Le mouvement des lignes d'induction et les travaux du Pr S. R. Milner

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Le mouvement des lignes d’induction et les travaux du

Pr S. R. Milner

G. Darrieus

To cite this version:

LE MOUVEMENT DES LIGNES

D’INDUCTION

ET LES TRAVAUX DU Pr S. R. MILNER Par G. DARRIEUS

_(*).

Sommaire. 2014 A la notion des _lignes d’induction de _{Faraday, qui peuvent être,} soit

magnétiques, soit

_{électriques,}

la considération des lois de transformation des grandeurs

du champ électromagnétique qu’exprime le groupe de Lorentz, amène à substituer celle d’un _{système unique orthogonal} de directions _{privilégiées} dans l’univers

quadridimen-sionnel.

L’association au _polyaxe de référence ainsi défini de manière absolue en _{chaque point,}

de deux invariants R et 03B1 _{tels que $$ R2}

e2i03B1

= e2 2014 h2 + _i. 2 (eh)

(où e et h _désignent les

vecteurs électrique et _magnétique) permet de traduire les lois du _{champ (équations} de

Maxwell)

en _simples relations de _géométrie différentielle _{qui régissent} la convergence et la torsion des directions _{caractéristiques} du _champ, et _remplacent les anciennes relations de conservation.

La notion de tube élémentaire _{d’induction,} en tant _{qu’entité physique persistant} au cours du temps, ne _peut être maintenue en général, mais doit être remplacée par celle d’éléments quadridimensionnels présentant, avec la densité R2, un contenu d’action égal au _quantum h de _Planck, et aux deux sections orthogonales duquel (xt et _yz) se trouvent

respectivement associés les deux facteurs e, quantum d’électricité, et ~ quantum de flux

magnétique, du _produit h = _{e~. Ces éléments d’action donnent} une _expression concrète

au _principe d’indétermination

_{d’Heisenberg}

pour le champ électromagnétique, et _suggèrent maints rapprochements, tant avec d’autres travaux récents (théorie de la _charge

élec-trique d’Eddington, lignes singulières d’indétermination de la phase de la fonction d’onde de _Dirac, théories unitaires... _{etc), qu’avec} ceux _plus anciens de _Cunningham, Bateman,

F. Klein, soulignant le domaine _{d’invariance, plus étendu que le groupe de Lorentz,} des

équations de Maxwell, et laissant entrevoir les ressources d’une _{représentation} conforme

généralisée.

La notion de

_lignes

d’induction du

_{champ électromagnétique,}

en tant

_{qu’entités}

dis-tinctes se conservant et

_pouvant

être suivies d’un instant à l’autre au cours de leur

mou-vement,

remonte à

_{Faraday qui}

l’a

_exprimée

avec une

_grande

_netteté,

et cette

_conception

est

_toujours

restée chère à l’école

_anglaise.

Si

_{l’enseignement}

élémentaire est

_également

demeuré

_plus

ou moins attaché à cette

_conception

en raison de son caractère éminemment

suggestif,

par

exemple

dans l’énoncé de la loi de force électromotrice dite du flux

_coupé,

l’électrodynamique

n’en a

_guère

retenu _{que la}

_propriété

de conservation dans

_l’espace

ou

de

_divergence

nulle du flux

d’induction,

en

_renonçant

à identifier les

_positions

successives

d’une même

_ligne

ou à étendre dans le

_temps

les relations de conservation.

C’est

qu’en

effet cette définition d’un certain mouvement dans le

_champ

électroma-gnétique

paraissait

non seulement

_pénible

et

_inutile,

mais encore vouée à

l’indétermina-tion,

ou à une

_{contradiction,}

dont le caractère fondamental se _{trouvait confirmé par la}

théorie de la

relativité,

qui

se refuse à reconnaître en dehors de la matière aucun

_système

de référence

_{privilégié,}

et suivant

_laquelle

les

_{champs électrique}

et

_magnétique

n’appa-raissent que comme deux ensembles de

_composantes

d’un même tenseur ou deux

_aspects

d’une même entité.

Si les lois de l’induction

_exprimées

_{par les formules de} transformation de

_Lorentz,

montrent que ces deux

champs

se transforment _{l’un dans l’autre par} un mouvement relatif des

_systèmes

de

_référence,

_{l’ambiguité}

subsistait d’ailleurs

_quant

à celui des deux

champs

qui, prépondérant,

et considéré comme fondamental, serait

_appelé

_par son

mou-vement à rendre

_compte

de l’autre. Dans le cas de la

_{physique électronique}

il est

_naturel,

en suivant sir J. J.

_Thomson,

de

_partir

du

_{champ électrostatique}

et de rattacher le

_champ

magnétique

au mouvement de la chevelure des

_lignes

d’induction

_électrique

liées à

_chaque

électron;

mais la

_{représentation}

dans cette

_conception

d’un

_{champ magnétique}

station-naire se heurte au

_paradoxe

d’un mouvement à vitesse infinie de

_{lignes électriques}

infini-ment rares, tandis que le choix

opposé

du

_{champ magnétique}

comme

_fondamental,

convenable et familier à

_{l’électrotechnicien,}

_{est par contre}

_impropre

à rendre

_compte

du

champ électrostatique.

D’une manière

_générale

les vitesses à

_{imputer respectivement}

aux

lignes

d’induction d’une

_{espèce, magnétique}

ou

_électrique,

_{pour rendre}

_compte

de

l’autre,

sont d’ailleurs l’une inférieure l’autre

_supérieure

à la vitesse de la lumière

_qu’elles

admet-tent pour moyenne

géométrique,

résultat

_qui

doit

_paraître

_{aujourd’hui}

moins

_étrange

depuis

l’introduction en

_mécanique

_{ondulatoire par M. L. de}

_Broglie

d’une relation

sem-blable entre la vitesse d’une

_particule

et la vitesse de

_phase

de l’onde associée. ,

En

_dépit

de ces difficultés les

_physiciens

de l’école

_{anglaise, disciples}

de

Maxwell,

Poynting

et J. J.

_Thomson,

entre autres H. Bateman

_(1),

ont

_poursuivi

l’étude de cette notion de

_lignes

_{d’induction et montré que leur mouvement}

_pouvait

se définir d’une manière

cohérente dans tous les cas où les vecteurs

_électrique

et

_magnétique

sont

_{perpendiculaires}

(eh) =

0.

E. T. Whittaker

₍₂₎

a en

_{particulier présenté}

et

_développé

ces résultats sous une forme

géométrique élégante,

et a

_{proposé l’expression}

de calamoïdes pour

_désigner

les tubes

d’induction ainsi

_définis;

enfin il a

_,.,suggéré

une extension au cas

_général

_(eh)

± _{0 par} la substitution aux deux vecteurs e et h

(en

unités

_{rationnelles),}

de deux autres :

tels

que

(p q)

= 0. Mais c’est le Professeur S. R. Milner

qui

a

_apporté

à cette

_question

une

contribution décisive

_{par 4}

mémoires

_{importants (3),}

dont nous nous _{proposons de donner}

ci-après

une brève

_analyse

en _y

_{ajoutant quelques}

menus

_{compléments.}

Si tous les

_systèmes

de référence sont en

_{principe équivalents}

au

_point

de vue

reiativiste,

il est

_permis

de rechercher le ou les observateurs

_{privilégiés auxquels}

le

champ

électromagnétique

se

_présente

sous une forme

_{particulièrement simple}

ou

symé-trique.

L’invariance du

_produit

intérieur

_{(e h)}

interdit

_{qu’en général}

l’un ou l’autre des vecteurs e, h

puisse

être

annulé,

mais il demeure

_{toujours possible}

de les rendre coaxiaux

par une transformation de Lorentz

_{correspondant}

à une translation de vitesse u

conve-nable

_{perpendiculaire}

au

_plan

e h c’est-à-dire dans la direction du vecteur de

_Poynting.

Les valeurs

_{particulières}

_E,

H ainsi

_acquises

_{par le}

_{champ électrique}

et le

_champ

magné-tique

sont _{déterminées par les deux conditions d’invariance :}

et sont donc elles-mêmes des invariants.

La condition ci-dessus

_{[EH] =}

_{0 fournit d’ailleurs deux valeurs pour} u, dont l’une est inférieure et l’autre

_supérieure

à celle de la lumière. Nous orienterons le trièdre de

réfé-rence dans le

_système

initial avec Oz suivant la vitesse u et Ox

_parallèle

à la direction finale de E et de H.

(1) H. BATEMAN. Some Fundamental _Concepts of _{Electrical lheory} Phil. _Mag., 34 (1917), p. 405.

( ) E.-T. NNHITTAKEa. On Tubes of Electromagnetic Force Proc. _of thc R. _{S. of Edinburg,} 44 (1921-1922), pp. 1 à 23.

(3) S.-R. 3IILNE«. On Electromagnetic Lines and Tubes Maq., 44 _(19l2), p. 105. Phil. _Mag., 46

(1923), p. 125, An Analysé of the _{Electromagnetic} Field into _Moving Eléments Proc. _{of the} R. S. of London

Les axes

_Ox,

_Oy

du

_plan

eh

_{correspondent}

alors aux vecteurs _{transformés p q} des relations

_(1),

tanrlis

que la condition de

perpendicularité (p q) ==

0 :

détermine

_l’angle

a

qui

est donc aussi un invariant.

A un 31

point

de vue

_enfin,

ces axes sont les axes

_principaux

du

_système

des

_pressions

de Maxwell

_qui

_{ont pour valeur}

_respective

suivant

_p

_q et

_[p

_q]

Les vecteurs _p,

_q

_{correspondent}

aux demi-axes

_principaux

de

_l’ellipse

construite sur

e et h comme diamètres

_conjugués

et dont la distance focale a _pour valeur R .-

V p2 -

_{q i.}

d’après

les

_propriétés

des diamètres

_conjugués,

de sorte que R est encore un invariant

_(égal

à

₊

82).

Fig, i .

Les

_{ellipses correspondant}

aux différents

_systèmes

de référence en mouvement relatif

les uns _par

_rapport

aux autres suivante Oz sont donc homofocales

_{(fig. 1),}

et il est aisé de montrer

_qu’il

en est de même des

_hyperboles,

_par

_conséquent

_{orthogonales,}

suivant

Ces dernières

peuvent

se mettre sous la forme :

en

_posant

où v est la vitesse relative du

_système

_{accentué par}

_rapport

à

_l’autre;

tandis

c

que la transformation

qui déplacerait

sur les

_ellipses

les extrémités des vecteurs

_conjugués

~e et

_h,

et à

_{laquelle appartient (avec}

une valeur

_{particulière}

de a variable dans le

_champ)

la transformation de e, h en _{p, q,}

_correspond

à la rotation réelle et non

_plus

hyperbo-lique :

*

Bien

_qu’une

telle transformation sorte du domaine relativiste et

_ne-paraisse

suscepti-ble pour l’instant d’aucune

interprétation physique,

sa

_parenté

avec la transformation de Lorentz est manifeste.

Les

_équations

de Maxwell dans le vide demeurent en effet

_{invariantes à l’égard}

de l’une

comme de

l’autre ;

il en est de même en ce

_qui

concerne le vecteur de

_Poynting,

le tenseur des

_pressions

de

Maxwell,et

sa

_divergence

c’est-à-dire les forces

_{électromagnétiques,}

_{pour la}

2’ne transformation

_qui

_{admet pour invariants ez}

_-~-

h2 et

_[eh].

Les deux sortes de transformation admettent enfin en commun

_l’unique

invariant R

dontl’importance apparait

ainsi comme fondamentale.

Si les

_{équations électromagnétiques}

dans le vide sont ainsi indifférentes à une transfor-mation

_d’espèce

II _{caractérisée par} un

_angle

a constant

_{(leur expression}

en _{fonction de la}

gran-deur R à 5

_composantes

et de x ne

_dépend

en effet de cette dernière _{variable que par} ses

dérivées)

il n’en est pas de même pour la

charge électrique qui

ne se conserve

_{plus, peut}

inverser son

_signe,

ou

_{s’échanger}

contreune masse

_magnétique

_{équivalente (au point}

de vue

de

_{Coulomb), en}

même

_temps

_que e contre

h,

h contre - e... etc.

Quoi qu’il

en soit de

_{l’interprétation}

à donner à cette transformation

_qui

fait

_partie

de celles

_envisagées

dans la théorie très abstraite

_{d’Eddington}

de la

_{charge électrique,}

nous

retiendrons seulement de ce

_{qui précède l’importance}

de l’invariant R. Cette

_grandeur

et la vitesse à lui _{associer par}

_rapport

à un observateur

déterminé,

s’imposent

encore à un

autre

_point

de vue

_plus

élémentaire sur

_lequel

_{Cunningham parait}

avoir le

_premier

attiré l’attention.

La tenseur des

_pressions

de Maxwell rend bien

_compte

dans

_l’espace

ordinaire du flux de

_quantité

de

mouvement,

mais non _par contre de celui

_{d’énergie,}

_{puisqu’étant}

_supposé

immobile il ne

_produit

aucun travail.

L’hypothèse

d’un mouvement défini dans le

_champ

_permet

au

_contraire,

comme _pour

les milieux

_{matériels,de}

_distinguer

dans ce tenseur une

_pression

_proprement

dite ou intrin-1

sèque j

R2 dans toutes les directions

_orthogonales

à celle de

R,

et un flux de

_quantité

de mouvement

_analogue

au tenseur etc. en

_{hydrodynamique.}

_{La condition que le}

mouvement ainsi admis

détermine,

par le travail des

pressions

de Maxwell.le flux

d’énergie

de

_Poynting,

conduit

_{précisément}

pour la vitesse u

_{correspondante}

à l’évaluation

_déjà

obtenue

_(avec

la double détermination

_{mentionnée).}

Le nouveau

_système

de

pressions

_{intrinsèques}

aussi

_défini,

mobile avec le

_champ,

a ses

_composantes

_principales

toutes

_égales

à

- 1

_R’,

et est donc

_plus

_simple

encore _que

2

celui de

_Maxwell;

il s’annule

_{d’ailleurs,}

ce

_qui

est

satisfaisant,

pour une onde libre

_(e2

-h2 ‘

0,

(eh)

=

_0),

de _sorte

l’impul-- sion de la

quantité

de

mouvement,

et que les

photons

peuvent

y être considérés comme

sans actions mutuelles.

Pour un volume

_quelconque

du

_champ

dont la surface limite se meut en tout

_point

avec la vitesse u les dérivées

_respectives

_par

_rapport

au

_temps

de la

_quantité

de

_mouvement

et de

_{l’énergie w}

donnent lieu aux mêmes théorèmes de conservation

_qu’en

_mécanique

-.

où

_P,,

_{(R n) R}

_désigne

_{la force par} unité de surface sur l’élément

_{d S,}

et n le

vecteur unité suivant la normale intérieure.

Pour un observateur

_accompagnant

le vecteur R en un

_point

dans son mouvement

(u

===

0)

il résulte de la loi de variation de u autour de ce

_{point,déterminée}

_{par les}

_équations

de

_Maxwell,

_{que le flux de} R à travers un élément de surface ds

fluide,

c’est-à-dire dont le

mouvement et la déformation sont définis en tout

_point

de son _{contour par la}

_{vitesse u,}

demeure,

comme en

_{hydrodynamique}

_{pour le}

_tourbillon,

constant à la fois dans le

_temps

et

suivant

la direction de

_R,

à condition _{toutefois que} l’élément ds soit

_orthogonal

à R. _{Si par}

contre l’élément est

_oblique

à R

_{(fig. 2),}

le flux ne

_s’y

conserve _pas en

_général,

et dans le~

Fig. 2. 1

cas _par

_exemple

où cet élément de surface fluide contient R

initialement,

la direction du vecteur ou de la

_ligne

de force se

_sépare

au cours du

_temps

de la

_ligne

fluide dont elle est.

partie

sur la

_surface,

avec une vitesse

_angulaire

que le calcul du Pr. S. R. Milner démontre

égale

au maximum du

_gradient

de a dans le

_plan

normal à

_R,

et dont l’axe est

_dirigé

sui-vant ce

_gradient

maximum

_{(Annexe I).}

La définition

_parles

vitesses u d’un mouvement cohé-rent de

_lignes

d’induction R se conservant sans se _{rompre, est donc}

_impossible

en

_général,

ce

_qui

confirme un résultat connu

_{depuis longtemps}

et

_qu’ont

mis en évidence notamment MM. Hadamard et

Liénard,en

l’illustrant par

l’exemple particulier

de 2 courants

variables,

l’un

circulaire,

l’autre

_disposé

suivant l’axe du

_premier.

Si une individualité est ainsi refusée aux tubes élémentaires tels que ai a-2 a3... etc. il

demeure

_possible

_{par contre de la reconnaître à leurs différents éléments}

_qui,

tout en

rotation

_{correspondant}

wtl par

rapport

à la «

ligne

fluide »

a’~ a’2 a’g...

soit

_égal

au

_quotient

~’

de _{la base par la hauteur d’un élément.}

_Puisque

_pour un observateur en _{repos relatif les}

~1

conditions

_sont

de révolution autour de

_R,

les axes

_Oy

et 0~

_peuvent

être orientés arbitrai-rement

dans

le

_plan

normal à R . Llne indétermination

_analogue

affecte le

_couple

d’axes

Ox,

Ot,

car d’un

_{système privilégié}

_quetconque obtenu comme ci-dessus il est

_possible

de dériver une infinité d’autres _par 1+1ne translation

_parallèle

à R

_équivalant

à une transforma-tion de Lorentz ou à une rotation

_hyperbolique

entre Ox et Ot.

Fig. 3.

Le 5-vecteur R est ainsi entièrement caractérisé dans

_{l’espace-temps}

_par son module

associé à deux éléments de surface _yz et xi mutuellement

_orthogonaux.

Toutefois l’axe

_Oy

peut

être orienté dans le

_plan

_{0 y z}

le

_long

de la direction de

_gradient

à2

maximum,

et

ày

suivant que la direction

analogue

dans le

_plan

Oxt est

_{d’espèce-espace}

ou

_{d’espèce-temps.}

l’un ou l’autre des axes 0~ et Ot

_peut

_également

_{y être}

_amené,

ce

_qui

achève de déterminer

d’une manière absolue le

_polyaxe

et fixe ainsi en

_chaque

_point

un

_système

de réfé-rence absolu

_{(le remplacement d’une}

des deux valeurs de u

_{par l’autre correspond}

seulement à une

_permutation

des directions des

axes).

Revenant à l’élément

_{parallélipipédiqiie}

de côtés x, y, zi nous _{pouvons caractériser} sa

section droite _{yi zi par} son _{flux propre}

_{R yi}

zi, et son _{volume par}

_{l’intégrale}

d’action

associée,

d’une

_part

à ce

_volumes,

d’autre

_part

à l’intervalle de

_{temps 1,,}

en

_adoptant

_pour

densité d’action R’

_(plutôt

_que R2 cos 2 ce = e2 - hl _comme

d’ordinaire).

Or comme nous

z1

l’avons vu wti

- z1

d’où pour le

rapport

des deux sections droites associées :

,’1: 4

où

Ai,

désigne

la variation de a le

_long

de _{l’élément y,. L’élément d’action} est

et il est _{naturel de le poser}

_égal

à la constante fi élémentaire d’action. Admettons enfin que le flux élémentaire

RY1Z1

corresponde

à la

_charge

de

l’électron,

e’ en unités

_{rationnelles,}

et e en unités

_{électrostatiques (e’2}

= 4

_ne2).

L’élément d’action s’écrit :

Le même nombre

137

_{apparait également}

comme

_rapport

de mesure de deux

coordon-2 .

nées dans les mémoires récents

_{d’Eddington}

sur la théorie de la

_charge

_électrique.

D’autre

part,

le flux

_magnétique

_{élémentaire y}

_conjugué

du

_quantum

de flux de

_{déplacement,}

ou de la

_charge

_électrique

e, et

_qui

lui est associé suivant

l’équation

de définition h == n’est

autre en unités _{rationnelles que le flux de R à travers la deuxième section droite} x, et, de

l’élément

du

_champ,

de sorte

qu’il

est

137

fois

_{plus grand}

en valeur

_numérique

_{que le flux}

llYlz1,

ou

_correspond

en unités

électromagnétiques

à une masse

_magnétique

fictive

numé-.

l

137

riquement égale à

137

e.

Or la même masse

_magnétique

intervient dans un mémoire récent de

Dirac (1)

qui

sug-gère

que si de semblables masses n’ont

_jamais

été

isolées,

c’est

_peut-être

_{parce que leurs}

actions mutuelles seraient

( 2013 )

(

4 692 fois

_{plus grandes}

_{que pour} les électrons.

L’exis-2

tence

_possible

de centres de force de Coulomb

_ayant

_toujours

cette même

_grandeur

est aussi

_impliquée

dans la théorie

_{d’Eddington,}

sous forme d’un terme d’interaction

_présentant

d’ailleurs

un caractère d’accident ou

_{d’exception,}

mais

_{qui joue peut-être}

un rôle dans la

constitution du noyau.

Enfin le même

_quantum

_p de flux

_magnétique

élémentaire

_conjugué

de e, et que fait de nouveau intervenir la théorie de Kaluza-Klein à

_cinq

dimensions,

a été _{introduit il y} a

près

de

_vingt

ans _{par le raisonnement très}

_{simple qui}

consiste à assimiler

_{l’énergie cinétique}

de l’électron

_unique

d’un atome de Bohr dans l’état

quantique n -

nh. v où v est la

fré -quence de

rotation

à

l’énergie

magnétique 1

1

Z ’2

1

_Li.i

1

. e,> du courant le

quence e

rotation)

a _{energie magne}

2

2

l ==

2

L l

=="2

n _fi. ev u couran e ’i e

long

de

_l’orbite,

_qni

embrasse ainsi n fois le

_quantum

de

_{flux j}

e.

Le cadre de cet

_exposé

nous

_permet

seulement de

_signaler

_{les aperçus intéressants que}

suggèrent

les relations formelles :

ou l’étude des

lignes singulières

R =

0 , a indéterminé, qui

_rappellent

_{par leurs}

propriétés

celles considérées par Dirac dans le mémoire

précité;

enfin,

à un

_point

de vue

_plus

élémen-taire,

l’interprétation simple

que donne de R et de x la

_{décomposition}

du

_champ

e h en

deux

₍₁₎

et

_{(~) (ondes mobiles)}

_{tels que}

_(e,h1)

=

(e2h2)

= 0.

~

Conclusion. - La théorie des éléments d’action

_{quadridimensionnels}

du Pr. S. R.

Milner,

dont nous avons tenté ci-dessus de donner un court

_{résumé, suggère}

encore des

développements

intéressants concernant la forme tensorielle la

_plus

_juste

à donner en

quatre

ou

_cinq

dimensions aux

_grandeurs

de

_{l’électromagnétisme,}

les transformations les

plus

générales

à y

envisager,

ainsi que leur

signification physique,

les notions de

singula-rité,

de

résidu,

de

connexion,

de

_{représentation}

conforme,

les

_rapports

entre

_{l’équation}

de

Dirac en

_mécanique

ondulatoire et les

_équations

de Maxwell...

_{etc. ;}

elle soulève d’autre

part

beaucoup

de

_questions

fondamentales comme celle de la véritable relation entre les

deux

_aspects,

_{jusqu’à présent séparés, intégrale}

de

_ligne

ou

_intégrale

d’espace-temps

(inva-riant

_intégral),

de la notion d’action.

seule connaissance _par

_exemple

des niveaux

_{d’énergie,}

ou celle

_purement

formelle de

relations où les

_grandeurs

demeurent encore sans

_{signification physique précise}

_(en

ce

_qui

concerne notamment le

_rapport

entre les fonctions d’onde et les

_grandeurs

_classiques),

a _pu se

_{dispenser jusqu’à présent}

de donner à ces

_questions

une

_{réponse ;}

celle-ci viendra

sans doute d’une

_{compréhension}

_plus

parfaite

des théories

_{géométriques}

abstraites,

comme

celle

_{d’Eddington,}

actuellement en cours

_{d’élaboration,}

mais

_peut-être

aussi de

_{l’application}

par une intuition

_{plus pénétrante}

ou

_plus

_exercée,

de cette

_géométrie

de _{situation que} Maxwell

_{déplorait déjà}

de voir relativement

_{négligée depuis}

_Leibnitz,

Euler et Gauss. Souhaitons en tout cas en

_terminant,

_{que la} vieille idée de

_Faraday,

des

_lignes

d’induction,

convenablement

_adaptée,

tout en concourant à rendre

_compte

du

_problème

fondamental

actuellement

_posé

de la structure de l’univers et de la connexion

_(au

sens

_propre)

de ses

éléments,

conserve surtout à l’intuition sensible de

_{l’expérimentateur}

et de

_{l’ingénieur}

un

instrument merveilleusement propre à la découverte et à l’invention.

Manuscrit reçu le 18 février 1933.

NOTE ANNEXE 1

_(’)

’

1. Construction des

_lignes

_{électromagnétiques. -}

Pour un

_système

de référence

mobile dans la direction de l’axe Oz avec la vitesse de translation v les nouvelles valeurs des forces

_électrique

et

_magnétique

sont _{données par les formules de} transformation de Lorentz :

en

_prenant

_{pour unité la vitesse de la lumière} et

_{posant :}

La substitution suivant Minkowski de la coordonnée

_imaginaire

1 == it

(avec

c -

1)

au

temps

réel t ramène la

_{géométrie hyperbolique}

de

_l’espace

_temps

à la

_géométrie

eucli-dienne,

et la transformation de Lorentz ci-dessus à une

_simple

rotation

ordinaire,

d’un

angle

0 tel

_{que tg}

6 =

iv,

dans le

_plan

zl.

En

_supposant

l’axe Oz

_{dirigé perpendiculairement}

au

_plan

_eh,

_{c’est-à-dire e-} --

h,

= 0

les co m _p os antes e’ _y et h’

y

pourront

etre "

eaalement

a _{annulees ’ sl v} - u - ---

e

-

hy

ce Y

qm

,

les

_composantes

_e’y

y et

_h’

y

_pourront

être

_également

n annulées si v == = 2013

-== 2013

J:y

ce

_qui

A-

ex

suppose les axes Ox et

_Oy

_{orientés de telle manière que e~ ey}

₊

_hx

_hy

= _0.

Si cette valeur u de v est

_supérieure

à l’unité c’est-à-dire à la vitesse de la

_lumière,

1

l’adoption

pour v de la valeur inverse ou

conjuguée 1

= u’ inférieure à

_{l’unité, permettra}

u

d’annuler

_e’x

et

h‘x

c’est-à-dire conduira pour les vecteurs

électrique

et

_magnétique

du

système privilégié

de _{vitesse u’ par}

_rapport

au

_système

_initial,

à une direction commune, suivant

_Uy

et non

_plus

suivant Ox.

Il est donc

_{toujours possible}

de définir en

_{chaque point}

au moins un

_système

de

396

rence _{tel que les vecteurs} e h deviennent collinéaires en

_acquérant

les valeurs

_parliculièj

es

E H. llexiste même une infinité de tels

_systèmes

car toute rotation dans le

_{plan yz}

autour de cette direction commune ou toute translation suivant la même

_direction,

_équivalant

à une rotation

_hyperbolique

dans le

_plan

xt conserve ce

_résultat,

de sorte que les axes

_Ox,

_Oy,

Oz, Ot,

ne

sont

_pas encore définis d’une manière

_univoque,

tandis que les nouveaux

_plans

privilégiés

yz et xt le sont

déjà

et

possèdent

ainsi une

_{signification}

absolue.

L’existence en

_{chaque point}

de 2 éléments de

_plan

_orthogonaux

_permet

ainsi de tracer de

_proche

en

_proche

à travers

_{l’espace-temps,}

d’une infinité de

manières,

des

_lignes

tangentes

en

_{chaque point}

à un des éléments et normales à

l’autres,

et si l’on achève de les définir par

exemple

par la condition

qu’elles

soient en outre contenues dans un

_hyperplan

(variété

à 3

_dimensions)

_{tel que}

_l’espace

_{ordinaire, t}

= Cte, d’un observateur

_particulier,

elles

_joueront

le rôle des

_lignes

d’induction

_{classiques ;}

mais l’ensemble des

_lignes

_partant

d’un même

_point

d’univers ne _{constitue pas} une surface car les relations différentielles

_qui

définissent les directions des

_plans

_{yz et} xt ne sont _pas en

_{général complètement}

inté-grables.

(Les

directions

_{Ox Oy}

ainsi obtenues sont d’autre

_part

celles des 2 vecteurs dérivés _p et

q

définis par les

équations

1,

p.

389,

comme il résulte du fait que ces vecteurs subissent les

mêmes transformations de

_{Lorentz que}

les vecteurs _e,

_h,

ce

_qui

n’altère pas leur orientation

et leur

_{orthogonalité}

mais seulement leur

_grandeur.

La _{condition que l’un des}

_deux,

soit

_q’,

s’annule,

c’est-à-dire que les vecteurs

e’

=

E,

h’ = H soient

dirigés

tous deux suivant le

deuxième

_p’,

conduit à la relation :

L

qui

définit l’invariant a en

_{chaque point).}

2.

_Expression

des

_{équations électromagnétiques}

en fonction des

_lignes.

- Si

les vecteurs

_électrique

et

_{magnétique présentent}

au

_point

M les valeurs

_{particulières}

_ex =

E,

hx

= H pour un choix convenable des axes, leurs valeurs en un

_point

voisin

_quelconque

M du

_{champ quadridimensionnel}

seront en

_général,

dans le même

_système,

E

_{-~- dex,}

_dey,

de~,

Il+ dhx,

dhy’

dhz.

Pour ramener de nouveau à zéro les

_composantes

_y et z en ne _{laissant subsister que}

celles suivant

_{Ox’, eY’}

= E

+

!lx’

=H

_{-j- dB,}

il faut

adopter

un nouveau

_système

ortho-gonal

de référence Ox!

_{y’ z’ t’}

_qui

se déduira eu

_général

du

_premier

_par une rotation infini-ment

_petite

_ayant

_pour

_composantes

les 6 rotations élémentaires

_dox,

_{d0xz d6xl}

_doY,

_dey’

dans chacun des

_plans

_{que forment les 6}

_couples

d’axes

_pris

deux à deux.

La rotation

_{d 6xy}

_par

_exemple,

_{telle que}

donnera pour les

composantes

des

_champs

suivant

_Oy

de sorte que la condition

ex’

e,’

+

li,"

= 0 sera rétablie _par une rotation

Il ne reste

_plus

_qu’à

annuler simultanément

_er’

et

_hr‘

_par une translation Oz de vitesse

>

v =

-1..

ou

en d’autres termes une rotation

Les

_composantes

suivant Oz seront de même annulées

_{par les 2}

rotations dans les

_plans

conjugués xz

et

_{yl :}

- - - --

-- -- - -- - - - . -, ,

-Enfin comme les

_composantes

suivant

Ox,

direction initiale des vecteurs E et

_H,

ne sont altérées

_qu’au

second ordre

_près

_{par le}

_changement

de

_système

Ces 6

_équations

_permettent

de déterminer les variations infinitésimales de e et de h entre

l’origine

et un

_point

voisin en fonction des invariants E et H et des

_angles

dont le

_système

d’axes doit être tourné pour rétablir la collinéarité.

Ces

_équations

_qui

_{eussent pu être écrites immédiatement} en

_remarquant

_{que les}

6

_composantes

ex, ...,

ih~, ...,

se transforment comme celles

Bxj,

...,

Brz,

..., d’un tenseur

antisymétrique

du 26

ordre,

ne contiennent _{que les 4}

_composantes

de rotation d

_(ixr

_do,l

ce

_qui

confirme

_{l’indépendance}

de la transformation ci-dessus à

_l’égard

des rotations arbitraires

_61’z

_9xl

dans chacun des

_plans

absolus

_conjugués

_{yz et} xl.

Elles

_permettent

_d’exprimer

les

_équations

de Maxwell,

en fonction des nouvelles variables

_{E, H,}

etc. ce

_qui

donne,

en les _{combinant par}

paires après multiplication respective par E et

par

H,

et en _{notant que}

enfin qne 6.~ = -- les 8

_équations

ci-dsssous

_{équivalentes}

aux

_équations

de Maxwell :

3. Théorème de conservation du flux pour chacun des 4 tubes

électromagné-tiques.

- Comme

nous l’avons dit

_plus

haut,

le choix initial d’un

_{hyperplan particulier,}

par

exemple

de

l’espace t

= 0

_{correspondant}

au

_système

de référence « _propre o

Oxyzt

relatif au

_point

_{M, permet}

de définir d’une manière

_univoque

dans cet _espace une famille de

_{lignes tangentes}

en

_chaque

_point

à une détermination

_possible

de l’axe

_privilégié

Ox

relatif à ce

_point,

c’est-à-dire contenues dans l’élément

_plan

absolu xl

_{correspondant.}

Le même

_hyperplan

contient une autre famille de

_{lignes y,}

_tangentes

en

_{chaque point}

à l’élément yz, et la condition d’être

partout

normales

_{respectivement}

aux

_lignes

x, dans le

plan xl

en

_{chaque point,}

et aux

_{lignes y}

dans le

_plan

_yz, achève de déterminer les 2 autres familles de

_lignes

1 eut - de

_{l’hyperespace,}

_qui,

même en

_général

_{pour les}

_lignes

_z, sortiront

au moins au second

_ordre,

de

_l’espace

initial de référence.

Ces 4 familles de

_lignes

permettent

par leur

appui

sur un contour fermé de définir des

tubes

_{qui jouissent,}

au moins au

_voisinage

d’un

_point,

de

_propriétés

de conservation

analo-gues à’celles des tubes d’induction.

Considérons _par

_{exemple (fig. 4)}

un tube infiniment délié formé de

_lignes

~x de

_longueur

xi, et

ayant

à

_l’origine

une section

_{rectangulaire}

_yi ,~t.

1

Fig. 4.

Le

_{quadrilatère}

OY’ Z’

_qui

forme la section droite terminale

(1)

est altéré en

_forme,

dimensions et orientation :

’

1

(1) En _général les _lignes x sont tordues dans le _{plan yz} et il ne _peut être construit avec des _lignes y et z, une section droite _partout normale aux _lignes x _{(fig. 5)} car les conditions de complète intégrabilité

Fig. 5.

.

ne _{sont pas satisfaites pour les déplacements Yl Zl}

_A’(zy»

mais cela _{n’importe pas pour l’évaluation}

°

et de même

de sorte que

l’équation

a) exprime

simplement

l’annulation de la somme des dérivées

loga-rithmiques

des 3 facteurs

R,

yi, zi , c’est-à-dire la constance du flux

Ryi

zi de l’invariant R

le

_long

du tube infiniment délié x de

_{base y,}

zi :

Sur le

_plan

_yz comme base

_peut

être construit non seulement un tube x mais aussi un

tube 1

_puisque

1 est aussi

_{perpendiculaire}

_{à yz. Un raisonnement}

_identique

conduit à :

de sorte que

l’équation

b,

s’écrivant :

exprime

la conservation dans le

_temps

du flux de R à travers la _{section y1} .3’1.

De même tout tube infiniment mince formé de

_{lignes y}

ou z sera à

_l’origine

perpendi-culaire au

_plan

xl. Pour une section à

_l’origine

xi

li

rectangulaire

nous trouvons comme

ci-dessus :

1

Ce

_qui

donne les 2 relations

_{supplémentaires}

qui

complètent

le théorème de conservation

_auquel

satisfont _{pour la}

_quantité

R les

_quatre

tubes

_{électromagnétiques}

_qui

_peuvent

être construits en

_chaque

_point

dans le

_champ

élec-tromagnétique

respectivement

sur les sections droites élémentaires yi zi pour les

lignes x,

1,

et xi,

li

pour les

lignes y,

z.

4. Théorème

_{complémentaire}

relatif à la torsion de

chaque

tube. - Les 4

_équations

_{10 e, f,}

_g,

_h,

ont trait à ce _que nous _pouvons

_appeler

la

_composition

interne du

vecteur R. Un tube

_{électromagnétique}

est en effet caractérisé non seulement _par sa

direc-tion _{et par} la

_{grandeur R}

_{(inversement proportionnelle}

à la section du

_tube)

mais aussi par la

proportion

relative de E et de H

_{qui correspond}

à la valeur de ac résultant de la

relation tg

a = H :

~,

ou de la

_définition,

solidaire de celle de R :

Par

_exemple,

en tenant

_compte

des définitions

et uz sont les

_composantes

_{suivant y}

et z de u, la

première

de ces 4

_équations

devient

et

_{exprime simplement}

_{que la dérivée de} a suivant x est

_égale

au

signe près

à la

compo-sante suivant la même direction du tourbillon de la vitesse u.

De même

_{l’équation}

_f

relie la dérivée de (J. _par

_rapport

au

_temps

à la torsion du tube .~

dans le sens _{yz. Si} nous

_appelons

et les

_angles

Y’OY1

et Z’O

Zi

dont OY’ et OZ’

t t ’

d 1 1 ’

t. d 0 0 1" 1., d t. t, t Ó ont tourné dans le

_plan

_yz à

_partir

de

_{0 y}

_{0 z,}

_{l’égalité}

des

_quantités

xi . y,

d

et _y,

,

ôy

y

d’une

_part,

_{ainsi que celle de} a, . x,

-ô

d’autre

_{part, qui correspondent}

a~ ax

respectivement

aux

_{déplacements}

_{AY’, BZ’,}

donne lieu aux relations :

de sorte que la somme des deux derniers termes de

_f

représente

bien la torsion du tube x _que caractérise le laux de variation suivant son axe de

l’angle

moyen de rotation dans le

plan yz

(invariant

à

_l’égard

du choix des axes

(Cette

torsion pure est en

_{général accompagnée}

si d’une distorsion

,

en

_osant

dTy. - 1

2

dx en

p

Les 4

_équations

10 e,

f,

g, h s’écrivent ainsi :

et

_jointes

à celles de conservation

₍₁₁₎

_{montrent que les tubes} foarnissent une

représenta-tion

_complète

du

_{champ électromagnétique}

_puisque

les variations de leur section droite

déterminent celles de

_R,

_{tandis que} la variation de a dans chacune des directions de

coor-données est déterminée par la torsion du tube associé à la direction

perpendiculaire

dans

chacun des

_plans

_conjugués

_xl,

_yz.

5. Construction d~un

_système

unique

de tubes. - La construction

_{géométrique}

des tubes

_comporte

encore

_quelque

_arbitraire,

car les directions finales des

_lignes

_peuvent

être obtenues à

_partir

d’un

_système

d’axes initial

_quelconque

_{par 4}

rotations successives dans les

_plans

_xy, xz,

ly,

sans _{que les rotations} xl et _{yz aient par contre} aucune

influence sur la

_{collinéarité}

de e et de h. En

_particulier

l’observateur n’a aucun _{moyen de}

déterminer sa vitesse dans la direction de E et de

H,

ni de conclure

_qu’elle

est

_nulle;

la transformation

_{correspondante, représentée}

_par une rotation d’un

_angle

arbitraire dans le

plan xl est

donc

_{indifférente,}

de même

_qu’une

rotation autour de la direction commune de

F et de H ou dans le

_{plan yz}

_{perpendiculaire}

au

_plan

xl. En fait les

_propriétés

de

(d’après

les

_équations

1 i a et

_b).

Puisque 0,[

est arbitraire nous _pouvons en

_disposer

_{pour satisfaire à} une condition donnée par

exemple :

ce

_qui

définit d’une manière

_univoque

dans la succession des

_plans

xl en

_chaque

_point,

une

ligne

x’ telle

_{qu’il n’y}

_{ait pas de variation de}

_composition

ou de a suivant sa direction

_(t).

2 à "p _YZ

= ₀

_{implique d’après}

(i3) 20132013

= 0 c’est-à-dire une torsion nulle autour de la

x

(

à 1’

direction

_{orthogonale conjuguée l’,}

b _{tandis que} la torsion

2013

suivant la direction x’ du ax

gradient

de oc dans le

_plan

xl est maximum.

De même l’un

_quelconque

des axes _{yz, par}

_exemple

_y,

_peut

être amené _par une rotation

6):,

suivant la direction du

_gradient

de a dans le

_plan

_yz, ce

_qui

_{revient à annuler la}

compo-sante

.

santé

conjuguée Ô-.

Ainsi se trouve acheyée la détermination

_univoque

en

_chaque

_point

du

_champ

électro-magnétique

ou de

_{l’espace-temps,}

d’un

_{polyaxe parfaitement}

défini ou

_système

de référence

absolu

₍₂₎

_{Ox,yz, dont 2}

des axes, par

exemple

Ox et 0~ sont définis par l’intersection des

plans

,zl et _yz

_{respectivement,}

avec

_{l’hypersurface}

a ~ 0.

Revenons maintenant à

_{l’interprétation physique}

de celle des deux dernières

équa-à

tions

_10,

_10g

_{m par}

_exemple,

dans

_laquelle

subsiste le

_gradient

de a

soit :;.

En nous

repor-ôy

tant aux définitions 1

_{= it,}

- i

du,

où u est la vitesse du

_système

de

réfé-rence défioi en

_{chaque point}

_par

_rapport

à celui relatif à

_l’origine,

nous _{pouvons écrire}

cette

_équation

ce

_qui

est la traduction _{du résultat que}

_représente

la

_{fig. 2}

du texte

_principale

à savoir _que, tandis que la vitesse

angulaire

au cours du

_temps

d’une

_ligne

d’induction =

èt

ÔM

devrait être

_égale

à

- 7 x

_{pour que la}

_ligne

_pùt

conserver son

_intégrité,

cette vitesse

angu-x p q g g

laire excède en

_général

celle

_-

§1)

du lieu

_(ligne

_fluide

des

_positions

successives de la B ôa

ligne

initiale définies par la vitesse u, d’un

supplément w - ô o.,

égal

au

_gradient

de 2 dans

’Y _{à y} ;n

la direction

_Oy.

C’est l’existence de ce deuxième terme

_{qui oblige}

à substituer à la notion

de

_lignes

d’induction au sens initial de

_Faraday,

celle d’éléments tridimensionnels de

champ

possédant

en dehors de leur mouvement d’ensemble un mouvement de rotation propre, et dont les

lignes

d’induction ne constituent

_plus

_que

_{l’alignement}

_fugitif

inces-(1) Si la direction _{ainsi définie par da} = 0 est d’espèce temps et non _d’espace, il conviendra, pour éviter la considération d’une vitesse du nouveau système supérieure à celle de la lumière, d’y amener l’axe des plutôt que celui des x, ce _qui revient à

poser a x

= 0.

ô

402

samment rompu et

renouvelé ;

leur association à l’intervalle de

_{temps élémentaire ti}

ainsi

suggéré,

les

_représente

enfin comme

_l’aspect

de cellules ou éléments

_{quadrimensionnels}

d’action,

caractérisés

_{par le}

même

_quantum,

et se

_partageant

_{l’espace-temps.}

NOTE

ANNEXE II

(ajoutée

à la

_correction).

i.

_{Décomposition}

du

_champ

en tout

_point

en 2 ondes libres. - Si le

_champ

de

ce _{que l’on}

_peut

_appeler

une onde

_libre,

caractérisé _{par e2} - hg =

_0,

_(eh)

_{~ 0 est} considéré

comme

_{particulièrement}

_simple,

on

_peut

se _proposer de

_représenter

tout

_champ

électroma-gnétique

(e,

h

quelconques)

comme résultant de la

_{superposition}

de deux

_champs

e,

hi,

e,

h2

satisfaisant chacun en tout

_point

aux conditions ci-dessus

(fig. 6).

En nous bornant à une solution contenue dans le

_plan

eh d’un observateur

_quelconque,

nous caractériserons l’une des

_composantes

_par

h1= ~-

i ei, l’autre

par

h2

=

_(en

don-nant à

_{l’opérateur i}

son sens usuel de rotation de z : 2 dans le

_plan)

de sorte que :

ce

_qui

introduit la combinaison formelle e

_-~-

_ih,

_que

_suggère

la forme

_{particulière}

des

équations

de Maxwell et

_qui,

à ce titre a été maintes fois

envisagée.

D’autre

_part

les

_produits

scalaire et vectoriel de et et e2 sont

_{égaux respectivement}

aux

deux invariants ci-dessous :

En ramenant comme _{ci-dessus par} une translation convenable

_{perpendiculaire}

au

_plan

eh,

ces deux vecteurs à être

_parallèles

_{([EH] =-}

₀₎

ce

_qui

n’altère pas les directions des

vecteurs

_composants

et e2

hi h2,

mais seulement leur

grandeur,

il est _{aisé de s’assurer que}

l’angle

invariant entre ei et e2 n’est autre

que 2 a

et que la bissectrice de cet

_angle

est la direction commune de E et de H.

Dans le cas

_particulier

du

_système

« _{propre», où} °

_0,

les modules de _{e1 et e2}

o

sont

_égaux

g

à "2;

le

_plan

et e2 est d’ailleurs indéterminé autour de EH.

2 p

Une variation de «

_composition

o ou de

_l’angle

a du

_{champ électromagnétique}

se traduit donc

_simplement

_par une rotation en sens inverse des deux

_{champs composants}

_conjugués

et

_h,,

e2

h2.

403

= e2 -

h2

et R2 sin 2 a .- ~

(eh) peuvent

être combinées dans la relation

unique

qui

montre que le lieu des

points

du

_{champ électro-magnétique}

où R est nul et x

indéter-miné,

est,

dans

_l’espace

_ordinaire,

l’intersection des deux surfaces

_qui

satisfont aux relations

invariantes e2 - h2 = 0 et 2

(eh)

= 0.

Considérons _par

_exemple

un

_point

0 d’une telle

_ligne

où les vecteurs

_électrique

et

magnétique présentent

les valeurs L~ et ~

_égales

et

_{perpendiculaires.}

Pour un _choix

appro-prié

des axes dans le

_plan

_EH,

les

_champs

en un

_point

voisin auront pour

_composantes

E

₊

_ex,

_{ey, ez ;}

_h~,

H

₊

_h~,

_11,;;

de sorte

_qu’au

deuxième ordre

_près,

En un

_point

du

_plan

voisin de

_l’origine

les

_composantes

_{e~, .... , seront de} la forme

aux

₊

_hy,

en se limitant au

_premier

_ordre,

de sorte

_qu’en

_désignant

_par ABCD d’autres coefficients constants.

Lorsque

6 = arc

tg y

_augmente

de

2x,

c’est-à-dire

_lorsque

le

_point

_figuratif

décrit un x

circuit fermé autour de

_0,

_l’angle

2x varie

_également

de

_27t,

mais a de ’7t

seulement,

de

sorte

_qu’il

faut faire deux fois le tour cle la

_ligne

R = _{0 pour retrouver} en un

_point

les mêmes

déterminations

de x et de Reiu..

De telles

_{lignes singulières}

se

_comportent

_{ainsi pour} l’invariant a comme les

_lignes

analogues

du mémoire

_précité

_{de Dirac pour la}

_phase

de la fonction d’onde. Evidemment fermées en

_général

sur

_{elles-mêmes,}

elles

_remplissent

_pour

_l’espace,

_que la connexion

mul-tiple

ainsi

_acquise

autour de ces

_lignes

constitue en sortes de _nappes

_{superposées,}

la fonction

des

_points

de branchement en

_analyse

_{pour les} surfaces de

_Riemann,

et

_jouent

sans doute

à ce titre un rôle

_important

dans la structure du

_champ

_(1).

Considérons par

exemple

le cas

_simple

d’un électron immobile dans un

_champ

magné-tique

uniforme H. Le lieu R = 0 est alors la circonférence centrée sur l’électron dans un

plan

normal au

_champ

_{de rayon ; tel que le}

_{champ électrique}

radial

-

soit

_égal

à la valeur

r

Hc du

_champ

en unités

_{électromagnétiques.}

Le flux

magnétique

(en

unités

_{électrostatiques)}

embrassé

_{par la ligne singulière}

est donc :

en

_désignant

_{par ? le}

_quantum

universel de

_{flux u,}

1

-- 1 e ’.

e

Si le

_champ

_magnétique

est _{le propre}

_champ

dù au

_moment

=

eh

de l’électron

4,xmc

tournant,

le rayon ro de la

ligne singulière

est défini par

(2)

(1) Ces considérations paraissent devoir être _rapprochées de la _suggestion de _Cunningham et de Bateman

rappelée par F. Klein (Vorlesungen über die _Entwicklung der Mathematik. Teil II Berlin 192’7, p. î8) et tendant à représenter le domaine le _plus étendu d’invariance des _équations de Maxwell, comme celui de la

représentation conforme à 4 dimensions.

(2) J. C. SLATER dans une note à Nature (London, 1! i ₍₁₉₂₆₎ p. 586) envisageait déjà cette même

D’où

Le flux embrassé

_(évalué,

_{pour éviter la}

_singularité

à

_l’origine,

à travers la

_portion

du

_plan

infini extérieure à la

_{circonférence)}

a _{pour valeur} en unités e. s.

31 La considération de la combinaison e

₊

ih,

et de celle

_conjuguée

d

+

ib,

(en

dis-tinguant

de nouveau les inductions

_électrique

et

_{magnétique d,}

_b,

des

_champs

e, h

corres-pondants), implique,

pour des raisons

d’homogénéité, qu’aux

six

composantes

contreva-riantes du tenseur

_{antisymétrique}

_{F24, 7, F23 }/31,}

F’12 =2013

dx,

-

dy?

-

hx,

_hy,

h-

intervenant dans le deuxième

_{système d’équations}

de

Maxwell,

soient substituées celles de son duel

_Gkl

==: B/ 2013 ~

Fii,

ce

_{qui présente}

en outre

_l’avantage

de donner à ce deuxième

système,

même en relativité

_générale,

une forme covariante semblable à celle du

_premier

et

_{indépendante}

de la

_{métrique (’).}

Comme la transformation

_{qui correspond}

à un

_changement

de

_composition

ao

n’est pas contenue dans le domaine normal

(groupe

de

_Lorentz)

de la _{relativité pour}

l’uni-vers

_{quadridimensionnel,}

il

_paraît

nécessaire,

pour en rendre

_compte,

de

_{généraliser}

l’expression

tensorielle des

_grandeurs

caractérisant le

_champ.

Ce résultat semble ne _pas

pouvoir

être atteint par la seule introduction d’une

cinquième

dimension,

mais

_exiger

la considération de deux nouvelles dimensions

_auxquelles

nous affecterons les indices U et 5.

Nous formerons donc un tenseur

_unique

H covariant du troisième ordre en réunissant aux

six

_composantes

munies de l’indice 0 celles de

_Ghi

munies de l’indice

_5,

c’est à dire que :

de sorte que la transformation 11

_cornespondà

une rotation

proprement

dite entre les

coor-données 0 et 5.

Dans le cas

_particulier

d’un

_système

de référence

_galiléen

et de

_l’emploi

des unités

rationnelles les relations b

= h,

e =

_{d, supposent}

_{l’égalité}

deux à deux des

_composantes

conjuguées

H230

==

HH,5...,

~ -

1123;;...

_etc.,

du tenseur H

_(où

930 145

repré-sente une

_{permutation paire}

de 0 cl 2 3 4

₅₎

ce

_qui

ramène de nouveau à 6 le nombre des

composantes

distinctes à

considérer,

et il est _{aisé de s’assurer que} ces

_égalités

ne sont alté-rées ni par les transformations

relativistes,

ni par la transformation 11.

Ces deux dimensions

_{supplémentaires paraissent}

_correspondre

aux indices 5 et 16

intervenant dans les

_équations

7.1 et 7.2 du mémoire IV

_{d’Eddington (Proc. Roy.}

Soc. London A 133

_(1931),

_p.

_311).

Mais surtout leur

_{justification}

semble résulter d’un mémoire de G. Lemaitre

₍₁₎

_qui,

_reprenant

sous une forme

_{particulièrement simple}

et

élé-(1) Notre sur les _équations de Maxwell. _Congrès International de l’Electricité. _(Paris 1932).

Compte-Rendu des discussions de la lre Section. L’élément d’invariant intégral h correspondant à la cellule de la théorie de Milner s’écrit ainsi, dans le cas _particulier où les composantes ex, dx sont seules non nulles, sous

la forme du produit Fyz Gxt d x d des deux facteurs, quantum d’électricité e et _quantum de flux

magnétique (p, eux-mêmes invariants intégraux, associés respectivement aux _{sections yz et} xt de l’élément

dxdyd4dt.

(2) Sur l’interprétation d’Eddington de l’équation de Dirac _(Annales de la Société Scientifique de