1
INDUCTION MAGNÉTIQUE - corTP
1. Observations qualitatives 1.1. Rails de Laplace et flux coupé
• Lors du déplacement du barreau sur les rails, il faut prendre soin à bien le maintenir appuyé, pour éviter les faux contacts dus à l'oxydation en surface du métal.
Sinon, on peut observer un phénomène autre que celui escompté : lors d'un mauvais contact, le circuit se comporte comme s'il comportait une grande résistance en série ; or, une grande résistance se comporte comme une antenne radio et capte de nombreux parasites (surtout à 50 Hz à cause du réseau de distribution de l'énergie électrique). De tels parasites peuvent souvent être plus de dix fois supérieurs au phénomède étudié ici.
1.2. Mouvement relatif 1.3. Expérience de Faraday 1.4. Courants de Foucault
1.5. Alternateur
• On peut ici ne pas se limiter à une étude qualitative : on peut commencer avec une rotation lente, puis augmenter progressivement la vitesse afin d'obtenir un enregistrement comportant toute une gamme de fréquences.
2
• Il n'est pas facile de mesurer précisément l'amplitude d'un signal dont la forme n'est pas régulière (à cause de la vitesse de rotation, qu'il est difficile de contrôler précisément). C'est encore moins évident de comparer ensuite les valeurs ainsi obtenues.
Le plus raisonnable est alors d'utiliser les “moyennes” que sont les valeurs efficaces Ueff =
!
1
T
"
u2( )
t dtavec T =
!
"
dt. On peut pour cela transférer le tableau de mesures dans un tableur et calculerUeff ≈
!
1
T
"
u2( )
tk #t avec ΔT = tk+1 - tk.Il est possible de vérifier que le produit de l'amplitude par la période est constante, ou que l'amplitude est proportionnelle à la fréquence. Ceci s'interprète par le fait que la f.e.m. peut s'écrire : e = -
!
d"
dt = -
!
d"
d#
!
d"
dt où
!
d"
dt = 2π f et où le terme
!
d"
d# reste constant puisqu'il ne dépend que de la géométrie du montage.
2. Bobines en interaction
• On utilise deux bobines de 1000 spires accolées (coefficient d'interaction maximum en l'absence de noyau).
On mesure : L1 = 44,7 ± 0,5 mH ; r1 = 8,59 ± 0,08 Ω ; L2 = 44,9 ± 0,5 mH ; r2 = 8,51 ± 0,08 Ω.
On ajoute en série : rʼ1 = 10,00 ± 0,005 Ω (donc R1 = 18,59 ± 0,09 Ω) ; rʼ2 = 10,00 ± 0,005 Ω (donc R2 =
= 18,51 ± 0,09 Ω).
3
• On obtient ainsi en régime sinusoïdal, avec les notations complexes : (R1 + jωL1) I1 + jωM I2 = U ; (R2 + jωL2) I2 + jωM I1 = 0.
On en déduit : I2 = H I1 avec H = -
!
j"M
R2+j"L2 ; U = Z I1 avec Z = R1 + jωL1 +
!
"2M2 R2+j"L2.
• À la fréquence f = 72,10 ± 0,14 Hz, on mesure :
U1 = 845 ± 4 mV ; U2 = 87,8 ± 0,4 mV ; ϕ2/1 = -140° ± 3°.
On peut tester la cohérence en calculant ϕ2/1 = -
!
"
2 - arctan
!
"L2 R2
#
$% &
'( = -137,7° ± 0,4°.
Ceci correspond à H =
!
"
r 1
"
r 2
!
U2
U1 = 0,1039 ± 0,0008. On en déduit M =
!
H
"
!
R22+ "2L22 = 6,31 ± 0,09 mH.
◊ remarque : on obtient M ≪ L1 ≈ L2 car, en l'absence de noyau, les lignes de champ de chaque bobine divergent rapidement dès qu'on s'en éloigne.
• On mesure ensuite : U = 2,340 ± 0,012 V ; ϕ1 = 48° ± 2° (en faisant attention à la convention de signe inversée pour mesurer i1). Ceci donne Z = rʼ1
!
U
U1 = 27,7 ± 0,2 Ω.
Par ailleurs Z = R1 + jωL1 + H2.(R2 - jωL2) avec H2 =
!
"2M2
R22+ "2L22 ; on est donc en principe ramené à
résoudre l'équation donnant H puis M : Z2 = (R1 + H2.R2)2 + (ωL1 - H2.ωL2)2.
• Cette équation est toutefois moins utile car la faible valeur de M fait que l'influence sur Z est très petite ; ainsi en déduire inversement M est moins précise.
On se limite donc à tester la cohérence avec la solution obtenue précédemment : Z = 27,5 ± 0,1 Ω ; ce résultat semble compatible.
Le déphasage est ϕ1 = arctan
!
"L1#H2."L2 R1+H2.R2
$
%&
'
() = 46,8° ± 0,6° ; de même complatible.
• À la fréquence f = 189,6 ± 0,4 Hz, on mesure :
U1 = 712 ± 4 mV ; U2 = 96,6 ± 0,5 mV ; ϕ2/1 = -162° ± 3°.
On peut tester la cohérence en calculant ϕ2/1 = -
!
"
2 - arctan
!
"L2 R2
#
$% &
'( = -160,9° ± 0,4°.
Ceci correspond à H =
!
"
r 1
"
r 2
!
U2
U1 = 0,1357 ± 0,0009. On en déduit M =
!
H
"
!
R22+ "2L22 = 6,45 ± 0,09 mH.
Ce résultat semple confirmer celui obtenu à la première fréquence.
• On mesure ensuite : U = 4,025 ± 0,020 V ; ϕ1 = 72° ± 2°. Ceci donne Z = rʼ1
!
U
U1 = 56,5 ± 0,5 Ω.
La valeur obtenue pour M donne ici : Z = 55,6 ± 0,2 Ω et ϕ1 = 70,1° ± 0,7° ; ces valeurs sont complatibles.
4
• À la fréquence f = 561,0 ± 1,1 Hz, on mesure :
U1 = 369,2 ± 1,8 mV ; U2 = 52,3 ± 0,3 mV ; ϕ2/1 = -172° ± 3°.
On peut tester la cohérence en calculant ϕ2/1 = -
!
"
2 - arctan
!
"L2 R2
#
$% &
'( = -173,3° ± 0,4°.
Ceci correspond à H =
!
"
r 1
"
r 2
!
U2
U1 = 0,1417 ± 0,0010. On en déduit M =
!
H
"
!
R22+ "2L22 = 6,40 ± 0,09 mH.
Ce résultat semple confirmer ceux obtenus aux deux premières fréquences.
• On mesure ensuite : U = 5,812 ± 0,029 V ; ϕ1 = 82° ± 2°. Ceci donne Z = rʼ1
!
U
U1 = 157,4 ± 1,4 Ω.
La valeur obtenue pour M donne ici : Z = 155,5 ± 0,6 Ω et ϕ1 = 83,0° ± 0,8° ; ces valeurs sont de même complatibles.
• Au total, on obtient finalement en moyenne : M = 6,39 ± 0,08 mH.
Il peut par contre être plus précis de n'utiliser que f et U (en plus des caractéristiques des composants) pour calculer théoriquement les autres mesures (U1, U2, ϕ1 et ϕ2/1) en fonction de M, puis d'ajuster la valeur de M de façon à minimiser le χ2 entre théorie et mesures.
Le résultat est plus long à calculer (surtout pour estimer des incertitudes), mais il est plus précis car il utilise alors l'ensemble des informations expérimentales fournies par les mesures : M = 6,31 ± 0,04 mH.
◊ remarque : en outre, la valeur obtenue χ2 = 8,27 pour 11 degrés de liberté (12 mesures et un paramètre) donne une probabilité 69 % ; cette valeur est correcte car les incertitudes utilisées correspondent plutôt à un écart standard ; en utilisant des incertitudes à deux écarts standard, on obtient une probabilité 99,8 %.
