Université de Boumerdès Année 2006-2007 Faculté des sciences
Département de physique
RATTRAPAGE : Mécanique rationnelle 17-09-2007 Durée : 02 heures
Exercice 01 : (07,5 points)
Une porte métallique rectangulaire de densité uniforme de dimensions a x b, de poids P, est maintenue en position verticale par deux articulations, l’une sphérique au point O et l’autre cylindrique au point A. Une force F est appliquée perpendiculairement au plan de la porte au point C milieu de la longueur. Afin de maintenir cette porte en position fermée, on applique un moment −M→ au point A.
1) Ecrire les composantes des vecteurs force et position aux points O , A et C
2) Déterminer les réactions aux niveaux des articulations O et A ainsi que la force F nécessaire pour ouvrir la porte.
On donne : a = 2m, b = 3m, BC= b/2, M = 400Nm, P = 800N
Exercice 02 : (4,5 points)
Déterminer le centre d’inertie de la surface triangulaire hachurée homogène suivante par le théorème de Guldin. (Penser à des translations d’axes)
z
A
O
→
F
x y
C
→
−
M
b a
B
x y
O
h
Une tige homogène de longueur AB = L et de centre G est en mouvement tel que, son extrémité A soit assujettie à se déplacer suivant l’axe vertical ( , 0)
→
z
O d’un repère orthonormé fixe 0( , 0, 0, 0)
→
→
→
z y x O
R . L’autre extrémité B est en mouvement quelconque dans le plan( 0, 0)
→
→
y x .
On désigne par 1( , 1, 1, 1)
→
→
→
z y x O
R le repère mobile tel que : z→1 ≡z→0, (x→0,x→1)=(y→0,y→1)=ψ et )
, , ,
( 2 2 2
2
→
→
→
z y x G
R le repère lié à la barre, mobile par rapport à R1 tel que : y→1 ≡ y→2 , θ
=
= → →
→
→
) , ( ) ,
(x1 x2 z1 z2
On prendra R1 comme repère de projection et relatif.
Déterminer :
1. les différentes figures planes et les matrices de passage de R0 vers R1 et de R2 vers R1;
2. la vitesse instantanée de rotation de la barre par rapport à R0 ;
3. la vitesse absolue du point A par dérivation et celle de G par la cinématique du solide ;
4. l’accélération absolue du point A par dérivation ; 5. les accélérations, relative et de Coriolis du point G.
θ θ
→
x2
G A
B O
→
→0 ≡ z1 z
→
y0
→
x0
→
x
→
z2
→
y2
→
y1
ψ
→
y2
→
x1
θ
SOLUTION :
Exercice 01 : (07,5 points) Nous avons :
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
→ =
−
0 0 b OA ;
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
→ =
−
2 /
2 / 0 a b
OG ;
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
→ =
−
a b OC /2
0
Et aussi :
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
→ =
−
0 0 M M ;
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
→ = 0 0 P
P ;
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
→ = 0 0 F F ;
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
→ =
Az Ay Ax O
R R R
R ;
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
→ =
Az Ax A
R R
R 0
La porte est en équilibre statique, nous pouvons écrire :
∑
→ =→i
Fi 0 ⇒
→
→
→
→
→ +R +F+P= 0
RO A (1)
∑
−→ =→i
O
Mi/ 0 ⇒
→
→
→
−
→
→
−
→
→
− ∧R +OC∧F+OG∧P= 0
OA B (2)
Projetons l’équation (1) sur les axes du repère :
=0 + +R F
ROx Ax (3)
=0
−P
ROy (4)
=0 + Az
Oz R
R (5) L’équation (2) se traduira par :
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
0 0 0 0
0 0
0 2
/ 2 / 0 0
0 2 / 0 0
0 0
M P
a b F
a b R
R b
Az Ax
2 =0 +aP
bRAz (6)
=0
−M
aF (7) 2 =0
−
− bF
bRAx (8)
la résolution de ce système d’équation nous donne :
(4) ⇒ ROy = P=800N ; (6) ⇒ N b
RAz aP 266,66
2 =−
= −
(7) ⇒ N
a
F = M =200 ; (8) ⇒ F N
RAx 100
2 =−
= − (5) ⇒ ROz =−RAz =266,66N ; (3) ⇒ ROx =−RAx −F =−100N
on déduit : RO =849N ; RA =284,8N
3 x 0,25
4x 0,25
0,5
0,5
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
6x 0,25 0,25
Exercice 02 : (04,5 points)
3 2
. . . 2
. 3 . ) 1 3 (
1 2
2 2
) (
/ h
h b
a h a
b h S
y V
oAB tot
ox tot
G + − =
=
=
π
π π
π
Exercice 03 : (08 points) 1. Figure plane de chaque repère ;
1.1. Matrice de passage du repère R vers 0 R1
1.2. Matrice de passage du repère R2 vers R1
2. Vitesse instantanée de rotation de la barre par rapport à R 0
Nous avons :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
−
≡ Ω + Ω
≡
Ω •
•
→
•
→
→ •
→
→
ψ θ ψ
θ
0
1 1 1
0 1
1 2
0 2
R z y Matrice de passage de R0 vers R1
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
→
→
→
→
→
→
1 1 1
0 0 0
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
z y x
z y x
ψ ψ
ψ ψ
1
0 R
PR →
O
→
x1
→
x0
→
→0 ≡ z1 z
ψ
→
y0
ψ
→
y1
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
→
→
→
→
→
→
1 1 1
2 2 2
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
z y x
z y x
θ θ
θ θ
1
2 R
PR →
→
→1 ≡ y2
y B →
z1
→
z2
θ
→
x2
θ
→
x1
Faisons une translation de a+b suivant l’axe des x vers o’y’ : On fait tourner le solide autour de l’axe o’y’ on obtient un cône creux donné par le triangle oo’B et le triangle Ao’B
b a a b h
b
h a h
a b S
x V
oAB tot
y o tot
G 3.
) ( 2
. . . 2
. 3 . . 1 ) 3 (
1 2
2 2 2
2
) (
' '
' / + − = + −
=
=
π
π π
π
Dans le repère oxy :
3 2 .
3 ) ) (
(
2
2 b a
b a a b b
a
xG = + − + − = +
B
A o’ x
b a
y
O
h y’
1 0,5
0,5
0,5 0,5
0,5
1
0,25
0,25
0,5
0,5
1
3. Vitesse absolue du point A par dérivation et celle de G par la cinématique du solide
Nous avons :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→=
−
θ cos
0 0
1
R L
OA ,
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→=
−
0 0 sin
1
θ L
R
OB ,
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧ + =
=
→
−
→
→ −
−
θ θ 2cos
0 2sin 2
1
L L
R OB OG OA
3.1. Calcul de V0(A)
→
:
→
→ −
→
−
→
→ −
∧ Ω +
=
= OA OA OA
A
V 10
1 0
0
dt d dt ) d (
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧
−
= • • •
→
θ θ θ
ψ θ
θ sin
0 0 cos
0 0 0
0
sin 0 0 )
(
1 1
1 1
0
R L R L
L R R A V
3.2. Calcul de V0(G)
→
La vitesse du point G peut aussi s’obtenir à partir de celle de A où de B par la cinématique du solide,
en effet nous avons :
→
→ −
→
→ G =V A +Ω ∧AG
V0( ) 0( ) 02
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
→=
−
−
θ θ 2cos
0 2sin
1
L L
R AG
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
=
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧
−
=
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→
θ θ
θ ψ
θ θ
θ θ θ θ
θ ψ
θ θ θ
θ ψ
θ θ
θ sin
2 2 sin 2 cos
2 sin sin
2 sin
2 cos
2cos 0 2sin 0
sin 0 0 )
(
1 1
1 1 1
0
L L L
R L L
L L
R L
L
R R R L
G V
4. Calcul de 0(A)
γ→ : V A
dt A V d dt
A V A d
1 0
) ) (
( )
) (
( 10 0
0 0
0
→
→ →
→ →
∧ Ω +
= γ =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧
−
−
= •• • • • •• •
→
θ θ θ θ θ
θ θ ψ
θ θ θ γ
cos sin
0 0
sin 0 0 0
0 cos
sin 0 0 )
(
2 1 1
1 2
1 0
L R L
R L L R
R L A
5. Accélération relative et de Corriolis du point G
On a : ( ) ( ) ( ) ( )
G G
G
G rel ent corriolis
abs
→
→
→
→ =γ +γ +γ
γ
5.1.
dt G V G d
rel G
) ) (
( ) (
1 1
1
→ →
→ = γ =
γ
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
=
= •
•
→
θ θ
θ θ 2 sin
0 2 cos )
(
1 1
1
L L
R dt
OG G d
V 0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
= •• •
• •
•
→
θ θ θ θ
θ θ θ θ γ
2 cos 2 sin
0 2 sin 2 cos
) (
2 2
1 1
L L
L L
R G
5.2.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ Ω ∧
= • •
•
•
•
→
→ →
0 cos 0 2 sin
0 2 cos 0
0 )
( .
2 ) (
1 1
1
1
0 1
θ ψ θ θ
θ θ θ ψ
γ L
R L
L
R R G V
corriolis G
0,25
0,25
0,25
