 2 A 1

i/ AB F AC F AG P

M

→

− =−

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ +

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟∧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛−

⎟∧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟∧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

∑

= ^LP ^j

0 LP 2 LP

0 P

2 0 0 2

/ L

0 0 0

0 P 2 L

0 L 0

0 P 2 2 / L

0 L M

i A / i

Ex 03: (6 pts)

Solide (S1) : a

9 7 2 )

a a 3 6 .(

2

a 3 . 3 a a 1 3 . ) a 2 ( a S 2

. 2 a V 2

x ₂

2

2 2

tot 1

/ tot 1 G

1 =

− π

π

−

−π π =

−

= ^∆

Solide (S2) : a

9 7 )

a a 4 .(

2

a 2 . 3 a a 1 2 . ) a 2 ( a S 2

. 2 a V 2

x ₂ ₂

2 2

tot 2

/ tot 2 G

2 =

− π

π

− π

− π =

−

= ^∆

Solide (S3) : 1)

1 ( a a 2 . 2

a a 4 L 2

. 2 a S 2 x

2

tot 3 / tot 3 G

3 = +π

π π + π π =

+

= ^∆

λπ + σ

π + λ +

= σ λπ

+ σ + σ

+π λπ + σ +

= σ

λπ + σ + σ

+π λπ

+ σ

+ = +

+

= +

6 a 45

) 12 12 .(

a a 35 a

2 3 a 9

1) 1 ( 2 . 3 a

.7 2 a

a 7

a a

2 3 a 9

1) 1 ( a 2 . a 9a

.7 a 3 9a .7 2 a 9 m

m m

X m X m X x m

2 2

2

2 2

3 21 1

G 3 3 G 2 2 G 1 1 G

0,25

3a

a 2a

a x

y

x 3a 2a

a y

a a 4x0,25 0,5

4x0,25

4x0,25 0,5

0,5

(6)