M1 : Cinématique du point

M1 : Cinématique du point

Lamécaniqueest le domaine de la physique consacré à l’étude des mouvements de systèmes matériels (i.e. qui possède une masse). Cette science remonte à l’époque des Grecs, avec notamment les travaux d’Archimède (III^émeav JC). Elle prend toutefois la forme qu’on lui connaît aujourd’hui à la renaissance avec les apports de Galilée, Copernic, puis de Newton et bien d’autres.

Pour faire de la mécanique, il faut donc, avant toute chose, pouvoir décrire un mouvement de manière précise.

Ceci est l’objet de lacinématiquequi nous intéressera durant ce chapitre. Nous ne considèrerons pas ici les causes du mouvement mais seulement sa description.

I Relativité du mouvement – référentiels – repère cartésien

Pour décrire le mouvement d’un objet, il faut d’abord précise ce par rapport à quoi il bouge. Par exemple, le mou- vement d’un homme faisant des allers-retours dans le wagon d’un train n’est pas le même suivant qu’on le regarde assis dans le train ou depuis le quai de la gare. Il s’agit donc de définir,avant toute chose, un point fixe, une référence sur laquelle nous nous baserons pour étudier un mouvement. C’est ce qu’on appelle leréférentiel.

En mécanique, leréférentielest unobjet, ou unensemble d’objets, réels ou imaginaires, par rapport auquel on repère une position ou un mouvement.

Définition– Référentiel

Associé à une horloge (permettant de distinguer des événements successifs), le référentiel définit le cadre spatio- temporel de l’étude.

Mathématiquement, l’horloge est unrepère de temps, caractérisé par une origine arbitraire et une mesure de durée (la seconde en S.I.). On associe ensuite au référentiel unrepère d’espace, constitué d’une origine arbitraire, d’une mesure de longueur (le mètre en S.I.) et de trois directions orthogonales entre elles appelées axes. A partir des trois axes ainsi que de la mesure de longueur, on peut alors former trois vecteurs qui forment labasedu repère.

Deux référentiels quelconquesR etR⁰ peuvent être en mouvement l’un par rapport à l’autre et la description mathématique du mouvement d’un objet dans le référentielR n’aura à priori pas la même forme que dansR⁰. La relativitédu mouvement consiste simplement à dire que la description du mouvement dépend du référentiel choisi.

Exemples :

• Référentiel du laboratoire, la pièce dans laquelle a lieu l’expérience (le plus communément utilisé).

• Référentiel propre de l’objet dont on souhaite décrire le mouvement. Dans ce référentiel, l’objet est immobile et c’est le monde autour de lui qui se déplace.

• Référentiels “galiléens” usuels : terrestre, géocentrique, héliocentrique. Voir chapitre M2.

Le repère cartésien est orthonormé : les vecteurs de sa base sont orthogo- naux entre eux et possèdent la même norme. Ils forment unebase ortho- normée directede l’espace que l’on notera¡−u→x,−u→y,−u→z¢

et qu’on appellera base cartésienne.

L’origine (point notéO) du référentiel et la base cartésienne forment le repère géométrique cartésiende l’espace, aussi appelé système de co- ordonnées cartésien.

O

−→ u_x

−→ u_y

−→ uz

Propriété– Repère, base cartésiennes

Remarques :

• Les vecteurs de base du repère orthonormé sont notés−u→x,−u→y et−u→z car ils sont unitaires, c’est à dire que leur norme vaut 1.

BLa notation→−x,→−y →−z est à proscrire car elle peut induire des confusions dans les calculs.

• Dans le référentielR, les trois vecteurs de la base cartésienne sont immobiles : c’est ce qui fait la simplicité de la description cartésienne.

• Il est possible d’imaginer des bases mobiles dans le référentielR: c’est par exemple le cas de la base polaire et des coordonnées cylindriques et sphériques qui en découlent (hors programme).

Tout vecteur−→

Ade l’espace à trois dimensions s’exprime dans cette base à l’aide de sescomposantes cartésiennes, notées (A_x,A_y,A_z) et vérifiant l’égalité :

−

→A =A_x−u→_x+A_y−u→_y+A_z−u→_z

−→ ux

−→ uy

−

→A

θ Ax

Ay

On obtient chaque composante parprojectionsur les vecteurs de la base :







A_x=→− A· −u→_x Ay=→−

A· −u→y

Az=−→ A· −u→z

si bien que on peut écrire :

−

→A=(−→

A· −u→x)−u→x+(→−

A· −u→y)−u→y+(−→ A· −u→z)−u→z

Propriété– Coordonnées cartésiennes

II Cinématique du point - description cartésienne du mouvement

II.1 Position d’un point dans l’espace

On se place dans un référentiel d’étudeR, de centreOet de base cartésienne¡−u→x,−u→y,−u→z¢

et on suit un pointM(t)

mobile dans le temps (mesuré par la coordonnée temporellet).

La courbeC décrite dans l’espace parM_(t)au cours du temps est appelée satrajectoire.

Lors d’un mouvement plan, on cherchera en général à établir l’équation cartésienney(x) à partir de¡

x(t),y(t)¢ . Définition– Trajectoire

Exercice d’application –Expressions de trajectoires

Donner l’expressiony(x) de l’équation de la trajectoire des points suivants. Tracer ensuite le graphique corres- pondant.

1.

½ x(t)=t y(t)=2t 2.

½ x(t)=2t y(t)=t² 3.

½ x(t)=cos(t) y(t)=sin(t)

Remarque : la trajectoire dépend évidemment du référentiel choisi pour décrire le mouvement.

Exemple : La trajectoire d’une personne assise dans un train n’est pas la même que l’on prenne pour référentiel le train ou le quai de la gare.

Le vecteur−−→

OM(t)≡ −→r(t) est appelévecteur position. Il varie à priori avec le temps. Son expression dans la base cartésienne s’écrit à l’aide de sestrois composantes cartésiennesx(t),y(t) etz(t) de sorte que :

−−→OM(t)=x(t)−u→x+y(t)−u→y+z(t)−u→z=



 x y z



=





xM−xO

yM−yO

zM−zO





Chacune des trois composantes est une longueur : [x]=[y]=[z]=L

−→ ux

−→ uy

−→ uz

O

M

x

z

y

−−→OM

Les expressions mathématiques des trois coordonnées ¡

x(t),y(t),z(t)¢

sont appelées équations horaires du mouvement.

Définition– Vecteur position

Remarques :

• Les coordonnées¡

x(t),y(t),z(t)¢

sont des fonctions mathématiques du tempst, d’où la notation, comme pour une fonctionf de la variablex:f(x) en mathématiques.

• Un pointM(x,y,z) possède trois coordonnées d’espace, un vecteur−−→

OM =



 x y z



possède trois composantes.

Nous ferons attention à la notation : enligneet entre parenthèses pour unpoint, encolonneou bien en somme avec les vecteurs unitaires pour lesvecteurs.

• Attention :xest ici une fonction du temps, pas la variable comme c’est habituellement le cas en mathématique.

• Il est possible de décomposer un vecteur dans n’importe quelle base : il est donc fortement recommandé de choisir un repère d’espace adapté à la forme du mouvement(dont on a souvent une idée avant l’étude) pour simplifier la résolution.

• Dans la suite, nous omettrons de préciser à chaque fois la dépendance en temps dans les coordonnées, pour alléger les notation. Il faudra néanmoins bien garder à l’esprit quelles grandeurs dépendent effectivement du temps.

LadistanceOMséparant le pointMdu centreOest la norme du vecteur position : OM=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

−−→OM

¯

¯

¯

¯

¯

¯= q

x²+y²+z²= q−−→

OM·−−→

OM Définition– Distance au centre

II.2 Vitesse

Nous avons décrit plusieurs quantités et notions autour de la position d’un point. Toutefois, si nous voulons dé- crire un mouvement, il va falloir nous attaquer à la notion de vitesse, sans quoi notre description risquerait d’être assez pauvre.

Pour se faire, nous allons considérer deux voitures circulant d’un pointAà un pointB, situé 10m plus loin, suivant deux mouvements différents. On étudie le mouvement de ces voitures dans le référentiel de la route et on attribue à celle-ci un axeOx. Pour ces deux voitures nous avons tracer l’évolution dexen fonction du temps :

t(s) x(m)

O 4 5

12 10

A B

Voiture bleue

Voiture rouge d t

d x

Nous voyons que les deux voitures ont parcouru la distanceABen 5s. Ainsi, on serait tenté de dire que leur vitesse était^x_t^B−xA

B−tA =¹⁰₅ =2m.s⁻¹. Ceci est vrai pour la voiture rouge, qui progresse à un rythme constant. Mais ce n’est pas tout à fait exact pour la voiture bleue : il ne s’agit que de sa vitesse moyenne. Si on veut décrire le mouvement de manière un peu plus précise, il va falloir déterminer la vitesse à tout instant. A un instant donné, nous pouvons déterminer la vitesse d’une des deux voitures de la même manière que précédemment mais au lieu de considérer le départ et l’arrivée, nous allons considérer deux instants extrêmement proches l’un de l’autre. A un instant donné, la vitesse de la voiture bleue est ainsi :

v=d x d t

oùd xest déplacement dit "élémentaire" de la voiture etd test la durée pendant laquelle ce déplacement a été effec- tué. Remarquons que si cette duréed t tend vers 0, alors nous retrouvons la définition mathématique d’une dérivée dexpar rapport au tempst

Ceci se généralise dans le cas où le mouvement s’effectue en trois dimensions :

On considère deux instants consécutifst ett+dt (dt est “très petit”) et les points associés M(t) et M_(t+dt). On note d−−→

OM le vecteur déplacement élémentairetel que :

d−−→

OM=−−→

OM(t+dt)−−−→

OM(t)=−−−−−−−−−→

M(t)M(t+dt)

y

x trajectoire

×

M(t)

×

d−−→

−−→ OM OM(t)

−−→OM(t+d t) Définition– Vecteur déplacement élémentaire

Levecteur vitesse instantanéeest la limite→−v(t)= lim

dt→0

Ãd−−→

OM dt

!

t

que l’on note simplement :

−

→v =d−−→

OM dt Il s’agit de la dérivée temporelle du vecteur position−−→

OM(t) à l’instantt. On a [v]=L.T⁻¹ en m.s⁻¹. Définition– Vecteur vitesse instantanée

Remarques :

• Par construction, le vecteur vitesse à l’instanttest tangent à la trajectoire, à l’endroit où se situeM(t).

• Le vecteur vitessedépend du référentield’étude puisque sa définition fait intervenir l’origineOdu référentiel.

Dans la base cartésienne, le vecteur vitesse s’exprime de façon générale :

−

→v =vx−u→x+vy−u→y+vz−u→z

Puisque−−→

OM =x−u→x+y−u→y+z−u→z et que le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position, on en déduit (par linéarité de la dérivation) que :

−

→v =x˙−u→x+y˙−u→y+z˙−u→z

où ( ˙x, ˙y, ˙z) sont les dérivées temporelles des coordonnées cartésiennes (x,y,z) :



















vx(t)=x(t˙ )= µdx

dt

¶

vy(t)=y˙(t)= µdy

dt

¶

vz(t)=z(t)˙ = µdz

dt

¶ Propriété– Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes

Remarques :

• La dérivation se passe simplement car les vecteurs de la base cartésienne sont fixes dans le référentiel d’étude.

• La notation “point” est l’analogue de la notation “prime” de la dérivation en mathématique. Le point sur une fonction correspond donc à sa dérivation par rapport à la coordonnée temporelle.

Exercice d’application –Vitesses des deux voitures

Tracer l’évolution temporelle de la vitessevxselonOxdes voitures rouge et bleue décrites précédemment

Lavitesse instantanée, généralement notéev(t), est la norme du vecteur vitesse instantanée : v(t)= ||−→v(t)|| =

q

v²_x+v²_y+v²_zÊ0 De plus,||−→v(t)||²= −→v · −→v = −→v²(qui est un scalaire) doncv(t)=p−→v².

Définition– Vitesse instantanée

Un mouvement sera dit rectiligne si la direction du vecteur vitesse est constante. La trajectoire est alors une droite.

Dans n’importe quelle repère cartésien, les coordonnéesx,yetzsontproportionnelles(0 est un coefficient de proportionnalité possible).

Définition– Mouvement rectiligne

Unmouvementsera dituniformesi la vitesse instantanée est constante : v(t)=cte

Définition– Mouvement uniforme

Remarque :BCette définition ne concerne que la norme du vecteur vitesse. Ainsi, lors d’un mouvement uniforme, le vecteur vitesse peut changer de direction, c’est à dire varier. C’est le cas par exemple lors d’un mouvement circulaire uniforme où le système tourne autour d’un point à vitesse constante.

Exercice d’application

1. Calculer le vecteur vitesse et sa norme pour (x=4t,y=2t,z=4t) et (x=e^t,y=e^2t,z=3). Dire si le mouvement est uniforme dans chaque cas.

2. On donne (x=t,y=3t²+2,z=5). Exprimer le vecteur vitesse et sa norme à chaque instant. Quelle est la forme de la trajectoire ?

3. On donne−→v =2t−u→x+3−u→y. Calculer le vecteur position−−→

OMsachant queMest enOàt=0.

II.3 Accélération

Levecteur accélération instantanéeest la limite−→a(t)= lim

dt→0

µ→−v(t+dt)− −→v(t) dt

¶

= lim

dt→0

d−→v

dt que l’on note simple- ment :

−

→a(M)=d→−v

dt =d²−−→

OM dt²

Il s’agit donc de la dérivée première de la vitesse−→v(t) et de la dérivée seconde du vecteur position −−→

OM(t) à l’instantt. On a [a]=L.T⁻²en m.s⁻².

Définition– Vecteur accélération

Dans la base cartésienne, le vecteur accélération s’exprime de façon générale

−

→a =ax−u→x+ay−u→y+az−u→z

Puisque−−→

OM =x−u→x+y−u→y+z−u→z et que le vecteur accélération est la dérivée seconde du vecteur position, on en déduit que

−

→a =x¨−u→x+y¨−u→y+z¨−u→z

où ( ¨x, ¨y, ¨z) sont les dérivées temporelles secondes des coordonnées cartésiennes (x,y,z) :



















ax(t)=v˙x(t)=x(t)¨ = µd²x

dt²

¶

ay(t)=v˙y(t)=y(t¨ )= µd²y

dt²

¶

az(t)=v˙z(t)=z(t)¨ = µd²z

dt²

¶ Propriété– Vecteur accélération en coordonnées cartésiennes

Remarques :

• BUn mouvement peut être uniforme et néanmoins d’accélération non-nulle : il suffit que la direction du vec- teur vitesse change (ex. : mouvement circulaire uniforme).

• Le mouvement rectiligne et uniforme est d’accélération nulle.

Exercice d’application

Calculer la norme du vecteur vitesse ainsi que l’expression du vecteur accélération correspondant au vecteur po- sition suivant :−−→

OM(t)=acos(ωt)−u→x+asin(ωt)−u→y

Remarques :

• Le vecteur accélération à l’instanttn’est à priori pas tangentà la trajectoire, contrairement au vecteur vitesse.

• La notation ^d2_dt^−−→OM2 vient de la contraction de_dt^d ³

dOM−−→

dt

´. Il ne faut pas la confondre avec^{d(−−→OM)}_dt ² ni avec³

dOM−−→

dt

´2

.

Exercice d’application

Calculerd²−−→

OM dt² ,

d³−−→

OM´2

dt et

Ãd−−→

OM dt

!2

pourM(x=2t²,y=t,z=3)

L’accélération instantanée, généralement notéea(t), est la norme du vecteur accélération instantanée : a(t)= ||−→a(t)|| =

q

a²_x+a²_y+a²_z. Définition– Accélération instantanée

Remarque importante : Pour simplifier le vocabulaire, on utilisera par la suite les termes “la vitesse” et “l’accélération”

pour parler des vecteurs. Si l’on parle des normes de ces vecteurs, on le précisera.

Exercice d’application

1. Calculer le vecteur accélération et sa norme pour les exemples suivants :

• (x=4t,y=2t,z=7t)

• (x=e^t,y=e^2t,z=3)

• (x=t,y=3t²+2,z=5)

2. On suppose un mouvement uniformément accéléré−→a =2−u→x. En déduire les vecteurs vitesse et position sachant que la vitesse et la position initiale sont nulles. Quelle est la forme de la trajectoire ?

• Un mobile est en mouvementaccélérési sa vitesse instantanée augmente :v(t)%. A l’inverse, le mouve- ment est décéléré (ou freiné) siv(t)&. Enfin, un mouvement est uniforme siv(t) reste constante.

• On peut montrer que de manière équivalente, on a :







accéléréssi→−v· −→a >0

décéléré(ou freiné) ssi→−v· −→a <0

uniforme(vitesse constante) ssi−→v · −→a =0 Propriété– Mouvement accéléré ou décéléré

Remarque : Cela est finalement logique car si le vecteur accélération est globalement dans la même direction que le vecteur vitesse, le mobile est accéléré. À l’inverse, si l’accélération s’oppose globalement à la vitesse, le mobile est freiné.

Démonstration : Si la vitesse instantanée augmente, alors||−→v||²=¡→−v · −→v¢

augmente également : sa dérivée temporelle est positive :

v(t)%=⇒ −→v · −→v %=⇒d¡−→v · −→v¢ dt >0 En développant,

d−→v

dt · −→v + −→v·d−→v dt >0 2→−v · −→a >0=⇒ −→v · −→a >0

−

→v · −→a >0 correspond donc bien à un mouvement accéléré. On peut montrer les autres équivalences à l’aide de la même démonstration.

II.4 Exemple important : mouvement circulaire uniforme en coordonnées cartésiennes Exercice d’application

On souhaite caractériser en coordonnées cartésiennes un mouvement circulaire uniforme de rayonR. On suppo- sera le mouvement dans le plan (Ox y) :z=0.

1. Déterminer les équations horaires du mouvement.

2. Déterminer les expressions des vecteurs vitesse et accélération.

• La période du mouvement (temps pour faire un tour) vautT=2π ω.

• On calcule−→v ·−−→

OM=0 et−→v · −→a =0 : la vitesse est orthogonale au vecteur position et à l’accélération.

• −→a = −ω²−−→

OM: l’accélération est centripète (dirigée vers le centre).

• ||−→v|| =Rωet||−→a|| =Rω²=v²

R : le vecteur accélération est également de norme constante.

Propriété– Propriétés du mouvement circulaire uniforme

III Description polaire du mouvement

Dans cette partie, on s’intéresse à un mouvement dans le plan (Ox y) auquel on associe une base cartésienne (−u→_x,−u→_y). Un pointMa pour coordonnées cartésiennes (x,y) et son vecteur position s’écrit−−→

OM=x−u→_x+y−u→_y. III.1 Un nouveau système de coordonnées

Le repérage polaire consiste à repérer les points par leur distance à l’origineOdu repère et par un angle mesuré par rapport à un axe fixe.

En général, on choisit l’axe (Ox) comme axe fixe et on définit :

• r(t)=OM(t)= k−−→

OM(t)k ladistance au centreet

• θ(t)=³

−→ ux,−−→

OM(t)´

l’angle orientéallant de−u→xà−−→

OM. O

−→ ux

−→ uy

•M

r=OM θ

M⁰ r0 •

θ⁰ x

y Définition– Coordonnées polaires

Exercice d’application

Donner/tracer la forme des mouvement suivants, exprimés en coordonnées polaires : 1. (r=3t²,θ=π/3).

2. (r=4,θ=5t³).

On retrouve les coordonnées polaires (r,θ) à partir des coordonnées cartésiennes (x,y) et réciproquement : ( r=p

x²+y² θ=arctan³y x

´ et

½ x=rcos(θ) y=rsin(θ) Propriété– Lien entre coordonnées polaire et cartésienne

III.2 Base mobile polaire

Les nouvelles coordonnées polaires ne sont pas adaptées à la base cartésienne. Il semble naturel d’introduire deux nouveaux vecteurs de base qui vont suivre le mouvement du pointM.

On définit la base orthonormée directe mobile de projection (−u→r,−u→_θ) adaptée aux coordonnées polaires :

• le vecteur −u→r=

−−→OM

OM est colinéaire et de même sens que−−→

OM.

• le vecteur−u→_θ est obtenu par rotation de−u→r deπ/2 dans le sens trigonomé- trique.

O

−→ ux

−→ u_y

•M

−−→OM

=r−→u^r

−→ u_r

−→ u_θ

θ

M•⁰ OM−−→0

=r⁰u−→_{r 0} θ⁰

−→ ur0

−→ u_θ⁰ Définition– Base mobile polaire

Un vecteur→−A quelconque du plan dans la base polaire s’exprime par :

−

→A =A_r−u→_r+A_θ−u→_θ= µ Ar

A_θ

¶

(−u→r,−u→_θ)

où Ar=→−

A· −u→r est la composantecomposante radialeet A_θ=−→

A· −u→_θ est la composantecomposante orthora- diale

Propriété– Vecteurs dans la base polaire

Le vecteur position−−→

OMdu pointM(r,θ) s’écrit dans la base polaire : OM−−→=r−u→r=

µ r 0

¶

(−u→r,−u→_θ)

Propriété– Vecteur position dans la base polaire

Remarque :Bles vecteurs de base (−u→_r,−u→_θ) sont définis à partir du vecteur positionOM−−→qui est mobile dans le plan.

Par conséquent, ils bougent en même temps que le pointM(t).

Comme−u→r= OM−−→

OM,OM=r et−−→

OM=rcosθ−u→x+rsinθ−u→y, on trouve :

−→

ur=cosθ−u→x+sinθ−u→y= µ cosθ

sinθ

¶

(−u→x,−u→y) O −u→_x

x

−→ u_y y

−→ ur

−→ u_θ

θ θ

Par rotation d’un angleπ/2, on obtient :

−→

u_θ= −sinθ−u→x+cosθ−u→y=

µ −sinθ cosθ

¶

(−u→x,−u→y)

Propriété– Expression des vecteurs polaires dans la base cartésienne

Comme nous l’avons précisé,θ(t) varie avec le temps et donc les vecteurs de la base polaire ne sont pas fixes. En particulier, leurdérivée temporelle n’est pas nullecomme celle des vecteurs de la base cartésienne (−u→x,−u→y,−u→z).

Les dérivées temporelles des vecteurs de la base polaire sont donnés par :









 d−u→r

dt =θ˙−u→_θ d−u→_θ

dt = −θ˙−u→r

avec£θ˙¤

=T⁻¹. La grandeur ˙θs’exprime en rad.s⁻¹et est appelée lavitesse angulaire. Lorsqu’elle est constante, on la note en généralω.

Propriété– Dérivation temporelle des vecteurs polaires

Démonstration : d−u→_r

dt =d cosθ dt

−→

u_x+d sinθ dt

−→ u_y

= −θ˙sinθ−u→x+θ˙cosθ−u→y

=θ˙¡

−sinθ−u→x+cosθ−u→y¢

=θ˙−u→_θ

d−u→_θ

dt =d−sinθ dt

−→

u_x+d cosθ dt

−→ u_y

= −θ˙cosθ−u→x−θ˙sinθ−u→y

= −θ˙¡

cosθ−u→x+sinθ−u→y¢

= −θ˙−u→r

III.3 Position, vitesse et accélération en coordonnées polaires Nous avons vu que levecteur positions’écrit−−→

OM=r−u→r= µ r

0

¶ .

• On obtient levecteur vitessepar :

d−−→

OM

dt =d(r−u→r) dt =dr

dt

−→

ur+rd−u→r

dt

−

→v(t)=r˙−u→r+rθ˙−u→_θ= µ r˙

rθ˙

¶

(−u→r,−u→_θ)

• On re-dérive pour levecteur accélération:

−

→a(t) = d−→v

dt =d( ˙r−u→r+rθ˙−u→_θ) dt

= r¨−u→r+r˙θ˙−u→_θ+r˙θ˙−u→_θ+rθ¨−u→_θ−rθ˙²−u→r

= ¡

¨

r−rθ˙²¢−u→r+(2 ˙rθ˙+rθ¨)−u→_θ Finalement, on obtient :

−

→a(t)=¡

¨

r−rθ˙²¢−u→r+(2 ˙rθ˙+rθ¨)−u→_θ=

µ r¨−rθ˙² 2 ˙rθ˙+rθ¨

¶

(−u→r,−u→_θ)

Propriété– Vitesse et accélération en polaires

Exercice d’application

Calculer les vecteurs vitesses de ces jeux de coordonnées polaires.

1. (r=3t²,θ=π/3).

2. (r=4,θ=5t³).

III.4 Exemple important : le mouvement circulaire en coordonnées polaires Exercice d’application –mouvement circulaire en polaires

On souhaite caractériser un mouvement circulaire de centreO, de rayonR, en coordonnées polaires. Quelle forme doivent prendrer(t) etθ(t) ?

1. Déterminer l’expression des vecteurs position, vitesse, et accélération dans le cas où le mouvement est uniforme à vitesse de normev0.

2. Même question pour le cas où le mouvement n’est pas uniforme. Distinguer les accélérations radiale et ortho- radiale.

III.5 Coordonnées cylindriques

On étend à trois dimensions les coordonnées polaires du plan (Ox y) en y ajoutant un axe cartésien (Oz) orthogo- nal. On obtient le système decoordonnées cylindriques.

Un point M est repéré par ses coordonnées (r(t),θ(t),z(t)) dans la base orthonormée directe cylindrique (−u→r,−u→_θ,−u→z) qui est mobile et suit le pointM dans le temps.

Dans le plan (Ox y), les vecteurs

½ −u→r=cosθ−u→x+sinθ−u→y

−→

u_θ= −sinθ−u→x+cosθ−u→y

sont les vecteurs de la base polaire.

Définition– Coordonnées cylindriques

• Vecteur position :−−→

OM=r−u→r+z−u→z=



 r 0 z





cyl.

• Déplacement élémentaire : d−−→

OM=dr−→ur+rdθ−u→_θ+dz−u→zcar les vecteurs de base sont mobiles.

• Vecteur vitesse :−→v(M)=r˙−u→r+rθ˙−u→_θ+z˙−u→z=



 r˙ rθ˙

˙ z





cyl.

• Vecteur accélération :−→a(M)=( ¨r−rθ˙²)−u→r+(2 ˙rθ˙+rθ¨)−u→_θ+z¨−u→z=





¨ r−rθ˙² 2 ˙rθ˙+rθ¨

¨ z





cyl.

Propriété– Différents vecteurs en coordonnées cylindriques

Démonstration : Expression du vecteur déplacement élémentaire

Entretett+d tle pointMpasse des coordonnées (r,θ,z) à (r+d r,θ+dθ,z+

d z). Quel est le vecteurd−−→

OMassocié à ce déplacement infinitésimal ? Décomposons un peu le mouvement. En ce qui concerne le mouvement selon−u→z, le contribution est simplementd z−u→z. Nous voyons de plus que suivant−u→rnous avons−−−−−→

M(t)H=d r−u→r. Intéressons nous maintenant au dé- placement selon−u→_θ. Nous avons :

−−−−−−−−−→

H M(t+d t)=(r+d r) tan(dθ)−u→_θ −u→x

−→ uy

M(t)

M(t+d t)

−→ ur

−→ u_θ

r dθ

d r dθ

H

or, comme le déplacement est infinitésimal, nous avons :

½ r+d r≈r

tan (dθ)≈dθ =⇒−−−−−−−−−→

H M(t+d t)≈r dθ−u→_θ Ainsi, lorsqued r,dθetd ztendent vers 0 :

d−−→

OM=dr−→ur+rdθ−u→_θ+dz−u→z